第2课时 圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．
(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？
提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；
②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；
③当|r1－r2|
④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；
⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．
判断步骤为：
①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．
(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？
提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．
2．归纳总结，核心必记
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2)圆与圆位置关系的判定
①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置
关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、
r2的
关系 d＞r1＋r2 d＝r1
＋r2 |r1－r2|＜
d＜r1＋r2 d＝|r1
－r2| d＜|r1
－r2|
②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
圆C1方程圆C2方程消元，一元二次方程 Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含
[问题思考]
将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
4.2.2 圆与圆的位置关系
学习目标：
（1）掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；
（2）掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.
一、学前准备：
预习教材129~130PPP的内容.
1．圆与圆之间有几种位置关系？
2. 设两圆的半径分别为12,rr，圆心距为d，
当 时，两圆外离，当 时，两圆外切，
当 时，两圆相交，当 时，两圆内切，
当 时，两圆内含．
二、新课导学：
由两个圆的方程组成一个方程组：
若方程组没有实数解，则两个圆有 个公共点，即两个圆 .
若方程组仅有一组实数解，则两个圆有 个公共点，即两个圆 .
若方程组有两组实数解，则两个圆有 个公共点，即两个圆 .
三、典型例题：
【例1】已知圆0882:221yxyxC，圆0244:222yxyxC，试判断两圆的位置关系。
【例2】圆M：22(1)(1)8xy，圆N的圆心为(2,2)N且与圆M相切，求圆N的方程．
【例3】求过点(0,6)A且与圆C：2210100xyxy切于原点的圆的方程．
四、反馈练习：
1．圆2220xyx＝和22+40xyy的位置关系是 （ ）
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
2. 两个圆1C：222220xyxy与2C：224210xyxy的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
§4.2.2圆与圆的位置关系
一、填空题：
1. 判断下列两个圆的位置关系：
2222(1)(3)(2)1(7)(1)36xyxy与位置关系是_________.
2222(2)2232030xyxyxyxy与3位置关系是_________.
2. 若圆22xym与圆2268xyxy110相交，实数m的取值范围是________．
3．一个圆经过圆221:890Cxyx和圆222:8150Cxyy的两个交点，且圆心在直线210xy上，则该圆的方程为_______________________________．
4．已知一个圆经过直线240xy与圆222410xyxy的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为__________________________．
二、解答题：
5. 判断下列两圆的位置关系：
2222(1)(2)(2)1(2)(5)16xyxy与
222226706270xyxxyy（）与
6. 求过点(0,6)A且与圆22:10100Cxyxy切于原点的圆的方程．
7. 已知圆221:2610Cxyxy，圆222:42110Cxyxy，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
8.求过两圆22640xyx和 226280xyy的交点，且圆心在直线40xy上的圆的方程．
参考答案
一、填空题：
1. 答案：（1）内切，（2）相交．
2. 答案：1121m．
3．答案：22101412033xyxy．
4．答案：221364()()555xy．
二、解答题：
5. 【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为1214rr和，两圆的圆心距
22[2(2)](52)5.d
因为 12drr，所以两圆外切．
4.2.2 圆与圆的位置关系
（一）核心素养
通过学习圆与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――代数法、几何法.
（二）学习目标
1.明确两个圆之间的五种位置关系.
2.能根据给定的两个圆的方程判断两个圆的位置关系.
3.两圆相交时的公共弦方程及弦长计算.
（三）学习重点
圆与圆的位置关系及其判断方法.
（四）学习难点
1.用圆的方程解决问题.
2.用几何法和代数法判断两圆之间的位置关系.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）读一读：阅读教材，明确：
圆与圆的五种位置关系——外离、外切、相交、内切、内含的几何含义是：
圆与圆的位置关系 公共点个数 两圆圆心的距离d与半径1r和2r的关系
外离 0个 21rrd
外切 1个 21rrd
相交 2个 2121rrdrr
内切 1个 21r-rd
内含 0个 21r-rd
（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法
方法一：几何方法
设两圆的圆心距d，半径12,rr，则：
①当12drr时，圆1C与圆2C相离；
②当12drr时，圆1C与圆2C外切；
③当||21rr12drr时，圆1C与圆2C相交；
④当12||drr时，圆1C与圆2C内切；
⑤当12||drr时，圆1C与圆2C内含；
步骤：①计算两圆半径12,rr；②计算两圆圆心距d；③根据d与12,rr的关系判断两圆的位置关系.
方法二：代数方法
方程组221112222200xyDxEyFxyDxEyF
有两组不同实数解相交；有两组相同实数解相切（内切或外切）；无实数解相离（外离或内含）.
2.预习自测
（1）根据图片说出圆与圆之间的位置关系.
【知识点】圆与圆位置关系
【数学思想】数形结合
【解题过程】根据图像和定义直接得出结果
【思路点拨】看两圆交点个数
【答案】（图一至图六依次为）外离、内含、内含、外切、内切、相交.
