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3.1.2 表示函数的方法课程标准学习目标（1）在实际情境中, 会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法) 表示函数, 理解函数图象的作用。
（1）会求函数的解析式; （难点)（2）列表法表示函数（3）图象法表示函数。
知识点01 解析法把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式），解析法就是用解析式来表示函数的方法。
比如正方形周长C 与边长a 间的解析式为C =4a ，圆的面积S 与半径r 的解析式S =πr 2等.求函数解析式的方法① 配凑法 ② 待定系数法③ 换元法④ 构造方程组法 ⑤ 代入法【即学即练1】已知函数f (x )=1x ，则f (x +1)=（ ）A ．f (x +1)=1x+1B ．f (x +1)=1x―1C ．f (x +1)=2x―1D ．f (x +1)=2x+1知识点02 列表法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数时，想了解其图像是一直线，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.【即学即练2】函数f(x)与g(x)的对应关系如下表．x―101x123f(x)132g(x)0―11则g(f(―1))的值为（）A．0B．3C．1D．―1知识点03 图象法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.【即学即练3】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．【题型一：解析法表示函数】例1．若函数y=f(x)对任意x∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则下列函数可以为y=f(x)解析式的是（）A．f(x)=x+1B．f(x)=2x―1C．f(x)=2x D．f(x)=x2+x变式1-1．一个等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则（）A．y=10―x(0<x≤10)B．y=10―x(0<x<10)C．y=20―2x(5≤x≤10)D．y=20―2x(5<x<10)变式1-2．下列函数中，对任意x，不满足2f(x)=f(2x)的是（）A．f(x)=|x|B．f(x)=―2xC．f(x)=x―|x|D．f(x)=x―1变式1-3．定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(4)=8，则f（）A B．2C．4D．6变式1-4．若函数f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b)1―f(a)f(b)，且f(2)=12，f(3)=13，则f(7)=A．1B．3C．43D．83【方法技巧与总结】理解函数解析式y=f(x)，仅是用一系列运算符号连接起来得到的式子，它对定义域内任何一个值都是成立的；比如①函数f(x)=x2(x>0)，可取任何大于0的值进行赋值；②若函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则x ,y 取任何实数均可使得等式成立.【题型二：求函数的解析式】方法1 待定系数法例2．若二次函数f(x)满足f(x +1)―f(x)=2x ，且f(0)=1，则f(x)的表达式为（ ）A ．f(x)=―x 2―x ―1B ．f(x)=―x 2+x ―1C ．f(x)=x 2―x ―1D ．f(x)=x 2―x +1变式2-1．已知f(x)是一次函数，且2f(2)―3f(1)=5，2f(0)―f(―1)=3，则f(x)=（ ）A ．3x ―2B ．3x +2C ．92x ―12D ．4x ―1变式2-2．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)―2x]=3，则f(5)=（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5变式2-3．已知二次函数f (x )满足f(2)=―1,f(1―x)=f(x)，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=（ ）A ．―4x 2+4x +7B ．4x 2+4x +7C ．―4x 2―4x +7D ．―4x 2+4x ―7方法2 换元法例3．已知函数f 2)=x ―，则f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=x 2+1(x ≥0)B ．f(x)=x 2+1(x ≥―2)C ．f(x)=x 2(x ≥0)D ．f(x)=x 2(x ≥―2)变式3-1．已知函数f(1―x)=1―x2x2(x≠0)，则f(x)=（）A．1(x―1)2―1(x≠0)B．1(x―1)2―1(x≠1)C．4(x―1)2―1(x≠0)D．4(x―1)2―1(x≠1)变式3-2．设函数f1+=2x+1，则f(x)的表达式为（）A．1+x1―x (x≠1)B．1+xx―1(x≠1)C．1―x1+x (x≠―1)D．2xx+1(x≠―1)变式3-3．已知f1)=x+3，则f(x)=（）A．x2―2x+2(x≥0)B．x2―2x+4(x≥1)C．x2―2x+4(x≥0)D．