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高中数学必修三：概率与统计1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ).A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，322．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A．300克 B．360千克C．36千克D．30千克3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,84．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与t，那么下列说法正确的是( ).A ．直线l1和l2一定有公共点(s ，t)B ．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s ，t)C ．必有直线l1∥l2D ．直线l1和l2必定重合5..设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 6．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．r 越大，相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小 D ．以上说法都不对7、.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为sA 和sB,则（ ）(A) A x ＞B x ，sA ＞sB(B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C) A x ＞B x ，sA ＜sB(D) A x ＜B x ，sA ＜sB8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）19某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）（A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）3510..样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,m y y y ）的平均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z ax a y =+-，其中102α<<，则n ,m 的大小关系为( )A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定 11．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显着差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法12 ．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

数学必修3 统计与古典概率专题一、统计知识要点： 1、数据的收集：①总体与样本、样本容量 ②随机抽样：简单随机抽样、.系统抽样、.分层抽样 2、数据的处理：①根据数据的特征数：趋中程度：众数、中位数、均值 离散程度：方差、标准差 ②根据频率分布 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图 3、变量的相关关系①变量间关系 ②相关关系的分析 ③两变量的线性关系 二、概率知识要点：1、古典概型 2、几何概型 三、基础练习1.某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （A ）9（B ）18（C ）27(D) 362.一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表则样本数据落在(10,40)上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.643.设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定4.对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关5.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。

高中数学必修三：概率与统计1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，322．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A ．300克 B ．360千克 C ．36千克 D ．30千克3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为 （ ）A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,84．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都分别相等，且值分别为s 与t ，那么下列说法正确的是( ). A ．直线l1和l2一定有公共点(s ，t)B ．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s ，t) C ．必有直线l1∥l2 D ．直线l1和l2必定重合5..设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg6．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．r 越大，相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小 D ．以上说法都不对 7、.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为sA 和sB,则（ ）(A) A x ＞B x ，sA ＞sB(B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C)A x ＞B x ，sA ＜sB(D) A x ＜B x ，sA ＜sB8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）19某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）（A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）35 10..样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,m y y y ）的平均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z ax a y =+-，其中102α<<，则n ,m 的大小关系为( )A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定11．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法12 ．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n2n2i =1i i =1i∑ (x - x ) ∑ ( y - y ) n 2n2i =1i i =1i1 2 n 1 2 n n i iiii一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

概率与统计x + x + ⋅⋅⋅ + x x + x + ⋅⋅⋅ + x 2、平均数：①、常规平均数： x = 1 2 nn②、加权平均数： x = 1 1 2 2 n n+ + ⋅⋅⋅ + 1 2 n3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差： s 2= 1[(x - x )2+ (x - x )2+ ⋅⋅⋅ + (x - x )2 ]n1 2 n二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积： f = S = y ⨯ d ；频率=频数/总数2、频率之和： f + f + ⋅⋅⋅ + f = 1；同时 S + S + ⋅⋅⋅ + S = 1 ；三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。

2、平均数： x = x f + x f + x f + ⋅⋅⋅ + x f x = x S + x S + x S + ⋅⋅⋅ + x S 1 12 23 3n n1 12 23 3n n3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。

4、方差： s 2 = (x - x )2 f + (x - x )2 f + ⋅⋅⋅ + (x - x )2 f1122nn四、线性回归直线方程： y ˆ = b ˆx + a ˆn n∑(x i - x )( y i - y ) ∑ x i y i - nxy 其中： b ˆ = i =1 = i =1 ,a ˆ = y -b ˆx∑n (x - x )2 ∑ x 2 - nx 2i =1iii =11、线性回归直线方程必过样本中心(x , y ) ；2、b ˆ > 0 : 正相关； b ˆ < 0 : 负相关。

高一数学必修三统计、概率例1.在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（1）画出频率分布表，并画出频率分布直方图；（2） 估计纤度落在［1.38,1.50）中的概率及纤度小于1.40概率是多少？ （3） 均 数. 例2： 一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运 转的速度而变化，下表为抽样试验结果：（1） 如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（保留4位小数）（2） 若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个。

那么，机器的运转 速度应控制在什么范围内？（保留4位小数） 例3：先后随机投掷2枚骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子 出现的点数.（1）求点尸（x, *）在直线*=才一1上的概率；（2）求点户（x, *）满足./<4x 的概率.变形思考3： （2009 •湛江一模）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的 小球，球上分别标有数字1、2、3、4.（1） 甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的 数字大谁就获胜（数字相同则为平局），求甲获胜的概率；（2） 摸球方法与（1）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同 则乙获胜，这样规定公平吗？ 例4：甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻 到达是等可能的.如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需 要等待码头空出的概率.变形思考4：甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任 何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.变形思考5：（2008 •惠州市第三次调研题）右图的矩形，长为5, 宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为-4.作出区域()Wx<24, ()Wv<24,)一I > 4,或 y - X <-4.设“两船无需等待码头空出”为事件.4变形思考4,5：221 232 x-y x20x20(2)纤度落在[1. 38, 1.50)中的概率约为 0. 30+0. 29+0. 10=0. 69, 纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+为0.30=0.44 (III)总体数据的众数：1. 4 中位数：1.%08 平均数:1.4088 例 2： (l)y = 0.7286x-0.8575(2)要使宁 <10=> 0.7286X - 0.8575 < 10,所以x< 14.9019,所以机器的转速应控制在14.9019转/秒。

如均值(其中的阅读)、回归中的数据相关性与实 践是否相符—出生时间与智商)

实际结果：罗斯福以62：38胜兰登
学生活动：问题出在哪里？
问题1：如何科学合理地进行抽样？ 更多的实例：
有厂家在火车站调查旅客(他们认为 车站有各色人)，以了解公众对其生产的 奶粉的意见，合适吗？
一位心理咨询师根据他接触的病人 得出结论：每个人都有点精神病。可信 吗？
学生活动：独立思考、相互讨论 标准：等可能 问题2：为了了解高一(1)班50名学生的视力状 况，从中抽取10名学生进行检验，如何抽取？ 问题3：运用抽签法抽取样本时，做签、抽签 都比较麻烦，能否“只抽一次，以后共用”？
３。以案例分析的形式经历统计分析的 过程，感受统计研究的思想，掌握统计 推断的方法
教参中的教学案例解说、教学设计的再创造
问题情境
情境1：某工厂生产一批灯泡，要了解这批 灯泡的使用寿命，怎么办？
情境2：保险公司为对人寿保险制定适当的 赔偿标准，需要了解人口的平均寿命，怎 样获得相关数据？ 情境3：国际奥委会2003年6月29日决定， 2008年北京奥运会的举办日期将比原定日 期推迟2周，改在8月8日至8月24日举行， 原因是7月末8月初北京地区的气温高于8月 中下旬。这一结论是如何得到的？
生活中的实例与误解
(4)义务教育阶段对统计和概率已有认识 图表表示数据(表、比例图、饼图、 条形图等) 直观、描述性的数据分析(如频率、 样本平均数等) 高中必修部分：
还是以描述性的统计为主，但应适 当增强理性依据。内容也有所增加。
(5)教材定位与要求
定位：通过案例经历统计分析的过 程 ，体验统计学的基本思想。 以课标为标准，取较低要求：描述性 的统计学
（２）与统计学与概率论的思维方式有关：统计

