高三理科数学一轮单元卷：第五单元 函数综合 B卷

专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)2．函数op=M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁R N＝A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是．4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是．考点2.换元法3．已知o−1)=−2，则函数f（x）的解析式为．4．已知f（1−1+）=1−21+2，求f（x）的解析式．考点3.凑配法5．（1）已知f（1）=1−2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1）＝x2+12，求f（x）．6．已知f（3x）＝4x log23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣x D．=+12．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点2.换元法3．函数=2+41−的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．R D．[2，+∞）考点3.分离常数5．函数=2r1r1在x∈[0，+∞）上的值域是．6．已知函数op=2+4，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5] 7．函数=2+2r2r1的值域是．8．下列求函数值域正确的是（）A．函数=5K14r2，x∈[﹣3，﹣1]的值域是{U≠54}B．函数=2−3r1的值域是{U≤−1，≥−15}C．函数=sB+1K2，∈[2，2)∪(2，p的值域是{U≤4K4，≥1K2} D．函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1．函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）=l2，＞03，＜0，则no14)]的值为（）A．19B．13C．﹣2D．3 3．已知o p=2−2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2C．op=−2o≥0)D．op=−24．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．5．已知f（x）=(1−2p+3o＜1)Bo≥1)的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，12）C．[﹣1，12）D．（0，1）6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．。

专题突破卷05 导数中的极值点偏移问题题型一 极值点偏移解决零点问题1．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列命题正确的是（ ）A ．1a >B ．122x x a +<C ．121x x ×<D ．2111x x a->-2．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（ ）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ×>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，()212x x x <，则下列说法：①函数()f x 有极大值点0x ，且1202x x x +>；②212e x x >；③1232x x a+>；④若对任意符合条件的实数a ，曲线()y f x =与曲线1y b x=-最多只有一个公共点，则实数b 的最大值为ln2.其中正确说法的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知函数()ln x f x x =，对于正实数a ，若关于t 的方程()a f t f t æö=ç÷èø恰有三个不同的正实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,8B ．()2,8e C ．()8,+¥D ．()2,e +¥5．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ）A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>6．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有2个零点C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ¹，若()()12f x f x =，则124x x +>7．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ×>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知函数3()2f x x =+的图象与函数()g x kx =的图象有三个不同的交点11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，其中123x x x <<．给出下列四个结论：①3k >；②12x <-；③232x x +>；④231x x >．其中正确结论的个数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()e x f x ax =-有两个零点12x x <，下列说法正确的是A ．e a <B ．122x x +>C ．121x x ×>D ．有极小值0x 且1202x x x +>10．已知函数()2πcos f x x x a =++在()0,π上有两个不同的零点()1212,x x x x <，给出下列结论：①()10f x ¢<；②()20f x ¢>；③12πx x +<．其中错误结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知a b >，c d >，e e 1.0111a b a b ==++，()()1e 1e 0.99c dc d -=-=，则（ ）A ．0a b +<B ．0c d +>C ．0a d +>D ．0b c +>12．已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1(2,1)x Î--B ．2e (1,e )a ÎC ．120x x +<D ．232ex x +<题型二 极值点偏移解决不等式问题13．已知函数()e xf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在R 上是增函数B ．1x ">，不等式()()2ln f ax f x ³恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()f x t =有两个零点12,x x ，则120x x +>D ．若过点()1,M m 恰有2条与曲线()y f x =相切的直线，则1e 1m -<<-14．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ¹，若12()()f x f x =，则124x x +>15．设函数1cos ,0(),0e x x x f x x x -£ìï=í>ïî，下面四个结论中正确的是（ ）A ．函数在()0,1上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有一个零点C ．函数的值域为[]1,e -D ．对任意两个不相等的正实数12,x x ，若()()12f x f x =，则122x x +<16．已知函数()e xf x x =，()lng x x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 与函数()g x 有相同的极小值B ．若方程()f x a =有唯一实根，则a 的取值范围为0a ³C ．若方程()g x a =有两个不同的实根12,x x ，则212x x a>D ．当0x >时，若()()12f x g x t ==，则12x x t =成立17．已知函数ln ()xf x x=，则（ ）A ．(2)(3)f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，则212ex x >C ．ln 2<D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y >18．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在()2,+¥上单调递增B ．+12,R x x "Î且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>C ．R k +$Î，使得()f x kx >恒成立D ．函数()y f x x =-有且只有1个零点19．定义在R 上的函数()f x 满足()()e xf x f x =¢+，且()01f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在2x =-处取得极小值B ．