高中数学第二章统计2.1.3分层抽样练习(含解析)新人教A版必修3
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第13课时 分层抽样
知识点一 分层抽样的概念
1．某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．系统抽样
C．分层抽样 D．随机数法
答案 C
解析 由于老年人、中年人和青年人的身体情况会有明显的差异，所以要用分层抽样，故选C．
2．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
答案 B
解析 A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求( )
A．每层不等可能抽样
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝nNiN(i＝1，2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
答案 C
解析 A不正确；由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确；D不正确．
知识点二 分层抽样的应用
4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 A
解析 设从高三学生中抽取x人，则2107＝300x，得x＝10．
5．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________．
答案 88
解析 依题意，得22＋3＋5＋1＝16n，∴16n＝211，解得n＝88，所以样本容量为88．
易错点 忽略抽样的公平性致错
6．某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．
易错分析 一定要牢记分层抽样就是按比例抽样，因此列出比例式即可．易错点是所列比例式中“＝”两边标准不同．
正解 设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x．
抽样比例为1501200＝18，
∵女生比男生少抽了10人，
∴18x＝18(1200－x)－10，解得x＝560．
一、选择题
1．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )
A．5，10，15 B．3，9，18
C．3，10，17 D．5，9，16
答案 B
解析 分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为a，b，c，则a15＝b45＝c90＝30150，解得a＝3，b＝9，c＝18．
2．某校有1700名高一学生，1400名高二学生，1100名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是( )
A．高一学生被抽到的概率最大
B．高三学生被抽到的概率最大
C．高三学生被抽到的概率最小
D．每名学生被抽到的概率相等
答案 D
解析 无论采用哪种抽样，每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率相等．故选D．
3．学校进行数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m的值为( )
A．75 B．100 C．125 D．135
答案 D
解析 由三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在90～120分的人数是45可知，45m＝35＋3＋1，解得m＝135．
4．从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示．
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A．60 B．100 C．1500 D．2000
答案 A
解析 由分层抽样方法知所求人数为23－21500×15000＝60．
5．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为( )
类别 人数
老年人
15
中年人 ？
青年人
40
A．9 B．8 C．6 D．3
答案 C
解析 设该单位的中年人的人数为x，则由表，可知315＝1715＋x＋40，解得x＝30．因此在抽取的17人中，抽到中年人的人数为30×1715＋30＋40＝6，故选C．
二、填空题
6．一工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品．
答案 5600
解析 设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品，则a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即aT甲＝bT乙＝cT丙．又2b＝a＋c，所以 T甲＋T丙＝2T乙，T甲＋T乙＋T丙＝16800，所以T乙＝168003＝5600． 7．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，200个，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，其中C种零件抽取了10个，则此三种零件共有________个．
答案 900
解析 抽样比为10200＝120，则总数为45×20＝900．
8．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型 A B C
产品数量(件) 1300
样本容量 130
由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
答案 800
解析 抽样比为130∶1300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3000－1300)－100]×12＝800(件)．
三、解答题
9．某单位200名职工的年龄分布情况如下图所示，现要从中抽取40名职工作为样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．
(1)若第5组抽出的号码为22，则抽出的最小号码和最大号码分别是多少？
(2)若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取多少名？
解 (1)由分组可知，分段的间隔为5．又第5组抽出的号码为22，所以第1组抽出的号码为22－(5－1)×5＝2，第40组抽出的号码为22＋(40－5)×5＝197，即抽出的最小号码是2，最大号码是197．
(2)由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100．若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取40200×100＝20(名)．
10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42．5%，中年人占47．5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解 (1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有x·40%＋3xb4x＝47．5%，x·10%＋3xc4x＝10%．解得b＝50%，c＝10%．
故a＝1－50%－10%＝40%．即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%，50%，10%．
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；
抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；
抽取的老年人人数为200×34×10%＝15．
