景德镇市2016届高三第三次质检试题数学(理)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 S= S x P(x2)(x3)0 ,T x x 0，则 S I T=(A) [2 ，3](B) （-， 2]U [3,+）(C) [3,+ ）(D) （0， 2] U[3,+ ）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(A)1(B)-1(C) i(D)-iuuv( 1uuuv(3,1),（3）已知向量BA, 2 ) , BC则 ABC=2222(A)30 0(B)450(C) 60 0(D)120 0（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan3，则 cos22sin 26444816(B)(C) 1(A)25(D)2525 431（6）已知a23， b44， c253，则（A ）b a c（ B）a b c （C） b c a （D） c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（A ） 3（B ） 4（C） 5（D ） 6（8）在 △ABC 中，B = πBC1cos A =，边上的高等于则43 BC ,（ A ）3 10（ B ）101010（ C ） -10 （ D ） - 3 1010 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） 18 36 5（B ） 54 18 5（C ） 90 （D ） 81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB BC ， AB=6 ，BC=8， AA 1 =3，则 V 的最大值是（A ） 4π （ B ）9（ C ） 6π（D ）3223x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：b 2 a 2C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（A ）1（ B ）1（ C ）2（ D ）33 2 3 4（12）定义 “规范 01 数列 ”{a n } 如下： { a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ， a 1 , a 2, L , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A ） 18 个（ B ） 16 个（C ） 14 个（D ） 12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ， y 满足约束条件 错误 ! 未找到引用源。

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S= S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ，则S I T=(A) [2 ，3] (B) （- ，2] U [3,+ ）(C) [3,+ ）(D) （0，2] U [3,+ ）（2）若z=1+2i ，则 4izz1(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量u uvBA1 2( , )2 2,u u u vBC3 1( , ),2 2则ABC=(A)30 0(B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有 5 个（5）若tan 34，则 2cos 2sin 2(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)16254 3 1（6）已知 3a 2 ，4b 4 ，3c 25 ，则（A ）b a c （B）a b c（C）b c a（D）c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3（B）4（C）5（D）61（8）在△ABC 中，πB = ，BC 边上的高等于4 13BC ,则cos A =（A）31010（B）1010（C）10- （D）10-3 1010(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB BC，AB=6，BC=8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π（B）92 （ C ）6π（D）32 3（11）已知O 为坐标原点， F 是椭圆C：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点 E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B）12（C）23（D）34（12）定义“规范01 数列”{a n} 如下：{a n} 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k 2m，a a a 1, 2, , k中0 的个数不少于 1 的个数.若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（A ）18 个（B）16 个（C）14 个（D）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若x，y 满足约束条件错误！未找到引用源。

2016届云南玉溪市高三第三次教学质检数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}22,1,0,1,2,|01x M N x x -⎧⎫=--=≤⎨⎬+⎩⎭，则M N = （ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】试题分析：不等式201x x -≤+的解集与不等式组()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩相同，即12x -<≤，所以{}0,1,2M N = ，故选D ．【考点】集合的运算．2．设复数z 满足()12i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】A【解析】试题分析：由()12i z -=得()()()2121111i z i i i i +===----+，故选A ． 【考点】复数的运算．3．各项均为正数的等差数列{}n a ．其公差0d >，前n 项和为n S ，若125,,a a a 构成等比数列，则下列能构成等比数列的是（ ） A ．123,,S S S B ．124,,S S S C ．134,,S S S D ．