()f x 有两个零点C ．若0x ">，()f x k >恒成立，则1k <D ．若1x $，2R x Î，12x x ¹，()()12f x f x =，则124x x +<-20．宠物很可爱，但身上会有寄生虫，小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抺驱虫剂.刚开始使用的时候，寄生虫的数量还会继续增加，随着时间的推移，奇生虫增加的幅度逐渐变小，到一定时间，寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂t 小时后寄生虫的数量大致符合函数()()()47e 50(0720),t f t t t f t -=-+¢£<为()f t 的导数，则下列说法正确的是（ ）A ．驱虫剂可以杀死所有寄生虫B ．()100f ¢表示100t =时，奇生虫数量以10052e -的速度在减少C ．若存在,,a b a b ¹，使()()f a f b =，则96a b +<D ．寄生虫数量在48t =时的瞬时变化率为021．已知()()12()ln ,f x x x f x f x ==且12x x ¹，则（ ）A ．1212ex x +>B ．1212ex x +<C1e>D1e<22．已知关于x 的方程e 0x x a -=有两个不等的实根12,x x ，且12x x <，则下列说法正确的有（ ）A ．1e 0a --<<B ．122x x +<-C ．2x a>D ．11e 0xx +<23．已知函数()e xf x x =-，()lng x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()ln f x 在()1,+¥上是增函数B ．1x ">，不等式()()2ln f ax f x ³恒成立，则正实数a 的最小值为2eC ．若()g x t =有两个根1x ，1x ，则121x x ×>D ．若()()()122f x g x t t ==>，且210x x >>，则21ln t x x -的最大值为1e24．已知2.86ln ln a ba b==，ln ln 0.35c c d d ==-，a b <，c d <，则有（ ）A ．2e a b +<B ．2ec d +>C ．1ad <D ．1bc >题型三 极值点偏移解决双变量问题25．已知函数 ()()2e xx f x g x x ax ==+，，且曲线()y f x =在()0,0处切线也是曲线()y g x =的切线．(1)求a 的值；(2)求证：()()f x g x £；(3)若直线y k =与曲线()y f x =有两个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()y g x =有两个公共点()()33,C x g x ，()()44,D x g x ，求证：12341x x x x +++>26．已知函数()()2e ln 1xf x a x a -=+-ÎR ．(1)若函数()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且21x x 的最大值为2e ，求证：2122e 1e 1x x ++£-．27．已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．28．设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+Î+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ¹，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．29．已知函数()()1ln f x x x =+．(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()(1)f x m x >-在(1,)+¥上恒成立，求实数m 的最大值；(3)若关于x 的方程2()(1)10()f x ax a x a ++++=ÎR 有两个实根1x ，()212x x x ¹，求证：121123a a x x -<+<+．30．设()()()()1ln 1ln 0f x x x x a a =+-->.(1)若1a =，求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；(2)若()0f x ³在 [)1,+¥上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数()y f x =存在两个极值点1212x x x x (<)、，求证：122x x +>.31．已知函数()11e ,0axf x x a a a -æö=-+>ç÷èø.(1)若()f x 的极小值为-4，求a 的值；(2)若()()ln g x f x a x =-有两个不同的极值点12,x x，证明：12x x +>32．已知函数()e 1xf x ax =--.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<；(3)若函数()()sin g x f x x =+，当0x ³时，()0g x ³恒成立，求实数a 的取值范围.33．已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a Î）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö¢<ç÷èø．34．已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.35．已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ">>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ¹，证明:124x x a +>.36．已知函数()()2ln R af x x x a x=+Î有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．1．已知a b >，且e e 1.01a b a b -=-=，则下列说法正确的有（ ）①1b <-； ②102a << ；③0b a +<； ④1a b -<.A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．③④2．已知函数()ln f x x x =-，过点()()1,1P b b >-作函数()f x 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，下列关于直线AB 斜率k 的正负，说法正确的是（ ）A ．0k <B ．0k =C ．0k >D ．不确定3．关于函数()22ln x f x x x =++，下列说法错误的是（ ）A ．不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立B ．对任意12,(0,)x x Î+¥，若12x x <，有()2112()x f x x f x <C ．对任意121212()(),(0,1),()22x x f x f x x x f ++ΣD ．若正实数12,x x ，满足12()()4f x f x +=，则122x x +³4．已知函数()()()e ,e xxxf x x a ag x =+Î=R ，下列说法正确的是（ ）A ．若()()1212,x x g x g x ¹=，则122x x +>B ．若0a =，则“120x x +=”是“()()120f x g x +=”的充要条件C ．若不等式()()f x g x <恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是22e e 212e ,e éö--÷êëøD ．若不等式()()f x g x <恰有2023个整数解122023,,x x x ×××，则()()20232023112023kkk k f x g x a==+=åå5．已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A ．0a b +>B ．0c d +>C ．0a d +>D ．0b c +>6．已知函数()e xf x x =，若120x x >>，则下列结论正确的是（ ）A ．2121()()f x f x x x ->-B ．1122()()x f x x f x +>+C ．1221()()x f x x f x >D ．若12()()f x f x -=-，则122x x +>7．已知函数()()e xf x x a bx =--，则下列结论正确的是（ ）A ．当1,2a b =-=时，()1f x ³恒成立B ．当1,a b R =Î时，()f x 必有零点C ．若()f x 有两个极值点12x x ､，则1224x x a +>-D ．若()f x 在R 上单调递增，则1a b +£8．已知函数()ln f x x x a =--有两个零点1x 、2x ，则下列说法正确的是（ ）．A ．1a >B ．121x x >C ．121x x <D ．122x x +>9．已知函数()ln xf x x=，则（ ）A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212ex x <C．