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精讲精练全等三角形证明判定方法分类总结-培优

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全等三角形（一）SSS

【知识要点】

1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．

2．全等图形的性质：

（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

（2）全等图形的面积相等

3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEFABC与全等，记作ABC≌DEF

（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．

（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．

（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．

如图，在ABC和DEF中DFACEFBCDEAB

ABC≌DEF

【典型例题】

例1．如图，ABC≌ADC，点B与点D是对应点，26BAC，且20B，1ABCS，求ACDDCAD,,的度数及ACD的面积．

例2．如图，ABC≌DEF，cmCEcmBCA5,9,50，求EDF的度数及CF的长．

例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：CADBAE

A

B C D

E F

A

B D C

A

B E C F D

A

B

E C D

例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：

（1）ABC≌DEF

（2）AB//DE，BC//EF

全等三角形（二）

【知识要点】

定义：SAS

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示

如图，在ABC和DEF中，

ABCEFBCEBDEAB≌)(SASDEF

【典型例题】

【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.

【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.

【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.

A

B C D

F

E

A

B C E D

F

A

D

B E

C

A

B D E

C 1 2

B

E O

【例4】 如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，

求证：①CE=AC+DC； ②∠ECD=60°.

【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。

全等三角形（三）ASA

【知识要点】

ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

如图，在ABC与DEF中

EBDEABDA

)(ASADEFABC

ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

【典型例题】

【例1】下列条件不可推得ABC和'''CBA全等的条件是（ ）

A.AB=A'B'，'AA，'CC B.AB= A'B'，AC=A'C'，BC='BC'

C.AB= A'B'，AC=A'C'，'BB D.AB= A'B'，'AA，'BB

【例2】已知如图，DEABDEABDA//,,，求证：BC=EF

E

A

B C D

D A

B C E

A

B C

D

E F

A D

B E C F

【例3】如图，AB=AC，CB，求证：AD=AE

【例4】已知如图，43,21，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之．

【例5】如图，321，AC=AE，求证：DE=BC

A

B D E

C

A B

C D

P 1 2

3

4

1 2 A

4

3 B C D E

O

全等三角形（四）

强化训练

1、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，

（1）若ADBECF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问ADBECF成立吗？试证明你的结论．

2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）

3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．

4、已知：如图，ABC△中，45ABC°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

（1）求证：BFAC；（2）求证：12CEBF；

A

F

D

B E C

21PFMDBACEFDCABE

D A

E F

C H G

B 5、 如图，点O是等边ABC△内一点，110AOBBOCo，．将BOC△绕点C按顺时针方向旋转60o得ADC△，连接OD．

（1）求证：COD△是等边三角形；

（2）当150o时，试判断AOD△的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，AOD△是等腰三角形？

6、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。

7、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。

8、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由。

9、已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。 ECABMDCABMD A

B C D

O 110o

10、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN

易证△BCD≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC

再证△BCN≌△ACM (ASA)

∴ CM=CN

ABCEMND

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北师大版七年级数学下 第四章 三角形 全等三角形的判定综合培优(解答题)(包含答案)

北师大版七年级数学下 第四章 三角形 全等三角形的判定综合培优(解答题)(包含答案)

北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）

1．如图，已知ABAC，ABAC，ADAE，BDCE，试猜想AD与AE的位置关系并说明理由．

2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，ME∠AD．

求证:(1)AB=AE；(2)AM平分∠DAB．

3．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．

（1）求证：∠ABE∠∠CBD；

（2）证明：∠1=∠3．

4．如图，∠ACB和∠DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°. (1)求证：AD＝BE；

(2)求∠AEB的度数．

5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点 D 为 AB的中点．

（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．

∠若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说明理由；

∠若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？

（2）若点 Q 以∠中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过 后，点 P 与点 Q 第一次在∠ABC 的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：∠ABC∠∠ADE； （2）求证：CA平分∠BCD；

（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．

7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.