234,,S S S 【答案】B【解析】试题分析：由题意知等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d >，由125,,a a a 构成等比数列得2215a a a =，即()()21114a d a a d +=+，得12d a =，所以1121131,24,339S a S a d a S a d a ==+==+=， 4114616S a d a =+=，又10a >，所以124,,S S S 能构成等比数列，故选B ． 【考点】等差、等比数列的应用．4．已知,m n 为异面直线，,αβ为两个不同的平面，//,//m n αα，直线l 满足,,//l m l n l β⊥⊥，则（ ）A ．//αβ且//l αB ．//αβ且l α⊥C ．αβ⊥且//l αD ．αβ⊥且l α⊥ 【答案】D【解析】试题分析：由//,//m n αα，直线l 满足,l m l n ⊥⊥知l α⊥，又//l β得βα⊥，故选D ．【考点】线面位置关系的判定与证明． 5．()()342x y x y -+的展开式中34x y 项的系数是（ ）A ．3B ．12C ．17D ．35 【答案】C【解析】试题分析：()()342x y x y -+展开式的通项公式为()3411342rr r r s s sr s T T T C x y C x y --++⎡⎤⎡⎤==-⎣⎦⎣⎦ ()7342rr s r s r sC C x y--+=-，其中0,1,2,3,r s ==，由734r s r s --=⎧⎨+=⎩，得4r s +=，则04r s =⎧⎨=⎩，或13r s =⎧⎨=⎩，或22r s =⎧⎨=⎩，或31r s =⎧⎨=⎩，34x y 的系数为()()()()123413223134343434222217C C C C C C C C -+-+-+-=，故选C ． 【考点】二项式定理应用．6．下列程序框图的输出结果为12345678910+++++++++的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：选项A 的程序框图输出的结果为2345678910S =++++++++；选项B 的程序框图输出的结果为234567891011S =+++++++++； 选项C 的程序框图输出的结果为123456789S =++++++++；选项D 的程序框图输出的结果为12345678910S =+++++++++，故选D ． 【考点】程序框图．7．变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ） A ．23-B ．-1C ．1D ．23【答案】D【解析】试题分析：由约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，作出可行域如图，联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得22,2121m A m m ⎛⎫⎪--⎝⎭，化目标函数z x y =-为y x z =-，由图可知，当直线y x z =-过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2222121mm m -=--，解得23m =，故选D ．【考点】简单线性规划．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划求解最值，解答此类问题首项要准确画出约束条件所表示的可行域，把目标函数化简为直线的斜截式方程，利用直线在y 轴上的截距，根据截距的大小确定目标函数的最值，着重考查学生分析问题和解答问题的能力、以及数形结合思想的应用，属于中档试题．8．若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A【解析】试题分析：∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴3311555x y xy y x+=+=，∴()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131231355555x y y x =++≥+=，当且仅当12355x y y x=即12x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ．【考点】基本不等式的应用．9．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92 C ．32D ．3 【答案】D【解析】试题分析：根据题图中的三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，11223332V x x +=⨯⨯⨯=⇒=，故选D ．【考点】三视图及几何体的体积． 10．设函数()1f x x x=-，对任意[)()()1,,0x f ax af x ∈+∞+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()1,1-D ．()0,1 【答案】A【解析】试题分析：由题意()()()101af ax af x ax ax x ax x+=-+-<≥恒成立，即222210a x a ax --<，易知0a <，222221210,12a a x a a +--><，∴1a <-，故选A ．【考点】函数的恒成立的求解；二次函数的性质．11．棱长为个小球，则这些小球的最大半径为（ ）A ．B ．2 C ．4D ．6【答案】B【解析】试题分析：由题意得，在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，设小球的半径为r ，则4r -=⎝⎭，解得r =，故选B ． 【考点】球的性质及组合体的结构特征．【方法点晴】本题主要考查了有关球的组合体的性质、求的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生空间想象能力的训练，同时考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据组合体的结构特征，设出小球半径，列出方程关于r 的方程，即可求解球的半径．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，12,F F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+ ，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．2【答案】B【解析】试题分析：设()00,P x y ，∵由题意可知G 为12F PF ∆的重心，∴G 点坐标为00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭．∵12IG F F λ= ，∴//IG x 轴，∴I 的纵坐标为03y ．在焦点12F PF ∆中，122PF PF a +=，122F F c =，∴1212012F PF S F F y ∆= ．