第十一节 导数在函数研究中的应用
1．函数的单调性
了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．函数的极值
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
知识点一 利用导数研究函数的单调性
1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的．
(3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f__′(x)．
(2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调区间．
易误提醒
1．在某个区间(a，b)上，若f ′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f ′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f ′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f ′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f ′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
[自测练习]
1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．
答案：A 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
1 3-3导数的实际应用
基础巩固强化
1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.3V B.32V C.34V D．23V
[答案] C
[解析] 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝34a2h，∴h＝4V3a2，表面积S＝32a2＋3ah＝32a2＋43Va，
由S′＝3a－43Va2＝0，得a＝34V，故选C.
(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(
)
A.R2和32R B.55R和455R
C.45R和75R D．以上都不对
[答案] B
[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2 (0＜x＜R)，
l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R.
当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.
所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[答案] C
[解析] ∵y＝－13x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0
2 ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.
[点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定．
3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A.ab B.a2b C.ba D.b2a
1 3-1导数的概念及运算
基础巩固强化
1.(文)(2011·青岛质检)设f(x)＝xlnx，若f ′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C.ln22 D．ln2
[答案] B
[解析] f ′(x)＝1＋lnx，∴f ′(x0)＝1＋lnx0＝2，
∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.
(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )
A.12 B．1 C.32 D．2
[答案] D
[解析] 由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f ′(1)＝12，又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，
∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.
2．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )
A．4 B．3 C．2 D.12
[答案] C
[解析] 由条件知，k＝y′＝14x＝12，∴x＝2.
(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为( )
A．－2 B．－1
C．－12 D．1
[答案] B
[解析] 设切点(a，－12a＋lna)，y′＝－12＋1x，
∴－12＋1a＝12，a＝1，故切点(1，－12)在直线y＝12x＋b上，有－12＝12＋b，∴b＝－1.
2 3．(文)(2011·皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为( )
A．－3 B．9
C．－15 D．－7
[答案] C
[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.
又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，
127 课题：导数的概念及运算
考纲要求：
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；
3.理解导函数的概念 熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；
5.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；
6.会求“过点A的曲线的切线方程”和“在点A处的切线方程”.
教材复习
1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx
在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成
000000()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx.
2.求函数()yfx的导数的一般步骤：1求函数的改变量)()(xfxxfy
2求平均变化率xxfxxfxy)()(；3取极限，得导数y()fxxyx0lim
3.导数的几何意义：
导数0000()()()limxfxxfxfxx是函数)(xfy在点0x处的瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化．．的快慢程度.
它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为
000()()()yfxfxxx
4.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数()fx，从而构成了一个新的函数()fx, 称这个函数()fx为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即()fx＝y
