第六章数列
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6.1 数列的概念与简单表示法
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式： (1)7,77,777,7 777，… (2)23，－415，635，－8
63，… (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…
【解析】(1)将数列变形为79·(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，7
9(10n －1)，
故a n ＝7
9
(10n －1).
(2)分开观察，正负号由(－1)n
＋1
确定，分子是偶数2n ，分母是1×3,3×5,5×7， …，(2n －1)(2n ＋1)，故
数列的通项公式可写成a n ＝(－1)n
＋1
)
12)(12(2+-n n n
.
(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….
故数列的通项公式为a n ＝n ＋2
)1(1n
-+.
【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.
【变式训练1】如下表定义函数f (x )：
对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (n －1 2 008 ) A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n . 所以a 2 008＝a 4＝2，故选B.
题型二 应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11
n S S n S n n
求数列通项
【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求其通项公式： (1)S n ＝3n －2； (2)S n ＝1
8
(a n ＋2)2 (a n ＞0).
【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －
1－2)＝2×3n －
1，
又a 1＝1不适合上式，
故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯=-)
2(32),1(11n n n
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1
8(a 1＋2)2，解得a 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－1
8
(a n －1＋2)2，
所以(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0， 又a n ＞0，所以a n －a n －1＝4， 可知{a n }为等差数列，公差为4，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， a 1＝2也适合上式，故a n ＝4n －2.
【点拨】本例的关键是应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),
1(11
n S S n S n n
求数列的通项，特别要注意验证a 1的值是否满足
“n ≥2”的一般性通项公式.
【变式训练2】已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A.2n －1
B.(n ＋1n
)
n －1
C.n 2
D.n
【解析】由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒
a n ＋1a n ＝n ＋1
n
. 所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝n n －1×n －1n －2×…×32×2
1＝n ，故选D.
题型三 利用递推关系求数列的通项
【例3】已知在数列{a n }中a 1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式： (1)a n ＋1＝a n 1＋2a n ；(2)a n ＋1＝2a n ＋2n ＋
1.
【解析】(1)因为对于一切n ∈N *，a n ≠0，
因此由a n ＋1＝a n 1＋2a n 得1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1
a n
＝2.
所以{1a n }是等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)·2＝2n －1，即a n ＝1
2n －1.
(2)根据已知条件得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12
n ＋1－a n
2n ＝1.
所以数列{a n 2n }是等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)＝2n －12
，即a n ＝(2n －1)·2n －
1.
【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.
【变式训练3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2
n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求a n .
【解析】因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0，
令
a n ＋1
a n
＝t ，所以(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 所以[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，
得t ＝n n ＋1
或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝n
n ＋1.
所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45
·…·n －1n ，所以a n ＝1
n .
总结提高
1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.
2.由S n 求a n 时，要分n ＝1和n ≥2两种情况.
3.给出S n 与a n 的递推关系，要求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
6.2 等差数列
典例精析
题型一 等差数列的判定与基本运算 【例1】已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n .
(1)求证：{a n }为等差数列；(2)记数列{|a n |}的前n 项和为T n ，求 T n 的表达式. 【解析】(1)证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝－8，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－9n －[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10， 当n ＝1时，也适合该式，所以a n ＝2n －10 (n ∈N *). 当n ≥2时，a n －a n －1＝2，所以{a n }为等差数列. (2)因为n ≤5时，a n ≤0，n ≥6时，a n ＞0. 所以当n ≤5时，T n ＝－S n ＝9n －n 2，
当n ≥6时，T n ＝||a 1＋||a 2＋…＋||a 5＋||a 6＋…＋||a n ＝－a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝S n －2S 5＝n 2－9n －2×(－20)＝n 2－9n ＋40，
所以，
【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.