ln 2>D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y >10．关于函数f （x ）＝2x＋ln x ，则下列结论正确的是（ ）A ．x ＝2是f （x ）的极小值点B ．函数y ＝f （x ）－x 有且只有1个零点C ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1＋x 2＞4D ．存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立11．已知函数()2ln 2a f x x x x =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）A ．a 的取值范围为（－∞，1）B ．122x x +>C ．12112x x +>D ．2111x x a->-12．已知关于x 的方程ln 0x x a -=有两个不等的正根1x ，2x 且12x x <，则下列说法正确的有（ ）A ．1ea -<<B ．122ex x +>C ．122x x a +<-D ．1x a<-13．设函数1,0()cos ,0x xx f x e x x -ì>ï=íï£î，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[),1p -上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有两个零点C ．函数()f x 的值域是[]1,1-D ．对任意两个不相等正实数12,x x ，若12()()f x f x =，则122x x +>14．已知函数()e x f x x a =-，则下面结论成立的是（ ）A ．当10ea <<时，函数()0f x =有两个实数根B ．函数()0f x =只有一个实数根，则0a £C ．若函数()0f x =有两个实数根1x ，2x ，则122x x +>D ．若函数()0f x =有两个实数根1x ，2x ，则123x x +>15．已知函数()e x x m f x +=的极大值点为0，则实数m 的值为 ；设12t t ¹，且211212ln ln t t t t t t -=-，不等式12ln ln l +>t t 恒成立，则实数l 的取值范围为 ．16．已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+Î．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．已知函数()2ln ,R a f x x a x=+Î．若函数()f x 有两个不相等的零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：124x x a +>．18．已知函数()ln f x x x a =--有两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：122x x +>.19．已知函数ln ()a x a f x x +=．(1)讨论()f x 的极值；(2)若()()2112e e x xx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ¹，证明：122x x +>．20．已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.。

（10）一元函数的导数及其应用—高二数学人教A 版（2019）选择性必修一、二册单元检测卷（B 卷）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线上点P 处的切线平行于直线则点P 的坐标是( )A. B. C. D.2.已知A. B. C. D.3.若方程在上有两个不同的根，则a 的取值范围为( )A. B. C. D.4.已知函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为( )A. B. C. D.5.已知函数，若恒成立，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.6.一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则( )A.当时，V 取得最小值B.当时，V 取得最大值，则的最大值为( )ln y x x =210x y -+=，(1,e)(e,e)(e,1)(1,1)a ===a cb >>a bc >>c a b >>c b a>>2ln 0ax x -=()1,+∞10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()1,e (),2-∞23()ln 2f x x ax x =+-1x =()f x ()f x ln 22-ln 21-ln 32-ln 31-1()ln(0)xf x e a a a ax a=+->+()0f x >(0,1)(1,)+∞[1,)+∞(0,1]8cm 5cm ()cm x ()3cm V 1x =1x =2163()f x 13二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数及其导函数定义域均为R ，若是不恒为0的奇函数，则( )A. B.C.为奇函数D.为偶函数10.已知函数（a ，b ，c 均为常数且）的导函数满足，且，则下列说法正确的有( )A.B.C.是的极值点D.不等式的解集为11.设函数A.当时，的图象位于x 轴下方B.存在单调递增区间C.有且仅有两个极值点D.在区间上有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则曲线在点处的切线方程为_____________.13.函数的所有极值之和为________.14.函数的最小值为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）设函数，曲线在点处的切线方程为.的()e bxf x a c =+0a ≠()f x ()f x '()2f x -()20f =()()220f f x x +-=-()2f x +()2f x '+()f x '()()33f x f x ='+(0)1f =()06f '=()36exf x '=e x =()f x ()()4f x f x >'ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x =()0,1x ∈()f x ()f x ()f x ()f x ()1,2e ()x x f x =-()y f x =(1,(1))f 5()2f x x x=++()ln xf x xe x x =--()ln f x x ax b =++()y f x =()()1,1f 63y x =-（1）求a ，b ；（2）证明：16.（15分）已知（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）设是函数的极值点，证明：17.（15分）已知函数.（1）求的极值；（2）若在区间有2个零点，求m 的取值范围.18.（17分）已知是函数的一个极值点.（1）求a ；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有3个零点，求b 的取值范围.19.（17分）已知函数，.（1）当时，求在上的值域；（2）若的极大值为4，求实数m 的值.()f x >()()21ln 02f x x ax x a =--≥1a =()f x 1x =0x ()f x ()0f x ≤()ln 2f x x mx =-+()f x ()f x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x =2()ln(1)10f x a x x x =++-()f x ()y f x b =-()()2f x x x m =-m ∈R 2m =()f x 51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x答案以及解析1.答案：B解析：因为，直线的斜率为2，则由，解得.把代入，得，所以点P 的坐标为，故选：B.2.答案：A解析：令，则，所以在R 上单调递增，所以当时，，即当时，，又因为，综上所述：.故选：A.3.答案：A解析：，即与，令，即，解得，即，解得故上单调递增，在上单调递减，故大值，也是最大值，时，，当时，，当时，，故选：A.4.答案：A解析：因为所以时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，ln 1y x '=+210x y -+=ln 12x +=e x =e x =ln y x x =e y =(e,e)()sin f x x x =-()1cos 0f x x '=-≥()f x 0x >()(0)0f x f >=0x >sin x x >>b >22211cos 12sin 12333⎛⎫=->-⨯= ⎪⎝⎭c >a c b >>2ln 0ax x a -=⇒=1>y a =()f x =x )42ln x x x x =-=1>()0f x ¢>12ln 0x ->1x <<()0f x '<12ln 0x -<x >()f x =121,e ⎫⎪⎭12e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ==12e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1>()2ln 0x f x x =>1x =()10f =x →+∞()f x =10,2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23()ln (0)2f x x ax x x =+->=3(1)1222f a a '=+-==21332()222x x x f x x x -+'=+-==1x <<()0f x '>()f x 12x <<()0f x '<()f x 2x >()0f x '>()f x 2x =有极小值，且极小值为.5.