1.1.1 正弦定理优秀课件

解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°， ∴asinB＝5sin120°＝5 2 3， 又∵b＜asinB，∴此题无解． [点评] 已知三角形两边及一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解，但 要注意判定解的情况，要注意讨论．
〔跟踪练习 2〕
已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( D )
预习自测
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于直角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；
④在△ABC 中，∠A︰∠B︰∠C＝a︰b︰c.
其中正确的个数是 A．1
(A) B．2
C．3
D．4
【解析】因为正弦定理适用于任意三角形，故①、②不正确；由正弦定理知sianA＝ sibnB＝sincC＝2R，三角形确定，则其外接圆半径 R 为定值，故③正确；④显然不正 确，故选 A．
[正解] ∵∠C＝30°，∴∠A＋∠B＝150°.
由正弦定理，得sina
A＝sin15b0°－A＝
6＋ 2 sin 30°.
因此，a＋b＝2( 6＋ 2)·[sinA＋sin(150°－A)]＝(8＋4 3)cos(A－75°)≤8＋4 3.
故 a＋b 的最大值为 8＋4 3.
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5．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 cosA＝45，cosC＝153，
21
a＝1，则 b＝____1_3___.
【解析】由条件可得 sinA＝35，sinC＝1123，
从而有 sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6635.由正弦定

(3)解法一：由sianA＝sibnB得，
sinA＝asibnB＝5sin2120°
5× ＝2
3 2 ＝5
4 3＞1，
∴A 不存在，∴此题无解．
解法二：∵a＝5，b＝2，B＝120°， ∵b＜a，∴A＞B＝120°， ∴A＋B＞240°与 A＋B＋C＝180°矛盾． ∴这是不可能的，因此本题无解． 解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°， ∴asinB＝5sin120°＝5 2 3， 又∵b＜asinB，∴此题无解．
变式训练 1：已知△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、
b、c，若 a＝c＝ 6＋ 2，且∠A＝75°，则 b 等于( )
A．2
B． 6－ 2
C．4－2 3
D．4＋2 3
【解析】由 a＝c＝ 6＋ 2可知，∠C＝∠A＝75°，
∴∠B＝30°，sinB＝12.
又 sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°
其中正确的个数是(
A．1
B．2
) C．3
D．4
【解析】因为正弦定理适用于任意三角形，故①、②不正确；由 正弦定理知sianA＝sibnB＝sincC＝2R，三角形确定，则其外接圆半径 R 为定值，故③正确；④显然不正确，故选 A.
【答案】A
2．在△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60°，则 A 等于( )
【解析】由已知，得 C＝180°－105°－45°＝30°. ∵sibnB＝sincC，∴c＝bssiinnBC＝2 s2ins4in53°0°＝2 2× 2 12＝2.
2
【答案】2
4．在△ABC 中，若 b＝5，B＝π4，sinA＝13，则 a＝________.

则 AC 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C． 3 【答案】B
D．
3 2
3．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，∠B＝60°，
那么∠A 等于____________． 【解析】根据正弦定理sina A＝sinb B得sin2A＝sin 630°，
所以 sin A＝
2 2.
又因为 a<b，所以∠A<∠B，
2．判断三角形的形状，有两个途径： (1)化角为边； (2)化边为角．灵活运用正弦定理的变形公式进行边角 互化，是解题的关键．
失误防范 (1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另 一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而 这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准 出错．做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行 判断，作出正确的取舍．
2．在△ABC 中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C， 则△ABC 是________三角形．
【解析】由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定 理知 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2.所以△ABC 是直角三 角形． 【答案】直角
探究点 4 正弦定理的综合应用 例 4 已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边分 别是 a，b，c，向量 m＝(1，1－ 3sin A)，n＝(cos A，1)， 且 m⊥n. (1)求∠A； (2)若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋π6)的值．
解：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 代入coas A＝cobs B＝cocs C中， 得2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC，