概率统计通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为：X0 1 2 3 4 5P136 112 19 13 19 13于是，我们可以根据分布列画出函数的图象.考点1：二点分布1.如果随机变量X 的分布列为X 1 0P p 1p -其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布．屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的挑选一个撞过去，那么成功率就是13.随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败定义为0，则X 的分布列满足二点分布．X 1 0P1323知识点睛543210PX2.二点分布的期望与方差：若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()221011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=-【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当12p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的．【例1】 二点分布从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及期望与方差．【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()205P X ==，()315P X ==，概率分布表如下：X 0 1 P2535()35E X =，()2365525D X =⨯=．考点2：超几何分布1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．2.超几何分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻知识点睛经典精讲了，不过眼神依然不好.他现在决定尝试20次（否则可能撞的次数太多给撞死了），并且撞过的窗户不再去撞了，记录结果，统计一下有多少次能出去.这就是超几何分布，从模型角度讲，超几何分布就是“无放回”的抽取.超几何分布的典型例子就是生物学上的标记重捕法．先标记种群内的一部分个体，放回后再次捕捉，统计含有标记的数量，来估计总数，这实际是利用了超几何分布的期望的直观意义．【教师备案】老师在讲完超几何分布后，就可以让学生做例2，例2主要是让学生写超几何分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式就可以很快写出分布列；然后老师就可以继续讲超几何分布的期望与方差，对于超几何的期望和方差，老师可以只介绍期望公式，方差的公式太麻烦了，所以不建议给学生讲解，而且期望的公式推导过程也不要求，只需让学生记住就行了．讲完期望公式后，就可以让学生做例3，例3主要是套公式，学生会发现，对于超几何分布求期望用公式也非常快．【例2】 求超几何分布的分布列一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球， ⑴ 求其中红球个数的分布列 ⑵ 求其中白球个数的分布列．【追问】从红球的分布列和白球的分布列你能看出X 和Y 的取值之间有什么关系？【解析】 ⑴ 记X 表示“取出4个球中红球的个数”，则X 服从参数为1044，，的超几何分布．∴0446410C C 1(0)C 14P X ⋅===，1346410C C 8(1)C 21P X ⋅===，2246410C C 3(2)C 7P X ⋅===， 3146410C C 4(3)C 35P X ⋅===，4046410C C 1(4)C 210P X ⋅===． ∴X 的分布列为：X0 1 2 3 4 P114821 37 435 1210⑵ 记Y 表示“取出4个球中白球的个数”，则Y 服从参数为1064，，的超几何分布．∴4046410C C 1(0)C 210P Y ⋅===，3146410C C 4(1)C 35P Y ⋅===， 2246410C C 3(2)C 7P Y ⋅===，1346410C C 8(3)C 21P Y ⋅===，0446410C C 1(4)C 14P Y ⋅===， ∴Y 的分布列为： Y0 1 2 3 4 P1210435 37 821 114【追问】4X Y +=，故(0)(4)(1)(3)P X P Y P X P Y ======，，．提高班学案1【铺1】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规定每次考试经典精讲都从备选题中随机抽出5题进行测试，求他答对题数的期望．【解析】 设答对的试题数为ξ，则ξ服从参数为1065，，的超几何分布，因此由公式知他答对题数的期望为()56310E ξ⨯==．【例3】 求超几何分布的期望一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个、黑球3个，现在从中随机摸出3个球． ⑴求摸到红球个数ξ的概率分布列和数学期望； ⑵求摸到黑球个数η的概率分布列和数学期望．【解析】 ⑴ 摸到红球的个数ξ为离散型随机变量，且ξ服从8N =，5M =，3n =的超几何分布，ξ可能取值为0123，，，．于是有()35338C C C m mP m ξ-==． ()035338C C 10C 56P ξ===，()125338C C 151C 56P ξ===， ()215338C C 152C 28P ξ===，()305338C C 53C 28P ξ===． 所以摸到红球个数的分布列为ξ 0 1 23 P156 **** **** 528 ∴()88E ξ==．⑵ 摸到黑球的个数η为离散型随机变量，且η服从8N =，3M =，3n =的超几何分布，η可能取值为0123，，，．于是有()33538C C C m m P m η-==． ()033538C C 50C 28P η===，()123538C C 151C 28P η===， ()213538C C 152C 56P η===，()303538C C 13C 56P η===． η 0 1 23 P528 1528 1556 156 ∴()88E η==．【点评】 解题的关键是能够判断所给问题属于超几何分布模型．尖子班学案1【拓2】 盒中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球个数的期望和方差． 【解析】 设取出白球个数为ξ，则ξ服从参数为532，，的超几何分布，ξ的可能取值为012，，．因此，()32 1.25E ξ⨯==，()()()()2221330 1.21 1.22 1.20.3610510D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=．目标班学案1【拓3】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值． 【解析】 方法一：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．021120232323222555C C C C C C 361(0)(1)(2)C 10C 10C 10P X P X P X =========，，． 012X =，，时他所获得的钱数分别为100150200，，．因此他获得钱数的期望值为：100(0)150(1)200(2)140P X P X P X ⨯=+⨯=+⨯==元．方法二：设他取得100元的张数为X ，则X 服从参数为522，，的超几何分布．由公式知()22455E X ⨯==．因此他获得钱数的期望值为：4410050214055⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭元．考点3：二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率p 相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q- …C k k n kn p q- …C n n n p q称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．3．二项分布的期望与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D X npq =(1)q p =-．【教师备案】学生没学过二项式定理，所以期望和方差的推导了解即可． 【教师备案】设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，由X 的分布列()C k k n kn P X k p q-==，0k =，1，2，…，n 和数学期望的定义式得到 00111222()0C 1C 2C C C n n n k k n kn n n n n n n E X p q p q p qk p qn p q ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯00111211(1)(1)1101111(C C C C )n n k k n k n n n n n n np p q p q p q pq -------------=⋅+++⋅++ 1()n np p q np -=+=，所以()E X np =． ∴()()220202C(1)C C (1)C nnnnii n ii in ii in ii i n i nnnn i i i i E Xi p qi i p qi p qi i p q E X ----======-+=-+∑∑∑∑()222(2)(2)22(1)Cni i n i n i n n pp qE X ------==-+∑()22(2)2(1)Cn j j n j n j n n pp q E X ----==-+∑()()2222(1)()(1)(1)n n n p p q E X n n p E X n n p np -=-++=-+=-+，知识点睛∴()()()22222()(1)()D X E X E X n n p np np np np npq =-=-+-=-=． 故()D X npq =．【举例】老师可以以二点分布知识点睛中的【举例】继续引申，从而让学生更直观的理解二项分布.现在假设这只鸟比较傻，每次都记不住上次的结果，那么这只鸟就可能需要不停的重复进行撞玻璃的操作，每次的成功率都是13.这种独立重复试验就可以用二项分布的模型来研究．从直观意义上来讲，二项分布可以看做是多个二点分布重复出现的结果.从模型角度讲，二项分布实际是“有放回”抽取的模型.对于二项分布的期望和方差，我们一样可以有直观意义.二项分布的期望指的是平均成功次数，而方差是随着次数的增多而增加，相比于二点分布，在同样的试验次数下，二项分布也是在12p =时方差最大，也就是结果最不稳定．【教师备案】老师在讲完二项分布后，就可以让学生做例4，例4主要是让学生写二项分布的分布列，关键是让学生从题目上就可以看出是二项分布，然后根据二项分布的概率公式就可以很快写出二项分布列；然后老师就可以继续讲二项分布的期望与方差，讲完期望与方差公式后，就可以让学生做例5，例5主要是套公式，学生会发现，对于二项分布求期望和方差用公式非常快，这时就不需要用上一讲讲的期望和方差最原始的公式了．提高班学案2【铺1】 某一学校心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问 该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 【解析】 3个人各做一次试验，看成三次独立重复实验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数ξ，故符合二项分布．由题意可知：3~34B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以3331()C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3．ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P16496427642764【例4】 求二项分布的分布列一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，求ξ的分布列．【解析】 将遇到每个交通岗看做一次试验，遇到红灯的概率都是13，且每次试验结果相互独立，故1~63B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以ξ的分布为6612()C (0126)33k kk P k k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，． ξ0 1 2 3 4 5 6 P64729 64243 80243 160729 20243 4243 1729提高班学案3经典精讲【铺1】 设()~B n p ξ，且() 2.4E ξ=，() 1.44D ξ=，试求n p ，的值． 【解析】 因为()~B n p ξ，，所以()E np ξ=，()()1D npq np p ξ==-由题意可得方程组 ()2.41 1.44np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得0.46.p n =⎧⎨=⎩，【例5】求二项分布的期望某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． ⑴ 任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵ 任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望．【解析】 ⑴ 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是： 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B =⋅=⋅=⨯=．所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=．⑵ 因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，．33()C 0.90.1k k k P k ξ-==⨯⨯，0123k =，，，．3(0)0.10.001P ξ===；2(1)30.90.10.027P ξ==⨯⨯=； 2(2)30.90.10.243P ξ==⨯⨯=；3(3)0.90.729P ξ===；ξ 012 3 P0.001 0.0270.243 0.729∴ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=．尖子班学案2【拓2】 某厂一批产品的合格率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：⑴ 抽出的10件产品中平均有多少件正品；⑵ 计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．【解析】 用X 表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X 服从二项分布()100.98B ，． ⑴ 利用二项分布的期望公式得到()100.989.8E X =⨯=．平均有9.8件正品； ⑵ X 的方差()100.980.020.196D X =⨯⨯=，标准差()0.196D X σ．目标班学案2【拓3】 一份数学模拟试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每题选得正确答案得4分，不做选择或选错不得分，满分100分．张强选对任一题的概率为0.8，求他在这次数学测验中的成绩的期望． 【解析】 张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布()~250.8X B ，，其数学期望有简便算法．