答案：A解析：，令，则，所以单调递增，不等式可化为，所以，所以，所以.故选A.6.答案：B解析：小盒子容积为，则，令当时，，当在上单调递增，在上单调递减，所以当时，V 取得极大值也是最大值，无极小值，故B 正确.故选：B.7.答案：B解析：显然首先，，不等式，令，，则，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有，即对于任意的恒成立，令，，则时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值的()f x (2)ln 22f =-1e ln xa a ax a ⎛⎫+-> ⎪+⎝⎭()ln 1ln 10,x a +-->()ln e ln ln 11x a x a x x -+->+++()e t h t t =+()e 10t h t ='+>()h t ()()()ln ln 1h x a h x ->+()ln ln 1x a x ->+()min ln [ln 1]1a x x <-+=01a <<()()32582524264002V x x x x x x x ⎛⎫=--=-+<< ⎪⎝⎭2125240V x x =-+'V '=x =01x <<0V '>1x <'<322640x x x -+()0,151,2⎛⎫⎪⎝⎭1x =0m >0x >()()2ln 22211e 2ln ln e ln 2ln e ln mx xx x mx m x mx m mx x x ++≥+⇔+≥+-=+()e x f x x =+(0)x >()e 10x f x '=+>()f x ()()2()ln f x f mx ≥()2ln ln 2ln x mxm x ≥=+ln 2ln m x x ≤-0x >()2ln g x x x =-(0)x >2()1g x x '=-=2x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x 2x =()g x (2)22ln 2ln g =-=从而8.答案：B解析：由，，得，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，所以所以9.答案：ACD解析：因为函数及其导函数的定义域均为R ，是不恒为0的奇函数，所以，所以，故B 错误；因为，则，所以，所以为奇函数，故C 正确；因为，所以，所以为偶函数，故D 正确；因为，所以，即，故A 正确，故选：ACD.10.答案：ABD解析：由，则，又，故，又，即，即有，解得，即，，则，故A 、B 正确；对C ：由恒成立，故单调递增，故无极值点，故C 错误；对D ：即为，即，解得，故D 正确.故选：ABD.ln m ≤≤()3143f x x x m =-+[]0,4x ∈()24f x x '=-()0f x '>24x <≤()0f x '<02x ≤<()f x [0,2)(2,4]min ()f x =)x 0=(f x ()314443f =⨯-(f x ()f x ()f x '()2f x -()()22f x f x -=-+()()220f x f x -++=()()22f x f x -=-+()()4f x f x =--()()22f x f x +=--()2f x +()()22f x f x +=--()()22f x f x +='-'()2f x '+()()22f x f x +=--()()22f f =-()20f =()e bx f x a c =+()e bxf x ab '=()()33f x f x ='+e 3e 33bx bx ab a c =++(0)1f =()00e 1f a c a c =+=+=33301ab a c a c =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩231a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩()32e 1x f x =-()36e x f x '=()3006e 6f ⨯'==()36e 0xf x ='>()f x ()f x ()()4f x f x >'338e 46e x x ->3e 2x >ln 2,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭解析：因为函数的定义域为，且令，可得，当时，；当时，，当时，，由，所以，即，所以在上单调递减，因为时，，当时，的图象在x 轴的下方，所以A 正确；当时，，所以，又因为，所以存在使得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单递增，当时，函数取得极小值，无极大值，所以函数只有一个极值点，且在区间上先减后增，没有最大值，所以C 、D 错误.故选：AB.12.答案：解析：，则，又，故切线方程为，即.故答案为：.13.答案：4解析：函数的定义域为，求导得由，得或，得因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是当取得极大值，当取得极小值，所以函数的所有极值之和为.故答案为：4()f x =()f x (0,1)(1,)+∞ ()f x '=()ln 1g x x x =-()ln 1g x x ='+10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<1(,1)e x ∈()0g x '>0x →()1g x →-()110g =-<()10g x <-<()0f x '<()f x (0,1)0x →()0f x →(0,1)x ∈()f x 1x >()0g x '>()()11g x g >=-()22ln 210g =->0(1,2)x ∈0()0g x =01x x <<()0f x '<0x x >()0f x '>()f x ()01,x 0(,)x +∞0x x =()f x ()f x ()f x (1,2)()e 1y x=-()e 1x f x '=-1(1)e 1e 1f '=-=-1(1)e 1e 1f =-=-()()()e 1e 11y x --=--()e 1y x =-()e 1y x =-5()2f x x x =++(,0)(0,)-∞+∞ ()1f x '=-()0f x '<0x <<0x <<()0f x '>x <x >()f x ((,)-∞+∞x =()f x (2f =-+x =()f x 2f =+5()2f x x x=++(4f f +=解析：函数的定义域为，且，令，函数在上单调递增.，，所以，存在，使得，则.当时，，则，此时函数单调递减；当时，，则，此时函数单调递增.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.故答案为：1.15.答案：（1），； （2）证明见解析解析：（1）函数的定义域为，.将代入，解得，即，由切线方程，则切线斜率.故，，解得，.（2）证明：由（1）知，从而设函数，则.所以当时，，当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为设函数从而在上的最大值为()ln x f x xe x x =--()0,+∞()()()11111xx f x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭()x g x e =()210xg x e x=+>'()y g x =()0,+∞1202g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ()110g e =->1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()10t g t e t =-=t e =ln t t =-0x t <<()0g x <()0f x '<()y f x =x t >()0g x >()0f x '>()y f x =()y f x =x t=()()min ln 11tf x f t te t t t t ==--=-+=5a =2b =-()f x ()1f x a x'=+1x =63y x =-3y =()13f =63y x =-()16f '=3a b +=16a +=5a =2b =-()ln 52f x x x =+-()f x >2ln 52x x x x >-+()ln g x x x =()1ln g x x ='+10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ()0,+∞1e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()223152555h x x x x ⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭()h x ()0,+∞1255h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭故，即16.