反比例函数解题技巧与方法及难点剖析

【反比例函数难点剖析】 1.反比例函数概念的理解注意两点：（1）自变量x 的次数是－1，且自变量x 不能为0；（2）比例系数k 为常数，且k ≠0. 2.反比例函数图象的画法注意：其图象为双曲线，它的两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴，这是由自变量的取值决定的.3.反比例函数性质的理解（1）一个反比例函数具有下列条件之一，可推出其他两条：①k>0；②图象位于一三象限；③每个象限内，y 随x 的增大而减小（k<0时，要作类似理解） （2）反比例函数的增减性，一定要强调“在每一个象限内”这一前提。

在记忆反比例函数的性质时，必须结合图象记忆。

（3）双曲线是中心对称图形，对称中心为原点；双曲线也是轴对称图形，对称轴为 y=x 或y= - x. 4.确定反比例函数的解析式只需一组x,y 的对应值或只需知道图象上任一点的坐标，即可用待定系数法求出其解析式. 5.与反比例函数图象有关的面积问题我们知道,过反比例函数y = kx ( k≠0)图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线,则两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积不变,等于| k |.如图1,点P ( a, b) 是 反 比例 函数y = kx ( k≠0)图象上的一点,则有a ・b = k.过点P 作PA⊥x 轴于A,作PB⊥y 轴于点B ,则S 矩形PAOB = PA ・PB = | b |・a | = | b ・a |= | k | 据此的相关应用： (1)比较面积大小例 如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A 、B 、C 。

过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线。

过每一点所作的两条垂线与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为，则（ ）。

A 、 B 、C 、D 、(2)求面积 例 若函数与函数的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）。

A 、1B 、2C 、kD 、(3)确定解析式例 如图4，反比例函数y = kx 与一次函数的图象相交于A 点，过A 点作AB ⊥x 轴于点B 。

已知，直线与x 轴相交于点C 。

求反比例函数与一次函数的解析式。

(4)判断k 值的大小如图是三个反比例函数，，在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1、k 2、k 3的大小关系为（ ）A. k 1>k 2>k 3B. k 3>k 2>k 1C. k 2>k 3>k 1D. k 3>k 1>k 2 【反比例函数的三种表示形式及应用】 （1） “分式”型：y = kx ( k 为常数，k≠0)（2）“乘积”型： x.y = k(k 为常数，k≠0) （3）“负指数”型：y = kx -1(k 为常数，k≠0) 例1 下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？ （1）y= -4x;（2）y=3x -1;（3）xy = 33.例2 已知下列函数中，y 是x 的反比例函数，求a 的取值范围 （1）y = 1-a x ;（2）xy = a 2+1;（3）y = x 2a-3【例析反比例函数的性质应用】例1 反比例函数y = kx的图象过点P （－2，1），那么它的图象在第 象限。

例2 若反比例函数y = -2m-1x(m 为常数)图象的两个分支分别在第一、三象限，则m 的取值范围是 .例3 当k>0时，双曲线y = kx与直线y = -kx 的公共点有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个例4 在反比例函数y = kx(k<0)的图象上，同一象限内有两点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）且x 1>x 2>0,则y 1-y 2的值为（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数例5 已知P 1(x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， P 3 (x 3,y 3)是反比例函数y = 2x图象上的三点，且x 1<x 2<0<x 3,则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A 、y 3<y 2<y 1B 、y 1<y 2<y 3C 、y 2<y 1<y 3D 、y 2<y 3<y 1 【实际问题中的反比例函数】一、在实际问题中对反比例函数意义的理解与把握例： 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400度近视眼镜的镜片焦距为0.25m ，则y 与x 之间的函数关系式是 .二、运用反比例函数的性质解决实际问题例： (2013 台州)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ(单位：kg/m 3)与体积V(单位：m 3)满足函数关系式ρ=kv (k 为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k 的值为( )A 、9B 、-9C 、4D 、-4例： 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v （千米/小时）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度；（3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时120公里，最低车速不得低于每小时60公里，试问返程时间的范围是多少？ 三、反比例函数与一次函数在实际问题中的综合运用例： 为了预防“甲型H 1N 1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （mg ）与时间x （min ）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例，如图所示，现测得药物8min 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y 关于x 的函数关系式？自变量x 的取值范围是什么？药物燃烧后y 与x 的函数关系式呢？（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【反比例函数考点剖析】 考点一、反比例函数的定义1、若点（3，6）在反比例函数x ky =（k ≠0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（ ） A. （3-，6） B. （2，9） C. （2，9-） D. （3，6-）2、已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n ），则n 等于 （ ）A. 3B. 4C. 6D. 123、当_____=k 时，双曲线y=x k过点（3，23）考点二：反比例函数的图象1、若()()()321,1,,2,,3y C y B y A ---三点都在函数x y 1-=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y << B. 321y y y == C. 231y y y <<D. 321y y y >>2、若点 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是反比例函数y = 3x的图象上的点，并且x 1 < 0 < x 2 < x 3，则下列各式正确的是（ ）.A. y 1 < y 2 < y 3B. y 2 < y 3 < y 1C. y 1 < y 3 < y 2D. y 3 < y 2 < y 1 考点三：反比例函数的性质已知反比例函数x ky -=4，分别根据以下条件求出k 的取值范围。

（1）函数图象位于第一、三象限内； （2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。

考点四：求反比例函数的解析式如图，若反比例函数x ky =的图象过点（-2,3），则该函数的解析式为__________；考点五：反比例函数与坐标轴1、如图，在函数)0(≠=k x ky 的图象上有三点A ，B ，C 过这三个点分别向x 轴、y 轴引垂线，过每个点所引的两条垂线与x 轴，y 轴围成的矩形的面积分别是S 1、S 2、S 3，则（ ）A S 1>S 2>S 3B S 1<S 2<S 3C S 1<S 3<S 2D S 1=S 2=S 32、如图，点P是双曲线上的一点，过P点分别向x轴， y轴引垂线，得到图中的阴影部分的矩形面积为3，则这个反比例函数的解析式为。

考点六：反比例函数的实际应用蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示。

（U=IR）（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？Ω/R 3 4 5 6 7 8 9 10A/I 4考点七：反比例函数与一次函数的应用1、如图，一次函数bkxy+=的图象与反比例函数xmy=的图象相交于A、B两点。

（1）根据图象，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。

2、如图，平行于直线xy=的直线l不经过第四象限，且与函数()03>=xxy的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线l的解析式。