设张强做对选择题的个数为X ，则()~250.8X B ，， 所以()250.820E X np ==⨯=．因为答对每题得4分，所以张强在这次数学测验中的成绩为4X ，其成绩的期望值为()()4442080E X E X ==⨯=．【点评】 本题中，利用二项分布的均值公式()E X np =快速地求出所求的期望值，当n 的值越大时，这一公式更加显得威力无比，因此我们要熟练掌握这一公式，并能灵活地运用它，在运用时，需要注意的是，只有随机变量X 服从二项分布时，才能运用该公式来求均值．考点4：综合运用【教师备案】老师在讲完上一讲的离散型随机变量和本讲前边的典型分布以后，学生对离散型随机变量都有了很明确的认识，所以这时候就可以让学生做一下下边的综合题，让学生再巩固一下离散型随机变量的分布列、期望和方差．【例6】 综合运用甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23． ⑴ 记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望()E ξ与方差()D ξ； ⑵ 求乙至多击中目标2次的概率；⑶ 求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【解析】 ⑴ ()303110C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()313131C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()323132C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．ξ的概率分布如下表：ξ 0 1 23 P18 38 38 18 ()13310123 1.58888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()13 1.52E ξ=⨯=）()1133224D ξ=⨯⨯=；⑵ 乙至多击中目标2次的概率为3332191C 327⎛⎫-= ⎪⎝⎭．⑶ 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件1B ，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件2B ，则12A B B =+，1B 、2B 为互斥事件．()()()12311218278924P A P B P B =+=⋅+⋅=．所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．尖子班学案3【拓2】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……，6），求： ⑴ 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； ⑵ 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望． 【解析】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．⑴ 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由古典概经典精讲型的概率计算公式得()2326C 14()111C 55P A P A =-=-=-=．⑵ ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且()26510C 3P ξ===，()26441C 15P ξ===，()26312C 5P ξ===，()26223C 15P ξ===，()26114C 15P ξ===从而知ξ有分布列 ξ 0 12 3 4 P13 415 15215 115所以，()14121401234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．目标班学案3【拓3】 甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设甲、乙命中10环的次数分别为X 、Y ，则4()3E Y =．ξ为甲与乙命中10环的差的绝对值．求ξ的期望．【解析】 由已知可得~(20.5)~(2)X B Y B s ，，，，故4()23E Y s ==，所以23s =．||X Y ξ=-，ξ的取值可以是012，，．(0)()(0)(1)(2)P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ======+==+==甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是22111(0)2336P X Y ⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是112211122(1)C C 22339P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是222222121(2)C C 239P X Y ⎛⎫⎛⎫===⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以12113(0)369936P ξ==++=； (2)(||2)(02)(20)(0)(2)(2)(0)P P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ξ==-====+=====+==，，甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是：222022111(2)(0)C C 2336P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是：220222121(0)(2)C C 239P X P Y ⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以115(2)36936P ξ==+=，因此1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==ξ的期望是157()22369E ξ=+⋅=．【例7】 综合运用袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等． ⑴ 求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；⑵ 用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和期望．【追问】用Y 表示取出的3个小球上所标的最小数字，Y 的分布列与期望是否可以直接看出来？【解析】 ⑴ “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则31114333312C C C C 27()C 55P A ⋅⋅⋅==． ⑵ 由题意X 所有可能的取值为1，2，3，4．31211(1)C 220P X ===；1221333333312C C C C C 19(2)C 220P X ⋅+⋅+===； 2112363633312C C C C C 6416(3)C 22055P X ⋅+⋅+====； 2112393933312C C C C C 13634(4)C 22055P X ⋅+⋅+====． 所以随机变量X 的分布列为X1 2 3 4P1220 19220 1655 3455随机变量X 的期望为()11916341551234220220555544E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【追问】(4)(1)(3)(2)(2)(3)(1)(4)P Y P X P Y P X P Y P X P Y P X ============，，，故Y 的概率分布与上述X 的分布正好有关系，如直接由X 的分布列得到：X 1 2 3 4P3455 1655 19220 1220且()()5E X E Y +=．从而15565()54444E Y =-=．设篮球队A 与B 进行比赛，每场比赛均有一胜队，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假定A 、B 在每场比赛中获胜的概率都是12，需要比赛场数的期望是__________．【解析】 5.8125 【思路】随机变量ξ表示比赛场数，根据题意：“有一队胜4场比赛才宣告结束”，故ξ的取值应是4，5，6，7，把一次比赛看作一次试验，故n 场(4567)n =，，，比赛视为n 次独立重复试验．4ξ=表示甲胜4场或乙胜4场，且两两互斥．所以44411(4)2C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．5ξ=表示甲队第5场胜且前4场中胜3场，或乙队第5场胜且前4场中胜3场．所以44334411111(5)C C 22224P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类似地，55335511115(6)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，66336611115(7)C C 222216P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11比赛场数ξ的分布列为：ξ4 5 6 7 P18 14 516 516所以()11557593456713 5.812584161641616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯==．这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均进行6场比赛才能决出胜负．【错因分析】本题若审题不严，对比赛规则搞不清楚，弄不清随机变量的取值，则会出错．【演练1】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为（ ）A ．65B ．1825C ．625D ．18125【解析】 B ；2~35B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()231835525D ξ=⨯⨯=．【演练2】设有产品12件，其中有次品3件，正品9件，现从中随机抽取3件，求抽得次品件数ξ的分布列． 【解析】 从12件产品中随机抽取3件，抽得次品件数ξ是一个离散型的随机变量，它的取值可能是0、1、2、3．依题意，随机变量ξ（次品件数）服从超几何分布，所以，从12件产品中抽取3件，其中有k 件次品的概率为339312C C ()(0123)C k kP k k ξ-⋅===，，，． ∴0339312C C 21(0)C 55P ξ⋅===，1239312C C 27(1)C 55P ξ⋅===， ∴2139312C C 27(2)C 220P ξ⋅===，3039312C C 1(3)C 220P ξ⋅===， ∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3 P2155 2755 27220 1220【演练3】设在15个同类型的零件中有两个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的期望()E ξ和方差()D ξ．【解析】 ()313315C 220C 35P ξ===，()12213315C C 121C 35P ξ===，()21213315C C 12C 35P ξ===．故ξ的分布列是：ξ 01 2 P22351235 135实战演练12()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=，（ξ满足参数为1523，，的超几何分布，故232()155E ξ⨯==）()2222222122152012535535535175D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【演练4】有一批数量很大的商品次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求()E ξ，()D ξ．【解析】 因为商品数量相当大，抽200件商品可以看做200次独立重复试验，所以()~2001%B ξ，，因为()E np ξ=，()D npq ξ=，这里200n =，1%p =，99%q =，所以，()2001%2E ξ=⨯=，()2001%99% 1.98D ξ=⨯⨯=．【演练5】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望()E ξ． 【解析】 ⑴ 设A 表示事件“3人各投篮1次，3人都没有投进”，1B 表示“甲投进”，2B 表示事件“乙投进”，3B 表示事件“丙投进”，则()()()()12312111113525P A P B P B P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=--⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⑵ ξ的可能取值为0123，，，，则()332705125P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121323541C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()212323362C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()333283C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭． ξ分布列为ξ的数学期望为()0123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（或26()355E ξ=⨯=）大千世界：排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍． 求证：冠军是一支南方球队．（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分） 【解析】 设北方球队共有x 支，则南方球队有9x +支，所有球队总得分为229(29)(28)C (29)(4)2x x x x x +++==++．由题意，南方球队总得分为9(29)(4)10x x ++，北方球队总得分为1(29)(4)10x x ++，南方球队内部比赛总得分29C x +，北方球队内部比赛总得分为2(1)C 2xx x -=， 由于北方球队总得分不少于北方球队内部比赛总得分，故 (29)(4)(1)02x x x x ++--≥．111693x +<=．13因为1(29)(4)10x x ++为整数，所以6x =或8x =． ①当6x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)210x x x +=++=．南方球队内部比赛总得分9(29)(4)18910x x ++=，北方球队总得分为21018921-=．南方球队内部比赛总得分29C 105x +=，北方球队内部比赛总得分为26C 15=． 北方胜南方得分21156-=，北方球队最高得分5611+=，因为1115165189⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过11分．故冠军在南方球队中．②当8x =时，所有球队总得分为229C (29)(4)300x x x +=++=，南方球队总得分为9(29)(4)27010x x ++=，北方球队总得分为30027030-=．南方球队内部比赛总得分29C 136x +=，北方球队内部比赛总得分28C 28=．北方胜南方得分30282-=，北方球队最高得分729+=，因为917153270⨯=<，所以南方球队中至少有一支得分超过9分，故冠军在南方球队中． 综上所述，冠军是一支南方球队．。