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）当时，，，切点为，所以在处的切线方程为，即（2）证明：的定义域为，，则，记此方程的实数根为，，且记，由，，则知.当时，；当时，，所以在上递减，在上递增，则是函数唯一的极值点，，其中，所以，记，所以在单调递减，时，在，定义域为，所以，()()g x h x >()f x >1;2y x =-+1a =()11f x x x =--'()11f '=-11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭1x =()112y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭1;2y x =-+()f x {0}xx >∣()f x x a =-'()10f x x a x'=--=210x ax --=1x 2x 12,x x <()21x x ax ϕ=--()010ϕ=-<()10a ϕ=-≤1201x x <<≤2x x >()0f x '>20x x <<()0f x '<()f x ()20,x ()2,x +∞2x ()f x 20.x x =()200001ln 2f x x ax x =--20001,1ax x x =-≥()20001ln 12f x x x =--+()21ln 1,12g x x x x =--+≥()10g x x x '=--<()g x [)1,+∞()()g g 1x ≤=()012f x ≤0>()f x x =ln m -()ln 2x x mx =-+()0,+∞()1f x m x'=-当，则恒成立，所以在上单调递增，无极值，当时，令，解得当，则在上单调递增；当，则在上单调递减：所以当时，在处取极大值，无极小值；（2），令，令在区间有2个零点，即与在区间有2个交点，，当，，在上单增，当，，在上单减，，的最大值为，与在区间.18.答案：（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为；（3）解析：（1），由是函数的一个极值点，m ≤0>()0f x '>()f x ()0,+∞()f x 0m >()0f x '=x =0x <<()0f x '>()f x 10,m ⎛⎫⎪⎝⎭x >()0f x '<()f x 1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0m >()f x 1x m=1ln m -()ln 2f x x mx =-+ln 20x mx -+=m =()g x =()f x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦y m =()y g x =21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x =()x '=()21ln 0x g x x -'-==1ex =10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭210e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()y g x =1e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()e g =y m =()y g x =21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e m ≤<16a =()f x ()()1,1,3,-+∞()1,3()32ln 221,16ln 29--()2101af x x x'=+-+3x =2()ln(1)10f x a x x x =++-则，解之得.经检验符合题意.（2）由（1）可得，由，可得或，由，可得，则函数的单调增区间为，单调减区间为.（3）由（2）可得，函数的极大值为，函数的极小值为，又，函数的简图如下：当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点，则b的取值范围为19.答案：（1）（2）3解析：（1）时，，，令，得或，所以在单调递增，单调递减，单调递增，(3)404af'=-=16a=2()16ln(1)10f x x x x=++-216286()21011x xf x xx x'-+=+-==++1x>-()0f x'>11x-<<3x>()0f x'<13x<<()f x()()1,1,3,-+∞()1,3()f x(1)16ln29f=-()f x(3)32ln221f=-222(e1)32(e1)(e11)321121(3)f f----=-+--<-+=-<(7)48ln221f=-(7)(1)32ln21216ln41216120f f-=-=->->()f xy b=()f x()y f x b=-()32ln221,16ln29--329,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2m=()()232244f x x x x x x=-=-+()2384f x x x'=-+()0f x'> 23x<2x>()f x21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2,23⎛⎫⎪⎝⎭52,2⎛⎫⎪⎝⎭又，，，的值域为.（2），令，解得：当时，，单调递增，无极值，舍；当时，或，在和单调递增，在单调递减，在时取得极大值，又，不符合题意，舍去；当时，，在和单调递增，在单调递减，在，解得.综上得，.232327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()20f =()()1920f f -=-<=5528f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()f x 329,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()22343x mx m f x x m x m =-+'=--()0f x '=x m =0m =()0f x '≥()f x 0m <()0f x x m '>⇒<3m x >()f x (),m -∞,3m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x x m =()0f m =0m >()0f x x '>⇒<x >m ()f x ,3m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),m +∞,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x x =344327m m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭3m =3m =。

试卷类型：B2013届高三新课标原创月考试题五数学适用地区：新课标地区考查范围：必考全部内容（集合、简易逻辑、函数、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何、排列、组合、二项式定理、概率与统计、复数，算法，推理与证明）建议使用时间：2012年12月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2012·昆明一中二摸）设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于（ ）A.{|1}x x ≤B.{|12}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x <<2. [2012·课标全国卷]下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为（ ） A.p 2，p 3 B.p 1，p 2 C.p 2，p 4 D.p 3，p 4 3. （2012·哈尔滨第六中学三模）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A.向右平移π6个单位 B.向左平移π3个单位 C.向左平移π6个单位 D.向右平移π3个单位4.（2012·昆明第一中学一摸）一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）5. [2012·山东卷]执行如图3所示的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为( )A.2B.3C.4D.5图36.（2012·长春三模）直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为( ) A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-7. [2012·江西卷]小波一星期的总开支分布图如图4所示，一星期的食品开支如图5所示，则小波 一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图4 图5A.30％B.10％C.3％D.