又∵I 为12F PF ∆的内心，∴I 的纵坐标长度3y 即为内切圆半径，内心I 把12F PF ∆分为三个底分别为12F PF ∆的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴()1201122123F PF y S PF F F PF ∆=++，∴()0120112211223y F F y PF F F PF ⋅=++ ，即()0011222223y c y a c ⨯=+ ，∴2c a =，∴椭圆C 的离心率12c e a ==，故选B ． 【考点】椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、离心率的求解等知识的运用，解答中根重心的坐标公式，得出重心G 点坐标为00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，内心I 把12F PF ∆分为三个底分别为12F PF ∆的三边，高为内切圆半径的小三角形，利用三角形的面积列出方程，即可求解椭圆的离心率，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题．二、填空题13．圆C 与直线0x y +=及40x y +-=，都相切，圆心在直线0x y -=上，则圆C 的方程为___________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】试题分析：设圆心坐标为(),a a =，解得1a =，则r ==C 的方程为()()22112x y -+-=．【考点】圆的标准方程．14．关于x 的一元二次方程22560x mx m ++-=，若m 是从区间[]0,5任取的一个数，则上述方程有实根的概率为__________． 【答案】45【解析】试题分析：方程有实根，则()244560m m ∆=--≥，即2560m m -+≥，解得2m ≤或3m ≥，所以概率为45P =． 【考点】几何概型及其概率的计算．15．8个相同的球放入标号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，共有________种不同的放法． 【答案】21【解析】试题分析：将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，共有2776212C ⨯==种放法． 【考点】排列组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了排列、组合的应用、解答此类问题要正确理解题意，恰当地选择解题的方法是解答的关键，本题的解答中，将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，即可完成求解，采用了插空法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16．边长为ABC ，其内切圆与BC 切于点,F E 为内切圆上任意一点，则AE AF的取值范围为__________．【答案】[]3,9【解析】试题分析：以点E 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点()0,0E ，()0,3A ，内切圆D 的方程为()2211x y +-=，设点()cos ,1sin F θθ+，则()()0,3cos ,sin 2AE AF θθ=--[]63sin 3,9θ=-∈．【考点】向量的坐标运算；向量的数量积．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算、平面向量的数量接的运算等知识点的应用，解答中，以点E 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，确定点,A E 的坐标，利用内切圆得出F 的坐标，利用向量的数量积的公式和坐标运算，即可求解AE AF的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题17．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 3a b C B =-． （1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，1BD =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）23B π=；（2 【解析】试题分析：（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，化简可得cos sin sin 3B C C B =，又sin 0C ≠，从而可求得tan B =B 为三角形内角，即可求解B 的值；（2）由D 为边AC 的中点，可得2BD BA BC =+，两边平方，设,BA c BC a == ，可得224a c a c =+-，结合基本不等式的应用可得ac 的最大值，利用三角形的面积公式即可求解．试题解析：（1）因为cos sinB a b C =，由正弦定理知sin sin cos sinB A B C C =，即()sin sin cos sin B C B C C B +=-，sin cos cos sin sin cos sin 3B C B C B C C B +=-，cos sinC sin 3B C B =-． 又由C 为ABC ∆的内角，故而sin 0C ≠，所以tan B =又由B 为ABC ∆的内角，故而23B π=（2）如图4，因为点D 为边AC 的中点，故而2BD BA BC =+，两边平方得22242cos BD BA BA BC ABC BC =+∠+ ，又由（1）知23ABC π∠=，设,BA c BC a == ，即224a c a c =+-， 所以2242a c a c ac +=+≥，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号．又1sin 2ABC S ac ABC ∆=∠=， 故而当且仅当2a c ==时，ABC S ∆【考点】正弦定理；三角形的面积公式．18．一个袋子里装有6个球，其中有红球4个，编号均为1，白球2个，编号分别为2，3．（假设取到任何一个球的可能性相同）（1）现依次不放回地任取出两个球，求在第一个球是红球的情况下，第二个球也是红球的概率；（2）现甲从袋中任取两个球，记其两球编号之和为m ，待甲将球放回袋中后，乙再从袋中任取两个球，记其两球编号之和为n ，求m n <的概率． 【答案】（1）35；（2）2675． 【解析】试题分析：（1）根据条件概率的计算公式，即可求解第一个球是红球的情况下，第二个球也是红球的概率； （2）分别求出2,3,4,5m =的概率，再根据概率公式计算即可．