高中数学统计与概率知识点（文）一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。

众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。

二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)三 .众数、中位数及平均数的求法。

①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。

③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。

四、中位数与众数的特点。

⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

五.平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是：七、简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有N 个个体, 从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）, 如果每次12||||||n x x x x x x n-+-++-L 22212()()()n x x x x x x s n -+-++-=L抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.八、根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？（1）总体的个体数有限；（2）样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；（3）抽取的样本不放回，样本中无重复个体；（4）每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.九、抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.十一、抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大.十一、利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法。

概率知点平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一数据的集中，最重要也是最常的方法就是用“三数”来明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念1．平均数平均数是反映一数据的平均水平的特征数，反映一数据的集中．平均数的大小与一数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的化都会引起平均数的化．２．众数在一数据中出次数最多的数据叫做一数据的众数．一数据中的众数有不唯一．众数着眼于各数出的次数的考察，就告我在求一数据的众数，既不需要排列，又不需要算，只要能找出本中出次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一数据中有数据多次重复出，它的众数也就是我所要关心的一种集中．３．中位数中位数就是将一数据按大小序排列后，在最中的一个数（或在最中的两个数的平均数）．一数据中的中位数是唯一的．二、注意区平均数、众数和中位数三者之的关系平均数、众数和中位数都是描述一数据的集中的量，但它描述的角度和适用的范又不尽相同．在具体中采用哪种量来描述一数据的集中，那得看数据的特点和要关注的．三、能正确用平均数、众数和中位数来解决由于平均数、众数和中位数都是描述一数据的集中的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决生活中的．极差、方差、准差极差、方差和准差都是用来研究一数据的离散程度的，反映一数据的波范或波大小的量 .一、极差一数据中最大与最小的差叫做数据的极差，即极差=最大 - 最小 . 极差能反映数据的化范 , 差是最的一种度量数据波情况的量，它受极端的影响大.二、方差方差是反映一数据的整体波大小的特征的量. 它是指一数据中各个数据与数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一数据偏离平均的情况 . 方差越大，数据的波越大；方差越小，数据的波越小 .求一数据的方差可以先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一数据x1、x2、x3、⋯、x n的平均数为x，则该组数据方差的计算公式为：S21[( x1 x )2( x2 x )2( x n x) 2 ] . n三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差 .即标准差 =方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小 . 两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大 . 在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象 .一、随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。