不能确定8. （2012·大连沈阳联考）如果不共线向量a ，b 满足2 |a | = | b |，那么向量2 a + b 与2 a - b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ． π2 D ．2π39.（理）[2012·江西卷]观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A.28B.76C.123D.199（文）[2012·江西卷]观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A.76B.80C.86D.9210. [2012·山东卷]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A.x 2＝833y B.x 2＝1633y C.x 2＝8y D.x 2＝16y11. （2012·银川一中二模）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是（ ）A.甲，乙,丁B.乙,丙C.甲,乙,丙D.甲,丁12.（理）[2012·山东卷]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484（文）[2012·山东卷]设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx .若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 B.x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 D.x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13. (2012·银川一中二模) ()21,0,0,x x f x x -⎧-≤⎪=>若()01f x >，则0x 的取值范围是 .14.（2012·郑州质检）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S . 15.（理）（2012·潍坊二模）()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是 .（文）（2012·哈尔滨第六中学三模）若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，，内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为 . 16.（2012·潍坊二模）下列命题：①函数π=sin -2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在[]0π，上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值；④定义运算11a b 212212=-a a b a b b 则函数2+3()=x x f x x 113x 的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）（2012·郑州质检）在A B C ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，点),(b a 在直线C c B y B A x s i n s i n )s i n (s i n =+-上，（1）求角C 的值；（2）若18)(622-+=+b a b a ，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）（理）[2012·山东卷]现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .（文）[2012·山东卷]袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.19.（本小题满分12分）（理）[2012·福建卷]如图6，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点.（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由； （3）若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长.（文）[2012·福建卷]如图6所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点.（1）求三棱锥A －MCC 1的体积；（2）当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .图620.（本小题满分12分）（理）（2012·汕头二模）在数列{}n a 中，1211,4a a ==，且()()112k n kn a a n n a +-=≥-.（1）求34,a a ，猜想n a 的表达式，并加以证明；（2）设n b =，求证：对任意的自然数n *∈N ，都有3...21n b b b n <+++.（文）（2012·广州调研）各项均为正数的数列{}n a ，满足11a =，2212n n a a +-= （*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .21.（本小题满分12分）[2012·山东卷]如图7所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T ，求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值.22.（本小题满分12分）（理）（2012·汕头二模）已知函数2()(2)ln ,f x x a x a x =-++其中常数0a >.（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当4a =时，若函数()y f x m =-有三个不同的零点，求m 的取值范围；（3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:(),l y g x =当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，请你探究当4a =时，函数()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.（文）（2012·琼海模拟）已知函数()()()3212f x x a x a a x =+--+ ()a ∈R ，()'f x 为()f x 的导数.（1）当3a =-时，证明()y f x =在区间()1,1-上不是单调．．．．函数； （2）设()19163g x x =-，是否存在实数a ，对于任意的[]11,1x ∈-，存在[]20,2x ∈，使得()()1122f x ax g x '+=成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷类型：B2013届高三新课标原创月考试题五答案数学1. A 【解析】由221x -<，即2022x -<，得20x -<，则{|2}A x x =<，{|1}B x x =≤，故{|1}A B x x =≤.2. C 【解析】因为z ＝2－1＋i ＝2()－1－i ()－1＋i ()－1－i ＝－1－i ，所以z 的虚部是－1，z ＝－1＋i ，||z ＝2，z 2＝()－1－i 2＝2i.故p 2，p 4是真命题， p 1，p 3是假命题，故选C.3. D 【解析】将cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位得sin 2sin 2326y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以选择D.4. C 【解析】从该几何体可以看出,正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线;俯视图是一个矩形内有一斜向下的对角线,没有斜向上的对角线,故排除B,D 项;侧视图是一个矩形内有一斜向下的对角线,且都是实线（因为没有看不到的轮廓线）,故排除A 项,选C.5.B 【解析】当n ＝0时，P ＝1，Q ＝3，P <Q 成立，执行循环；当n ＝1时，P ＝5，Q ＝7，P <Q 成立，执行循环；当n ＝2时，P ＝21，Q ＝15，P <Q 不成立，但执行n ＝2＋1＝3后，再输出.6. B 【解析】圆的方程化为()()22112x y +++=，由直线与圆()()22112x y +++=相切，得圆心()1,1--到直线l ：2x my =+=7m =-或1.7. C 【解析】由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为%105080100403030=++++，结合图1可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为%3%10%30=⨯.8. C 【解析】因为22(2)(2)40,a b a b a b +⋅-=-=所以夹角为2π. 9.（理）C 【解析】由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.