试题解析：（1）由于是不放回地取球，在一个红球被取出的情况下，袋中剩3个红球和2个白球，故而第二个球也取到红球的概率是35（2）由题意可知，甲、乙取球相互独立，且m 与n 的分布列相同， 而m 的可能取值是2，3，4，5， 且()()2114412266642,31515C C C P m P m C C ====== ，()()111141112266414,51515C C C C P m P m C C ====== ，所以()()()()2,23,34,4P m n P m n P m n P m n <==>+=>+=>6646446442611115151515151515151575⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 所以m n <的概率为2675【考点】列举法计算基本事件的件数及事件发生的概率．19．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，,,E F G 分别是,A C BC ''与B C ''的中点，且AA '=2,4BC AC ==，平面ABGE ⊥平面BCC B ''．（1）求证：AB BC ⊥；（2）求平面ABE 与平面EFC '所成二面角的平面角的余弦值的绝对值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）在平面BCC B ''中过点C 作GB 的垂线，垂足为H ，即GB CH ⊥，得出平面ABGE ⊥平面BCC B ''，再根据直三棱柱的性质，得到CC '⊥平面ABC ，即可证明AB BC ⊥；（2）以,,BA BC BB '两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，分别求出平面ABE 与平面EFC '的一个法向量，利用向量所成的角，即可得到二面角的大小．试题解析：（1）证明：由题意知，GB 是平面ABGE 与平面BCC B ''的交线，如图，在平面BCC B ''中过点C 作GB 的垂线，垂足为H ，即GB CH ⊥． 又由于平面ABGE ⊥平面BCC B ''，所以CH ⊥平面ABGE ，则AB CH ⊥．① 由三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱， ∴CC '⊥平面ABC ，则AB CC '⊥．②又由CC CH C '= 及①②得AB ⊥平面BCC B ''，所以AB BC ⊥（2）解：由三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱及AB BC ⊥， 则,,BA BC BB '两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，由2,4BC AC ==，则AB =又AA '=()()()(0,0,0,,,0,1,0,B A EF C '，所以())(,,1,0,0,1,BA BE C E C F ''===-=-．设()1111,,n x y z =为平面ABE 的法向量，则1100n BA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111100y ⎧=⎪+=， 令11z =-，则110,x y ==所以平面ABE的一个法向量为()11n =-．设()2222,,n x y z =为平面EFC '的法向量，则2200n C E n C F ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即222200y y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩令2y 221,1x z ==-，所以平面EFC '的一个法向量为()21n =-． 设θ为平面ABE 与平面EFC '所成二面角的平面角，则1212cosn n n n θ===【考点】直线与平面垂直的判定与性质；二面角的求解．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，作直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2122,3k k k =-． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x轴交于点()D ，且满足2DP QD =，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．【答案】（1（2）2211510x y +=．【解析】试题分析：（1）设点()()1122,,,P x y Q x y ，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段PQ 的中点为M ，再由离心率公式，即可得到结论；（2）由（1）知可得椭圆的方程为222236x y c +=，设直线方程为5x my =-，代入椭圆的方程，利用韦达定理及2DP QD =，确定,P Q 坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S 的最大值，即可得到椭圆的方程．试题解析：（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，代入椭圆的方程有，2222221122221,1x y x y a b a b+=+=，． 两式相减：22222121220x x y y a b --+=，即()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-++=， 又2121122121,y y y yk k x x x x -+==-+，联立两个方程有212223b k k a =-=-，解得c e a ==（2）由（1）知3c e a ==，得22223,2a c b c ==， 可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l的方程为x my =()22223660my c +-+-=因为直线与椭圆相交，所以()()22248423660m m c ∆=-+->，由韦达定理得2121226623c y y y y m -+==+． 又2DP QD =，所以122y y =-，代入上述两式有222966623m c m -=-+，所以121222OPQ S OD y y a ∆=-==21181832232m m m m==≤++， 当且仅当232m =时，等号成立． 此时25c =，代入∆有0∆>成立，所以所求椭圆方程为2211510x y += 【考点】椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理和基本不等式求，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 21．已知函数()ln 1f x x kx =-+．（1）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭ ． 