目录概率与统计 (2)模块一：统计 (2)考点1：抽样方法 (2)考点2：样本数字特征 (4)模块二：线性回归分析 (9)考点3：线性回归 (10)模块三：概率 (12)考点4：古典概型 (12)考点5：几何概型 (13)课后作业： (14)概率与统计模块一：统计考点1：抽样方法例1.（1）（2019春•龙潭区校级月考）完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样【解答】解：在①中，从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标，应该采用分层抽样；在②中，从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．应该采用的同学虚报的机抽样．故选：B．（2）（2019春•浉河区校级月考）为了了解学生学习的情况，某校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为()A．20B．24C．30D．32故选：B ．（3）（2019春•信州区校级月考）某班有40位同学，座位号记为01，02，⋯，40，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号 4954 4454 8217 3793 2378 8735 2096 4384 2634 9164 5724 5506 8877 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0767 5086选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个志愿者的座位号是( ) A ．09B ．20C ．37D ．38【解答】解：根据题意，从随机数表第一行的第11列和第12列数字17开始，由左到右依次选取两个数字，即为：17，37，23，35，20，⋯； 则选出来的第5个志愿者的座位号20． 故选：B ．（4）（2019春•香洲区校级月考）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，⋯，600，利用系统抽样方法抽取容量为25的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为049与120之间抽得的编号为( ) A ．056，080，104B ．054，078，102C ．054，079，104D ．056，081，106【解答】解：样本间隔为6002524÷=， 若在第一组随机抽得的编号为006， 则所有号码为624(1)2418n n +-=- 则当2n =时，号码为30， 当3n =时，号码为54， 当4n =时，号码为78， 当5n =时，号码为102， 当6n =时，号码为126，故在编号为049与120之间抽得的编号为054，078，102，故选：B ．（5）（2018秋•岳麓区校级月考）将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，⋯，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( ) A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人， 由第二营区的编号为181到295，可知181103295k +，k N ∈，可得1829k ， 因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10． 故选：A ．考点2：样本数字特征例2.（1）（2019春•博望区校级月考）踢建子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比賽，把20人平均分成甲、乙两组，并把毎人在1分钟内踢毽子的数目用茎叶图记录如下（其中中间的数字表示十位数，两侧的数字表示个位数）．则下列判断正确的是( )A ．甲组中位数大，乙组方差大B ．甲组方差大，乙组极差大C ．甲组平均数大，乙组方差大D ．甲组极差大，乙组中位数大甲的极差为：622735-=，乙的极差为：652243-=．从茎叶图看，乙更集中，甲更分散，故甲的方差更大，故选：B．（2）（2019春•南陵县校级月考）从某地区年龄在25~55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A．抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为20B．抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为30C．抽出的100人中，年龄在40~50岁的人数大约为40D．抽出的100人中，年龄在35~50岁的人数大约为50【解答】解：年龄在40~45岁的频率为：-++++⨯=，1(0.010.050.060.020.02)50.2⨯=人，∴抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为：1000.220年龄在35~45岁频率为：-+++⨯=，1(0.010.050.020.02)50.5⨯=人，∴抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为1000.550故A正确，B，C，D均错误．故选：A．（3）（2019春•天元区校级月考）在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，⋯，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为()A．39B．35C．15D．11【解答】解：由频率分布直方图得成绩在[13，15)之间的频率为：1(0.380.320.08)0.22-++=，∴这50名选手中获奖的人数为：500.2211⨯=．故选：D．（3）（2019春•洮北区校级月考）从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：)kg数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正、副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为()A．13B．14C．25D．23【解答】在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中抽取的人数之比为0.3:0.2:0.13:2:1=，所有的选法有21266C=种，这两人身高不在同一组内的选法有64624244⨯+⨯+⨯=种，故选：D．（4）（2019春•和平区校级月考）在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是( )A ．210B ．205C ．200D ．195【解答】解：由频率分布直方图得：在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为：1(0.0120.0180.030)100.4-++⨯=，∴在该次测验中成绩不低于100分的学生数为：5000.4200⨯=．故选：C ．（5）（2019春•叶集区校级月考）已知数据1x ，22019x x ⋯的平均数是100，则121x +，221x +，201921x ⋯+的平均数是( )A ．100B ．2019C ．200D ．201【解答】解：数据1x ，22019x x ⋯的平均数是100，则121x +，2x ，21+，201921x ⋯+的平均数是21001201⨯+=． 故选：D ．（6）（2019春•袁州区校级月考）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为2σ甲，2σ乙则( )A ．x x >乙甲，22σσ<乙甲B ．x x >乙甲，22σσ>乙甲C．x x<乙甲，22σσ<乙甲D．x x<乙甲，22σσ>乙甲由甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，2σ甲，2σ乙，故选：A．（7）（2019春•江城区校级月考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是．【解答】解：由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：1(0.020.10) 2.50.7-+⨯=，∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=．故答案为：140．模块二：线性回归分析1．两个变量之间的关系：函数关系与相关关系．相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．2．如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关； 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．3．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n =，，，，描在平面直角坐标系中． 散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系．散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系．4．回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 5．最小二乘法：记回归直线方程为：ˆy a bx =+，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中,a b 叫做回归系数．ˆy是为了区分Y 的实际值y ，当x 取值i x 时，变量Y 的相应观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是ˆi i ya bx =+． 设x Y ，的一组观察值为()i i x y ，，12i n =，，，，且回归直线方程为ˆy a bx =+， 当x 取值i x 时，Y 的相应观察值为i y ，差ˆi i y y -刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差．我们希望这n 个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点．记21()ni i i Q y a bx ==--∑，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那条．这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法．可以得到ˆˆab ，的计算公式为1122211()()()()nnii iii i nniii i xx y y x ynxyb xx xn x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，其中11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑．由此得到的直线ˆˆy a bx =+就称为回归直线，其中ˆa，b 分别为a ，b 的估计值．由ˆˆay bx =-知，回归直线一定过平均值点，即一定过()x y ，． 考点3：线性回归例3.（1）（2009海南3）对变量x ，y 有观测数据()(1210)i i x y i =，，，，，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据()i i u v ，(1210)i =，，，，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 【解答】C（2）（2019春•渝水区校级月考）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为6，据此模型，当销售额为80万元时预报广告费用为( ) A ．13万元 B ．14万元C ．15万元D ．16万元则样本中心点为(3,20)，图 2图 1则线性回归方程为ˆ62y x =+，取80y =，可得13x =（万元）． 故选：A ．（3）（2019春•红塔区校级月考）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程0.6854.4y x ∧=+．由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．67B ．68.2C ．68D ．67.2【解答】解：设表中模糊看不清的数据为m ，由于由最小二乘法求得回归方程0.6854.4y x ∧=+，故选：A ．（4）（2019春•龙潭区校级月考）已知x 与y 之间的几组数据如表：则y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点( )A ．(1,2)B ．(2,6)C ．3(2，7)2D ．(3,7)故选：C ．（5）（2019春•葫芦岛月考）两个线件相关变量x ，y ，满足如下关系则y与x的线性问归直线-定过其样本点的中心，其坐标为()A．(5,5)B．(4,5)C．(4,4)D．(5,4)x∴线性回归直线的样本点的中心为(5,5)．故选：A．模块三：概率考点4：古典概型例4.（1）（2019春•博望区校级月考）某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2:3:5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为() A．15B．25C．50D．60【解答】解：某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2:3:5，用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，样本中A型产品有10件，解得50n =． 故选：C ．（2）（2018秋•静宁县校级月考）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知P （A ）0.65=，P （B ）0.2=，P （C ）0.1=．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3【解答】解：从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，P （A ）0.65=，P （B ）0.2=，P （C ）0.1=．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为： ()P BC P =（B ）P +（C ）0.20.10.3=+=．故选：D ．（3）（2017秋•翠屏区校级月考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是16，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A ．25B ．12C ．56 D ．13解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是故选：B ．考点5：几何概型例5.（1）据报告，俄罗斯人造卫星Kosmos-1220或已于2014年2月16日坠落地球，由于坠落地点无法确定，可能会掉在任何地方，专家警告可能会非常危险．在地球上海洋占70.9%的面积，陆地占29.1%的面积，你认为卫星落在陆地的概率约为________，落在我国国土内的概率为________．（地球的面积约为5.1亿平方千米）（结果保留两位有效数字） 【解答】29.1%，0.019．（2）已知x 是[]55-，上的一个随机数，则使x 满足220x x --≥的概率为 ．（3）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．课后作业：1.（2019春•龙潭区校级月考）完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样【解答】解：在①中，从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标，应该采用分层抽样；在②中，从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．应该采用的同学虚报的机抽样．故选：B．2.（2019春•信州区校级月考）某班有40位同学，座位号记为01，02，⋯，40，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号4954 4454 8217 3793 2378 8735 20964384 2634 9164 5724 5506 8877 04744767 2176 3350 2583 9212 0767 5086选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个志愿者的座位号是()A．09B．20C．37D．38【解答】解：根据题意，从随机数表第一行的第11列和第12列数字17开始，由左到右依次选取两个数字，即为：17，37，23，35，20，⋯；则选出来的第5个志愿者的座位号20．故选：B．3.（2019春•南陵县校级月考）从某地区年龄在25~55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A．抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为20B．抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为30C．抽出的100人中，年龄在40~50岁的人数大约为40D．抽出的100人中，年龄在35~50岁的人数大约为50【解答】解：年龄在40~45岁的频率为：1(0.010.050.060.020.02)50.2-++++⨯=，∴抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为：1000.220⨯=人，年龄在35~45岁频率为：1(0.010.050.020.02)50.5-+++⨯=，∴抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为1000.550⨯=人，故A正确，B，C，D均错误．故选：A．4.（2019春•袁州区校级月考）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，方差分别为2σ甲，2σ乙则()A ．x x >乙甲，22σσ<乙甲B ．x x >乙甲，22σσ>乙甲C ．x x <乙甲，22σσ<乙甲 D ．x x <乙甲，22σσ>乙甲由甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，知： 甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，2σ甲，2σ乙，故选：A ．5.（2019春•渝水区校级月考）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为6，据此模型，当销售额为80万元时预报广告费用为( ) A ．13万元B ．14万元C ．15万元D ．16万元则样本中心点为(3,20)，则线性回归方程为ˆ62y x =+，取80y =，可得13x =（万元）． 故选：A ．。

数学必修三统计和概率知识点总结统计和概率是数学必修三中的重要知识点，下面是统计和概率的一些基本概念和常见应用总结：1. 统计的基本概念：- 总体：研究对象的全体。