（文）B 【解析】个数按顺序构成首项为4，公差为4的等差数列，因此|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4＋4(20－1)＝80，故选B.10. D 【解析】由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2得c ＝2a ，又因为抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线渐近线ay ＝±bx 的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪ap 2a 2＋b 2＝ap22a＝2，所以p ＝8，即抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 11. D 【解析】由条件得()()()()33141f f f f -=-=-=-，所以()()231log 21f f ===，故甲正确; 当[4,2]x ∈--时，4[0,2]x +∈，所以()()()()22()444log 41log 5f x f x f x x x =+-=-+=-++=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦单调递减，故乙不正确；()()()()()5514111f f f f f =--=---=---=-=-⎡⎤⎣⎦， ()()()()()3314111f f f f f =--=--=--==⎡⎤⎣⎦，所以()()53f f ≠，故丙不正确；()()()()22242f x f x f x f x +=---=--+-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 关于直线2x =对称，又()()()84f x f x f x -=--=，所以()f x 的周期为8，故6x =-也是()f x 的对称轴.画草图可知，()()()00,1f x m m -=∈在[-8,8]上有四个根，其和为()26228⨯-+⨯=-，故丁正确.12.（理）C 【解析】法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C 316－4C 34－C 24C 112＝560－88＝472.法二：有红色卡片的取法有C 14C 23C 14C 14＋C 14C 13C 24，不含红色卡片的取法有C 14C 14C 14＋C 13C 24C 18，总共不同取法有C 14C 23C 14C 14＋C 14C 13C 24＋C 14C 14C 14＋C 13C 24C 18＝472.（文）B 【解析】当y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )图象有且仅有两个不同的公共点时，其图象为作出点A 关于原点的对称点C ，则C (－x 1，－y 1)，由图象知－x 1<x 2，－y 1>y 2，故x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0，故选B.13. ()(),11,-∞-+∞【解析】0()1f x >⇔000211x x -≤⎧⎨->⎩，或001x >⎧，，解得01x <-或01x >.14. 9【解析】此题运用等比数列的性质232,,m m m m m S S S S S --仍然构成等比，即相隔m 的连续项的和构成等比，故可以列式为()()263396S S S S S -=-，解得69S =. 15.（理）64【解析】易知(51的展开式中x ，2x 项的系数分别是10，5，所以()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是510a +，所以有51015a +=，解得1a =，所以令()()51x x a ++中的1x =即可得展开式的所有项系数的和，因此有()(55611122264+=⨯==.（文）3π32【解析】区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，，的可行域如下图所示，故所求事件的概率为211π13π44==1432423S P S ∆⨯⨯=⨯⨯圆.16.②④【解析】对①，πsin cos 2y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，从而可知函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0π，上是增函数，为假命题；对②,由(311)(327)2(1)0⨯-⨯-=⨯-<可知,点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧，为真命题； 对③，由15320a a a +==，得30a =，又数列{}n a 单调递减，所以当2n =或3n =时，n S 取得最大值，为假命题；对④，由定义可知2+3()=x x f x x3211133x x x x =+-，故()2'21f x x x =+-.则()'12f =.所以函数()f x 在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程为()1213y x -=-，化为一般式为6350x y --=，为真命题.17.解：（1）由题得()sin sin sin sin a A B b B c C -+=，第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736. （2）根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136，P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19，P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13，P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.（文）解：（1）标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E .从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ).共10种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.（2）记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种.由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种.所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.19. （理）解:（1）以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. 因为AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E ⊥AD 1.（2）假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0). 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z ).因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.（3）连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . 因为B 1C ∥A 1D ，所以AD 1⊥B 1C .又由（1）知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，所以AD 1⊥平面DCB 1A 1.所以AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1). 设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a21＋a 24＋a2.因为二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，所以|cos θ|＝cos30°，即3a 221＋5a24＝32， 解得a ＝2，即AB 的长为2. （文）解：（1）由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，所以点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1，又1MCC S ∆＝12CC 1×CD ＝12×2×1＝1，所以1A MCC V -∆＝13AD ·1MCC S ∆＝13.（2）将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C 共线时，A 1M ＋MC 取得最小值. 由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点.连接C 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2，CC 1＝2.所以CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1.又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，所以B 1C 1⊥CM . 