【答案】（1）1k ≥；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求解出函数的导数1()1f x k x '=--，得到函数的单调期间和函数的极值，11x k=+时，()f x 取得极小值，可知只需考虑()max 10,(1)ln 0k f x f x k>=+=-≤即可，化简可得1k ≥．（2）由（1）可知，当1k =时，l n 1,1x x x <->，可得332l n 1(1)(1)n n n n n <-=-++2(1)(1)n n <-+，故2ln 113n n n +<-，即可作出证明． 试题解析：（1）解：由()0f x ≤有ln 1kx x ≥+，即ln 1x k x +≥，令()()2ln 1ln ,0x xh x h x x x+-'===， 解得1x =在()0,1上，()0h x '>，在()1,+∞上，()0h x '<， 所以在1x =时，()h x 取得最大值()11h =，即1k ≥ （2）证明：由（1）知，当1k =时，ln 1x x ≤-， 令()2*,2x n n Nn =∈≥，有22ln 1n n <-，即2ln 1122n nn <<-()()()212ln 2ln 3ln 4ln 1233815124n n n n n -+++++<+++=- ，①． 令11x n =+，有111ln 113ne n n n ⎛⎫⎛⎫+<⇒+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②①+②有：()2*2ln 2ln3ln 4ln 1101,2381514nn n n n N n n n ++⎛⎫++++++<∈≥ ⎪-⎝⎭ 【考点】利用导数研究函数的单调性与极值、最值；函数的恒成立；不等式的证明． 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、最值，函数的恒成立、不等式的证明等知识的应用，着重考查了分类讨论思想、不等式的放缩和转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据的单调性与极值，当1k =时，ln 1,1x x x <->，可得332ln 1(1)(1)n n n n n <-=-++ 2(1)(1)n n <-+，得出2ln 113n n n +<-是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于难题．22．选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，ACD ∆的外接圆O 交BC 于点,E DF 是O 的切线交BC 于点F ，且33EC EF ==．（1）若E 为BC 的中点，72BD =，求DE 的长； （2）求DEDC． 【答案】（1）2314；（2）12．【解析】试题分析：（1）因为E 为BC 的中点，所以3,6BE BC ==，由割线定理知，得出7182BA = ，在利用CD 是ACB ∠的平分线，即可得到DE 的长；（2）因为DF 是圆O 的切线，D 为切点，FC 为圆O 的割线，由切割线定理知，2DF FE FC = ，再利用DFE CFD ∆∆ ，即可得到DEDC． 试题解析：（1）因为E 为BC 的中点，所以3,6BE BC ==．由割线定理知，BD BA BE BC = ，所以7182BA = ，可得3623,714BA AD ==． 又因为CD 是ACB ∠的平分线，所以2314DE AD ==．（2）因为DF 是圆O 的切线，D 为切点，FC 为圆O 的割线，由切割线定理知，()2DF FE FC FE FE EC ==+ ，因为3EC EF =，所以224DF FE =，即2D F F E =，由DFE CFD ∆∆ ，所以12DE EF DC DF == 【考点】相似三角形和与圆有关的比例线段． 23．选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标系为3,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（θ为参数）． （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线:2cos 4sin l ρθρθ+=距离的最小值．【答案】（1）⎝⎭，221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭；（2． 【解析】试题分析：（1）将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）得出点,Q M 的坐标，利用点到直线的距离公式，得出d 的表达式，即可求解中点M 到直线l 的距离的最小值．试题解析：（1）点P 的直角坐标为,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭；由2cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得2cos sin ρθθ ①， 将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入①，可得曲线C 的直角坐标方程为22122x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）直线:2cos 4sin l ρθρθ+=240x y +=设点Q 的直角坐标为cos ,sin 22θθ⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 22M θθ⎫⎪⎭， 那么M 到直线l 的距离d θϕ+===，∴d ≥=（当且仅当()sin 1θϕ+=-时取等），所以M 到直线:2cos 4sin l ρθρθ+ 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化；极坐标的应用． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),43,-∞-+∞ ；（2）[]2,0-．【解析】试题分析：（1）当当3a =时，()21,35,3221,2x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，分三种情况求解每个不等式的解集即可；（2）原命题等价于22x a x --≤≤-在[]1,2上恒成立，由此求得实数的取值范围．试题解析：（1）当3a =时，()21,35,3221,2x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥，解得4x ≤-； 当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥， 所以()7f x ≥的解集为(][),43,-∞-+∞ （2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤． 故满足条件的a 的取值范围为[]2,0- 【考点】绝对值不等式的解法和应用．。