- 样本：从总体中抽取的一部分个体。

- 参数：总体的特征值，通常用来描述总体的某种性质。

- 统计量：样本的某种函数，用来描述样本的某种性质。

2. 随机事件和概率：- 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

- 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合。

- 概率：用来描述某个随机事件发生的可能性大小的数值。

3. 随机变量和概率分布：- 随机变量：将随机试验的结果与某个数值相对应的变量。

- 离散型随机变量：只能取有限个或者可列个数个值的随机变量。

- 连续型随机变量：可以取连续范围内的任意值的随机变量。

- 概率分布：随机变量取各个值的概率。

4. 二项分布和正态分布：- 二项分布：描述了在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。

- 正态分布：在自然界中许多现象可以用正态分布来描述，它是最常见的概率分布。

5. 随机事件的独立性与相关性：- 独立事件：一个事件的发生与另一个事件的发生没有关联。

- 相关事件：一个事件的发生与另一个事件的发生有关联。

6. 统计推断：- 估计：通过样本数据推断总体参数的值。

- 假设检验：基于样本数据对总体参数提出的某种假设进行推断。

7. 相关系数和回归分析：- 相关系数：用来描述两个变量之间的相关程度。

- 回归分析：通过已知数据建立函数关系模型，可以预测未来的可能结果。

这些是统计和概率的一些基本知识点，掌握了这些知识，可以帮助我们在实际问题中进行数据的处理和分析，并进行相应的推断和预测。

统计1：简单随机抽样（1）总体和样本①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

（3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

（4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；③对样本中的每一个个体进行测量或调查（5）随机数表法：2：系统抽样（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。