又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，所以CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ； 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC ＝M ，所以B 1M ⊥平面MAC .20. （理）解：（1）容易求得：713=a ，1014=a . 故可以猜想()132n a n n *=∈-N .下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当4,3,2,1=n 时，结论成立；②假设当()4n k k =≥时（也可以1≥k ），结论也成立，即()132k a k k *=∈-N ； 那么当1+=k n 时，由题设与归纳假设可知，()121(1)11111321321(31)(1)313(1)232kk kk k a k k k a k a k k k k k k k k +-⨯----======---+-++---. 即当1+=k n 时，结论也成立.综上，对n *∀∈N ,231-=n a n 成立.（2）13n b ====，所以121...1)3n b b b ⎡⎤+++=+++⋅⋅⋅+⎣⎦)113=.所以只需要证明3)113(31nn <-+⇔1313+<+n n ⇔132313++<+n n n ⇔n 320<（显然成立）， 所以对任意的自然数n *∈N ，都有3...21n b b b n <+++. （文）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列.所以122)1(12-=⨯-+=n n a n . 因为0>n a，所以n a =()*n ∈N .（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=. 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ② ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--132322n n ++=-. 所以2332n nn S +=-.21.解：（1）设椭圆M 的半焦距为c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，4ab ＝8，所以a ＝2，b ＝1，因此椭圆M 的标准方程为x 24＋y 2＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64m 2－80(m 2－1)＝80－16m 2>0，得－5<m < 5.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－15.所以|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝45－m 2(－5<m <5). 线段CD 的方程为y ＝1(－2≤x ≤2)，线段AD 的方程为x ＝－2(－1≤y ≤1).①不妨设点S 在AD 边上，T 在CD 边上，可知1≤m <5，S (－2，m －2)，D (－2,1)， 所以|ST |＝2|SD |＝2[1－(m －2)]＝2(3－m ).因此|PQ ||ST |＝455－m 2－m 2.令t ＝3－m (1≤m <5)，则m ＝3－t ，t ∈(3－5，2].所以|PQ ||ST |＝455－－t 2t 2＝45－4t 2＋6t －1＝45－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋54， 由于t ∈(3－5，2].所以1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3＋54.因此当1t ＝34，即t ＝43时，|PQ ||ST |取得最大值255，此时m ＝53.②不妨设点S 在AB 边上，T 在CD 边上，此时－1≤m ≤1，因此|ST |＝2|AD |＝22，此时|PQ ||ST |＝255－m 2.所以当m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.③不妨设点S 在AB 边上，T 在BC 边上，－5<m ≤－1.由椭圆和矩形的对称性知|PQ ||ST |的最大值为255，此时m ＝－53.综上所述，m ＝±53或m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.22.（理）解：（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为}0|{>x x ，且22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'=-++==.因为2a >，所以12a>. 当01x <<或2a x >时，()0f x '>；当12ax <<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1),(,)2a+∞.（2）当4a =时，2(1)(2)()x x f x x--'=.所以，当x 变化时，)(/x f ，)(x f 的变化情况如下：所以51ln 41611)(2-=+⨯-==）（极大值f x f ，82ln 42ln 42622)(2-=+⨯-==）（极小值f x f .函数)(x f 的图象大致如下：所以若函数m x f y -=)(有三个不同的零点，则()4ln28,5m ∈--. （3）由题意,当4a =时，4()26f x x x'=+-， 则在点P 处切线的斜率=切k 642)(000/-+=x x x f . 所以()20000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭200004264ln 4x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭.令()()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+----+ ⎪⎝⎭， 则0()0x ϕ=，()()()000000044222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当0x ()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ<=从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0)(0<-x x x ϕ；当0x >时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ>=从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x x x ϕ<-；所以在(2,)+∞上不存在“类对称点”.当0x =(22()x x x ϕ'=，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故0()0.x x x ϕ>-所以x =.（文）解：（1）当3-=a 时，()3243f x x x =+-x ，()2383f x x x '=+-，其对标轴为34-=x . 当()1,1x ∈-时，()f x '是单调增函数， 又()()180,180f f ''-=-<=>， 在()1,1-上，由()0f x '=，得1=3x ； 在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上)(x f '＜0，()f x 为减函数；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上)(x f '＞0，()f x 为增函数.由上得出在()1,1-上，()f x 不是单调函数. ………………5分 （2）在[]0,2上()19163g x x =-是增函数，故对于[]20,2x ∈，()21,63g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ………6分 设()()()[]21111112322,1,1h x f x ax x x a a x '=+=+-+∈-.()1162h x x '=+，由()10h x '=，得311-=x . …………………7分要使对于任意的]1,1[1-∈x ，存在]2,0[2∈x 使得()()12h x g x =成立，只需在[]1,1-上，-()1163h x ≤≤， …………9分 在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()1'0h x <；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上()1'0h x >，所以311-=x 时，()1h x 有极小值211233h a a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭. 又()()22112,152h a a h a a -=--=--，因为在[]1,1-上()1h x 只有一个极小值，故()1h x 的最小值为a a 2312---. 222126,526,112,33a a a a a a ⎧⎪--≤⎪--≤⎨⎪⎪---≥-⎩ 解得02≤≤-a . ………………………………12分。