x2―2x+2(x≥1)方法3 方程组法例4．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=―15x，则f(2)的值为（）A．152B．154C．174D．172变式4-1．若函数f(x)，g(x)满足f(x)―=3x―4x，且f(x)+g(x)=2x+6，则f(2)+g(―1)=（）A．6B．7C．8D．9变式4-2．已知函数f(x)满足f(x)+2f(2―x)=1x―1，则f(3)的值为（）A．―73B．―109C．―415D．―16变式4-3．已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x)+2f(―x)=2x+12.(1)求f(x)的解析式；(2)若点P(a,b)在y=f(x)图像上自由运动，求4a+2b的最小值.【方法技巧与总结】求函数解析式，可视情况而定，1 若已知函数类型，可用待定系数法；2 若求f(g(x))型函数解析式，可用换元法，此时要注意新自变量的取值范围；3 若求满足某函数方程的函数解析式，则用方程组的方法.【题型三：列表法表示函数】例5．设已知函数f(x),g(x)如下表所示：x12345f(x)54321g(x)43215则不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为（）A．{1,3}B．{5,3}C．{2,3,4}D．{5}变式5-1．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出：则f[g(2)]的值是（）x123f(x)131g(x)321A．1B．2C．3D．1和2变式5-2．观察下表：x―3―2―1123f(x)51―1―335g(x)1423―2―4则f[f(―1)―g(3)]=（）A．―4B．―3C．3D．5变式5-3．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数f(x)由下表给出，则f10f）x x≤11<x<2x≥2y123A．0B．1C．2D．3【方法技巧与总结】表格法表示函数，要注意看清楚变量数值之间的对应关系.【题型四：图象法表示函数】例6．如图所示的4个图象中，与所给3个事件最吻合的顺序为（）①我离开家后，心情愉快，缓慢行进，但最后发现快迟到时，加速前进；②我骑着自行车上学，但中途车坏了，我修理好又以原来的速度前进；③我快速的骑着自行车，最后发现时间充足，又减缓了速度.A．③①②B．③④②C．②①③D．②④③变式6-1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（）A．B．C．D．变式6-2．俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（）A．甲、乙、丙B．丙、甲、乙C．甲、丙、乙D．乙、丙、甲变式6-3．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间满足关系式t=ax+bx(a∈R,b∈R)，当x=2时，t=100；当x=4时，t=53，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出t关于x的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【方法技巧与总结】图象法表示函数，达到“一目了然”的效果，对于函数图象还注意函数的定义域，函数图象的上升下降趋势，增减趋势的缓急等等！一、单选题1．已知定义在[―2,2]上的函数y=f(x)表示为:x[―2,0)0(0,2]y10―2设f(1)=m，f(x)的值域为M，则（）A．m=1,M={―2,0,1}B．m=―2,M={―2,0,1}C．m=1,M={y|―2≤y≤1}D．m=1,M={y|―2≤y≤1}2.函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则g(f(3)―1)的值为（）x123g(x)20230―2023A．2023B．0C．―1D．―20233.设f(x)=xx2+1，则( )A．f(x)B．―f(x)C．1f(x)D．―1f(x)4.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(A→B→O→A)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且0<f(―1)=f(―2)=f(―3)≤3，则（）A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>96.已知f+1)=x+3，则f(x)的解析式为f(x)=（）A．x2―2x+4B．x2+3C．x2―2x+4(x≥1)D．x2+3(x≥1)7.函数f(x)满足2f(x)―f(1―x)=x，则函数f(x)=（）A．x―2B．x+13C．x―13D．―x+28.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表一市场供给量单价（元/kg）2 2.4 2.8 3.2 3.64供给量（1000kg）506070758090表一市场需求量单价（元/kg）4 3.4 2.9 2.6 2.32需求量（1000kg）506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）A．(2.3,2.6)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内二、多选题9．