[通一类] 1． [例题多维思考] 若本题条件“(a2＋c2－b2)· tan B＝ 3 3 2 ac”改为“S△ABC＝ (b －a2－c2)”，其他不变，结果 12 如何？
3 2 1 2 2 解：∵S△ABC＝ (b －a －c )＝ ac· sin B， 12 2 ∴a2＋c2－b2＝－2 3ac· sin B. a2＋c2－b2 －2 3ac· sin B ∴cos B＝ ＝ ＝－ 3sin B. 2ac 2ac sin B 3 ∴ ＝－ . cos B 3 3 即 tan B＝－ . 3 ∵0<B<π， 5 ∴B＝ π. 6
2 2 2 2 2
∴c＝4.
(2)∵a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x， 由余弦定理得： b2＋c2－a2 3x2＋4x2－x2 3 cos A＝ ＝ ＝ . 2bc 2 2· 3x· 2x π ∵0<A<π，∴A＝ . 6 π 同理可求得 B＝ . 3 π ∴C＝π－(A＋B)＝ . 2
《1.1.1 正弦定理》 课件 7
[读教材· 填要点]
余弦定理
语言 三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和 叙述 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 b2＝ a ＋c －2accos B 表达 2＋b2－2abcos C a 2 c＝
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc
a b c [自主解答] (1)由正弦定理，设 ＝ ＝ ＝ k， sin A sin B sin C 2c－a 2ksin C－ksin A 2sin C－sin A 则 b ＝ ＝ ， ksin B sin B cos A－2cos C 2sin C－sin A ＝ . cos B sin B

边的对角.
课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.
sin A sin B sin C 这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
abc sin A sin B sinC
abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及
一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一
C
B
abc sin A sin B sin C
讲授新课
思考1：那么对于任意的三角形，以上关 系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角 形两种情况.
C
B
D
A Rt
在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即
abc sin A sin B sin C
思考：
在△ABC中，
a b c k(k 0),
1.1.1正弦定理
积石中学 王有华
复习引入
• 如图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC
绕着顶点C转动.
思考：∠C的大小与它的对边AB
的长度之间有怎样的数量关系？
A
显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
C
思考：
B
能否用一个等式把这种关系精确地表示出
来？
复习引入
直角三角形中的边、角有怎样的关系？ A

思考感悟 正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示：正弦定理对任意的三角形都适用．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本解法 是：若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求第三边；若所给边不是已知角的 对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边．
方法感悟
1．在△ABC 中，a、b 分别为 A、B 的对边．由 正弦定理：sina A＝sinb B，再由大角对大边知 A＞ B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦 值大．
2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三 边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好 地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正 弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具 备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状， 常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时 结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公 式)，得出角的大小或等量关系．
3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求 解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合 恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两 角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另 3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些 抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进 行分析与证明．
由sina A＝sinc C，得
c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°＝8×
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．
2
【名师点评】 已知三角形的两个角求第三个角
时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正
弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来

例1、在ABC中, A 60 , B 45 , c 20, 解三角形.
0 0
例2、在ABC 中, a 2 , b 3 , B 60 0 , 解三角形.
2019年3月26日星期二
新课
例3、在ABC 中, a 10, b 5 6 , A 45 , 解三角形.
0
2019年3月26日星期二
新课
直角ABC :
A
B
2019年3月26日星期二
C新课Βιβλιοθήκη 钝角ABC :AE
D
B
C
2019年3月26日星期二
新课
正弦定理 :
在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦 的比相等,即
a b c 2R sin A sin B sin C
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§ 1.1.1 正弦定理
2019年3月26日星期二
引入
关于解三角形 :
(1)三角形的六元素 : A, B, C , a, b, c(其中a, b, c分别为A, B, C的对边); (2)解三角形 : 用三角形已知元素求未知 元素.
2019年3月26日星期二
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锐角ABC :
A E
C D B
正弦定理可解决的几类问题 :
(1)已知两角和任一边, 解三角形; (2)已知两边和其中一边对角, 解三角形. (可能有两解, 用" 大角对大边"决定取舍)
2019年3月26日星期二
结束
2019年3月26日星期二

求其他两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
解三角形.（即求出其它边和角）
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a
c sin A sin C
10 sin 45
= sin30
证明：作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90,C C '
c
sinC sinC' c
2R A
c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a b c 2R sin A sin B sin C
B
a
O
C
b
C/
公式的应用 正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
应用正弦定理化边为角：
a 2Rsin A,b 2R sin B,c 2R sin C
或化角为边：sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A: B : C 3: 2 :1,
那么对应的三边之比a : b : c等于_2_：___3_：_1_____
即 abc sin A sin B sin C
即正弦定理寻找的是各边和它的对角的关系！
剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题：
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.

此时也有
sin B
AD c
且
sin（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
AD b
sinC
可得
abc sin A sin B sin C
B
A c
b
图2 C D
正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 abc sin A sin B sinC
思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？
另证1:
a b c 2R sin A sin B sinC
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
26
30
得 sin B bsin A 26sin30 13 A 300
B
a
30 30
所以Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 （如图）
C=124.30, c asinC 49.57
sin A
sin 25.7 13 30
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
1 ac sin B 2
剖析定理、加深理解 正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sinC
1、正弦定理可以解决三角形中的问题：