更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

3：分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

高中数学必修三概率知识点一、概述高中数学必修三中的概率知识点是数学学科的重要组成部分，也是日常生活和工作中经常涉及的重要内容之一。

概率论是研究随机现象的数学学科，通过对随机事件的分析和推断，揭示其内在规律和特点。

概率知识点作为高中数学必修三的重要内容，涉及概率的基本概念、事件的关系和运算、古典概型、几何概型以及离散型随机变量等知识点。

掌握这些知识点对于理解现实生活中的各种随机现象，进行科学合理的决策和风险评估具有重要意义。

在学习概率知识点时，需要掌握其基本概念和原理，学会运用概率思维解决实际问题，培养逻辑思维能力和数据处理能力。

概率知识点也是后续学习统计学、金融数学等学科的基础，对于提高数学素养和综合能力具有不可替代的作用。

1. 概率论的重要性概率论是数学的一个分支，用于研究随机现象的数量规律。

在高中数学必修三的学习中，概率知识点的重要性不容忽视。

它不仅仅是一门学科的核心内容，更是理解现实世界的一把钥匙。

在我们的日常生活中，无论是天气预测、金融投资、医学研究，还是游戏设计、风险评估等各个领域，概率知识都有着广泛的应用。

学习概率论不仅能够提高学生解决实际问题的能力，更能培养他们的逻辑思维和决策能力。

概率论是理解和预测随机事件的重要工具。

在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，比如抛硬币、抽奖等。

通过学习概率，我们可以知道这些随机事件的规律和趋势，从而更好地做出预测和决策。

其次val 序列深入式学习，概率论对于决策制定具有指导意义。

在金融投资领域，投资者可以通过学习概率知识，分析股票市场的走势和风险，从而做出更明智的投资决策。

在医学领域，医生可以根据疾病的发病率和患者的症状概率来做出诊断。

掌握概率知识对于个人和社会都具有重要意义。

它使我们能够更好地理解世界，做出明智的决策。

对于现代社会的发展，人们更需要有利用数学方法来理解世界的技能，这已成为我们教育的一大目标。

通过学习概率知识，学生可以为他们的未来生涯发展打下坚实的基础。

第五章概率重点列表：重点名称重要指数重点1 随机事件的概念★★★重点2 对立与互斥的概念★★★★重点详解：1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件．(3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的________，称事件A出现的比例f n(A)＝________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________f n(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________．3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)(或A B)相等关系若B A且A B____________种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：____________.(2)必然事件的概率P(E)＝____________.(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________.推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A n)＝___________.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________________.【答案】1．(1)必然事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)确定事件随机事件2．(1)频数nAn(2)频率常数概率(3)小概率事件3．包含B A A＝B或且A∩BØA∩B A∪BØ 14．(1)0≤P(A)≤1(2)1 (3)0(4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)②1－P(B)重点1：随机事件的概念【要点解读】概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．【考向1】随机事件的判断【例题】同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S 而言的．【考向2】不可能事件与必然事件【例题】一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.重点2：对立与互斥的概念及应用【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．(2)利用集合的观点来判断设事件A 与B 所含的结果组成的集合分别是A ，B ，①事件A 与B 互斥，即集合A ∩B ＝Ø；②事件A 与B 对立，即集合A ∩B ＝Ø，且A ∪B ＝I (全集)，也即A ＝∁I B 或B ＝∁I A ；③对互斥事件A 与B 的和A ＋B ，可理解为集合A ∪B .3．只有事件A ，B 互斥时，才有公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )成立，否则公式不成立．4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P ()，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．【考向1】对立与互斥的概念【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．(3)不是互斥事件．道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．【评析】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．【考向2】对立与互斥的应用【例题】经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：排队人数01234 5概率0.100.160.300.300.100.04(1)求至多2(2)求至少1人排队的概率．【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率．难点列表：难点名称难度指数难点1古典概型 ★★★★ 难点2 集合概型 ★★★★★难点详解：古典概型1．基本事件和基本事件空间的概念(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．(2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母________表示．2．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是____________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．3．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．(2)每个基本事件出现的可能性____________．4．古典概型的概率公式在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n 个，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P (A )＝________.【答案】1．(1)基本事件 (2)基本事件空间 Ω2．(1)互斥 (2)基本事件3．(1)有限 (2)相等4. m n几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel ，Scilab 等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝ ．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d 和整个区域D 的几何度量，然后代入公式即可求解．【答案】1．均等的2．长度 面积 体积 几何概率模型几何概型 3.构成事件A 的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）难点1：古典概型【要点解读】1．古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”)．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．2．(1)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A 中的基本事件数，利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．(2)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m ，n ，再运用公式P (A )＝m n求概率． 3．对于事件A 的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．4．较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；(2)采用间接法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再由P (A )＝1－P ()求事件A 的概率． 【考向1】基本事件与基本事件空间的概念【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次．(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件；(2)事件A ：“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B ：“三次都出现正面向上”包含几个基本事件．解：(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等可能结果．(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正)．【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”．任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间．【考向2】列举基本事件求概率【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．难点2：几何概型【要点解读】1．几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的．2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点：(1)能正确区分古典概型与几何概型．例1：在区间0，10]上任意取一个整数x ，则x 不大于3的概率为________．例2：在区间0，10]上任意取一个实数x ，则x 不大于3的概率为________．例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为411．例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，故所求概率为310． (2)准确分清几何概型中的测度．例3：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ＜30°的概率． 