浙教版八年级数学上册 全等三角形证明判定方法分类总结

浙教版八年级数学上册 全等三角形证明判定方法分类总结

千里之行，始于足下。

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浙教版八年级数学上册 全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形的证明判定方法可以根据角度、边长、角边关系等不同的条件进行分类总结。下面是一些常见的证明判定方法：

1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一边及其对应的两个角分别相等，则这两个三角形全等。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角及其对应的一边分别相等，则这两个三角形全等。

4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角及其夹角的对边分别相等，则这两个三角形全等。

5. RHS判定法：如果两个直角三角形的一个锐角和斜边分别相等，则这两个三角形全等。

6. HL判定法：如果两个直角三角形的一个直角和一个锐角的斜边分别相等，则这两个三角形全等。

需要注意的是，判定全等三角形时通常只需使用其中一种判定法即可，使用多种判定法可能会造成冗余证明。另外，在证明过程中，应根据题目给出的条件进行推理，利用已知的几何定理或性质进行推导，最终得出结论。

第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优

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1

等等…腰

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全等三角形的

经典模型（二）

三角形11级

特殊三角形之直角三角形

三角形10级

勾股定理与逆定理

三角形9级

全等三角形的经典模型（二）

秋季班第十二讲 秋季班第十一讲 秋季班第三讲

2 OFECBAAFCOBEDHABCDOEOGFECBA

“手拉手”数学模型：

⑴ ⑵ ⑶

【引例】 如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE，

求证：BF=CE并求出EOB的度数.

【解析】 ∵△ABE、△AFC是等边三角形

∴AE=AB，AC=AF，60EABFAC 知识互联网

思路导航

例题精讲 题型一：“手拉手”模型

3 NMCBABNCABCMN∴EABBACFACBAC

即EACBAF

∴AECABF△≌△

∴BF=EC

AECABF

又∵AGEBGO

∴60BOEEAB

∴60EOB

【例1】 如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD=CF并求出DOH的度数.

【解析】 同引例，先证明ABDAFC△≌△

∴BD=FC，BDAFCA

∵DHOCHA

∴90DOHCAD

【例2】 如图，已知点C为线段AB上一点，ACM△、BCN△是等边三角形．

⑴ 求证：ANBM.

⑵ 将ACM△绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；

⑶ 在⑵得到的图形中，结论“ANBM”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑷ 在⑵所得的图形中，设MA的延长线交BN于D，试判断ABD△的形状，并证明你的结论．

【分析】 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；

全等三角形证明判定方法分类总结材料44117

全等三角形证明判定方法分类总结材料44117

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全等三角形(一)SSS

【知识要点】

1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.

2 •全等图形的性质：

(1) 全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等

(2) 全等图形的面积相等

3 •全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形

(1) 表示方法：两个三角形全等用符号“也”来表示，读作“全等于” 如

ABC与DEF全等，记作 ABC也DEF

(2) 符号“也”的含义：“s”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来 就是形状相同，大小也相等，这就是全等.

(3) 两个全等三角形重合时， 互相重合的顶点叫做对应顶点， 互相重合的边

叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.

(4) 证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. A 50 , BC 9cm,CE 5cm，求 EDF 的度数及 CF 的长.

例 3.如图，已知：AB=AD AC=AE BC=DE 求证： BAE CAD

D

C

4.全等三角形的判定(一)：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边” 或“SSS.

如图，在 ABC和DEF 中 例 4.如图 AB=DE BC=EF AD=CF 求证:

(1) ABC 也 DEF

(2) AB//DE , BC//EF

ABC也 DEF

【典型例题】

例1.如图， ABC也 ADC，点B与点D是对应点，

BAC 26 ，且 B 20 , S ABC 1，求

CAD , D, ACD的度数及 ACD的面积.

例 2 . 女口图， ABC 也 DEF , 实用标准文档

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例5.如图，在ABC中 C 90 , D E分别为 AC AB上的点，且BE=BC DE=DC C 60 , ABD 35，贝U BAD的度数为（

求证：（1）DE AB ；

(2) BD平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）

D