例4：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM ＜30°的概率．等可能M ．满足条件的点CB 33＝AC 33＝0CM ，30°＝0CAM ∠中的测度定性为线段长度，当3例作射线与A 中的测度定性为角度，过点4．例33＝CM0CB 上，故所求概率等于0CM 的分布在线段线段CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝45°．所以所求概率等于．23＝30°45°＝∠CAM0∠CAB (3)科学设计变量，数形结合解决问题．例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率．例6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率．＝1060可看作是时间的长度，故所求概率为)单变量(》的例题，此题中的变量3是《必修5例．原因在于没有认清题中112＝560形成的定势思维的错误，得到错误答案5容易犯解例6．例16的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y |≤5结合线性规划知识可解，故所求概率为．通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积23144＝602－552602(或体积)型测度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题．3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．【考向1】以长度为度量的几何概型【例题】在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．解：记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为FD 时，，由几何概型公12到弦的距离小于O 的充要条件是圆心CD 就是等边三角形的边长，弦长大于．12．故填12＝12×22＝)A (P 式得： 【评析】①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P (A )＝”悖论“本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，该※②．事件A 对应的线段长试验的全部结果对应的线段长的概率)3(内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长C 的圆1是说：在一半径为是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确，与之对应的随机试验及基本事件也不同，从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外，还有两种常见解答，而这三种解答结果图(1C 的同心圆C 为半径作圆12以)Ⅰ(．另外两种如下：”悖论“各不相同，从而形成所谓的；14，故所求概率等于二圆面积之比3>l 内的充要条件为弦长1C 落在圆M ，易证弦的中点1)(Ⅱ)设弦AB 的一端固定于圆上，于是弦的另一端B 是“任意”的，考虑正三角形ADE (图2)，．有兴13的弧长与圆周长之比DE ︵上，故所求概率为劣弧DE ︵落在劣弧B 的充要条件为3>l 弦长趣的同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？【考向2】以面积为度量的几何概型【例题】(1)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)．的概率；14的面积大于APB△求①②求点P到原点的距离小于1的概率．，故满14＝APB△S上时，EF在线段P，则当点EF，连接F，E的中点AO，BC如图，取线段①解：足条件的点P所在的区域为矩形OFEC(阴影部分)．．12＝S矩形OFECS正方形OABC故所求概率为②所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，在第一象限所围的平面部分1＝2y＋2x构成的区域是圆P所以符合条件的点⎩⎪⎨⎪⎧0＜x＜1，0＜y＜1，x2＋y2＜1，则．π4＝14·π·1212的概率为：1到原点距离小于P点∴．)图中阴影部分(【评析】①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P＝解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图②．事件A构成区域的面积整个试验的全部结果构成区域的面积形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【评析】①平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ，y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时本题的难点在于把实际问题转化为几何模②所对应的图中阴影部分表示．≤15||x －y 间由型．【考向3】以体积为度量的几何概型的概a 的距离不大于A 到点P ，则点P 内任取一点1D 1C 1B 1A ­ABCD 的正方体a 在棱长为【例题】率为( )22．Aπ 22．B 16．Cπ6．D；构成事件A 的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积＝P 以体积为度量的几何概型概率计算公式：①【评析】②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算． 【考向4】随机模拟【例题】一只海豚在水池中游弋，水面为长30 m ，宽20 m 的长方形，随机事件A 记为“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．(1)试设计一个能估算出事件A 发生的概率的算法；(2)求P (A )的准确值．解：(1)建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x 和y 组成的有序数组(x ，y )来表示海豚嘴尖的坐标．这里几何区域D 所表示的范围为长方形：x ∈(－15，15)，y ∈(－10，10)，事件A 所表示的区域为图中的阴影部分d ：||x |－15|≤2，或||y |－10|≤2．算法框图如下：(2)如图所示，所求概率为．2375＝30×20－26×1630×20＝阴影部分的面积区域D 的面积＝)A (P 【评析】①简单说明：n 记录做了多少次试验，m 记录其中有多少次(x ，y )出现在阴影部分；rand()×30－15产生－15～15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，rand()×20－10产生－，x (判断≤2||||y －10或≤2||||x －15作为海豚嘴尖的纵坐标；y 之间的随机数10～10y )是否落在阴影部分．②随机模拟的是计算机产生随机数，而算法的引入为模拟提供了可能，随着新课标注重应用的不断深入，此类问题会倍受关注．【趁热打铁】1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.342．在区间－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.153．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③4．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A.956 B.928 C.914 D.595．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14 D.126．设k 是一个正整数，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈0，4]，y ∈0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( )A.1796 B.532 C.16 D.7487．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π48．已知数列{a n }是等差数列，从a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为( ) A.635 B.935C ．1或935D ．1或6359．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2所表示的平面区域内任取一点P ，若点P 的坐标(x ，y )满足y ≥kx的概率为34，则实数k ＝( ) A ．4 B ．2 C.23 D.1210．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .若AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE ­D 1DCGH 内的概率为( )A.1116 B.34 C.1316 D.78第五章1．A 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13，故选A.2．B 这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为5，使得“X ≤1”的长度为3，故P (X ≤1)＝35.3．C 从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．4．B 要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C24·C23C58＝928.5．B 由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种，∴所求概率P ＝4·A 3C36·A33＝15.7．A 依题意，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形的面积为2，故所求概率为P ＝2×1－π22×1＝1－π4. 8．C 当等差数列{a n }的公差为0时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为1.当等差数列{a n }的公差不为0时，从a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中取走任意四项，剩下三项的总数有C47＝35(种)，剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a 1，a 2，a 3)，(a 2，a 3，a 4)，(a 3，a 4，a 5)，(a 4，a 5，a 6)，(a 5，a 6，a 7)，(a 1，a 3，a 5)，(a 2，a 4，a 6)，(a 3，a 5，a 7)，(a 1，a 4，a 7)9种情况，故剩下三项构成等差数列的概率为935.思路点拨：根据公差是否为0进行分类讨论，由题意可求得所有的基本事件数目，也可求得符合条件的基本事件数目，由古典概型概率公式求解．9．D 如图，满足不等式组的区域是边长为2的正方形，面积是4，假设满足不等式y ≥kx 的区域如图阴影部分，其面积为4－12×2×2k ，由几何概型的概率公式得点P 的坐标(x ，y )满足y ≥kx 的概率为4－12×2×2k 4＝34，解得k ＝12.10．D 在等腰直角三角形B 1EF 中，因为斜边EF ＝a ，所以B 1E ＝B 1F ＝22a . 根据几何概型概率公式，得P ＝VA1ABFE­D1DCGH VABB1A1­DCC1D1＝VABB1A1­DCC1D1－VEFB1­HGC1VABB1A1­DCC1D1＝1－VEFB1­HGC1VABB1A1­DCC1D1＝1－S△EFB1S 矩形ABB1A1＝1－12B1E·B1F 2a2＝1－14a2·22a ·22a ＝1－18＝78.故选D.。