某工厂8年来某产品产量y与时间t的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A．前2年的产品产量增长速度越来越快B．前2年的产品产量增长速度越来越慢C．第2年后，这种产品停止生产D．第2年后，这种产品产量保持不变10.下列说法正确的是（）A．函数f(x+1)的定义域为[―2,2)，则函数f(x)的定义域为[―1,3)B．f(x)=x2x和g(x)=x表示同一个函数C．函数y=1x2+3的值域为0D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)―f(―x)=x+1，则f(x)=x3+111.已知f(0)=12，f(x+y)=f(x)f(1―y)+f(y)f(1―x)，则（）A．f(1)=12B．f(x)=12恒成立C．f(x+y)=2f(x)f(y)D．满足条件的f(x)不止一个三、填空题12．下列表示函数y=f(x)，则f(11)=．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y234513.已知y=f(x)是二次函数，且f(0)=1，f(x+1)―f(x)=2x，则y=f(x)=．14.若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则下列说法正确的序号是．①φ(5)=φ(10)；②φ(2n―1)=1；③φ(32)=16；④φ(2n+2)>φ(2n)，n是正整数．四、解答题15．下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C？(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？16.已知f(x)=1（x∈R，且x≠―1），g(x)=x2+2(x∈R)．1+x(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；(3)求f(x)和g(x―1)的值域．17.已知二次函数f(x)满足f(x)=f(2―x)，且f(0)=―3，f(1)=―4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)=x+1，比较f(x)与g(x)的大小.18.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①a=2；②不等式f(x)>0的解集为{x|―1<x<3 }；③函数f(x)的最大值为4.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f(x)的解析式；(2)求关于x的不等式f(x)≥(m―1)x2+2(m∈R)的解集.19．已知函数y=f(x)与y=g(x)的定义域均为D，若对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<|f(x1)―f(x2)|成立，则称函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”.(1)若f(x)=3x+1,g(x)=x,D=R，判断函数y=g(x)是否是函数y=f(x)在D上的“L函数”，并说明理由；(2)若f(x)=x2+2,g(x)==[0,+∞)，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若f(x)=x,D=[0,2]，函数y=g(x)是函数y=f(x)在D上的“L函数”，且g(0)=g(2)，求证：对任意的x1､x2∈D(x1≠x2)都有|g(x1)―g(x2)|<1.。
高中函数题型及解题方法在高中数学学习中，函数是一个非常重要的内容，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型涉及到了很多不同的情况和解题方法，下面我们就来系统地总结一下高中函数题型及解题方法。
一、基本函数题型及解题方法。
1. 一次函数。
一次函数是最基本的函数之一，其一般式为y=kx+b。
在解题时，可以根据函数的斜率和截距来确定函数的性质，例如斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减，截距表示函数与y轴的交点等。
2. 二次函数。
二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c。
解二次函数题型时，可以利用函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式等性质来进行分析，从而解决问题。
3. 指数函数和对数函数。
指数函数和对数函数是一对互逆函数，其性质和解题方法有很多特点，包括增减性、奇偶性、周期性等，需要根据具体问题来进行分析和解答。
二、函数图像与函数性质题型及解题方法。
1. 函数图像的性质。
在解题过程中，可以通过函数的导数、极值、拐点等性质来确定函数的图像特点，例如凹凸性、单调性、零点、极值点等。
2. 函数性质的应用。
在实际问题中，函数的性质经常被用来解决各种实际问题，例如最值问题、最优化问题、变化率问题等，需要根据函数的性质来建立方程并求解。
三、函数的综合运用题型及解题方法。
1. 函数的综合运用。
在综合题型中，通常会涉及到多个函数的综合运用，需要根据题目所给条件来建立方程并求解，同时要注意函数之间的关系和相互影响。
2. 函数的应用拓展。
除了基本的函数题型外，还会有一些应用拓展的函数题型，例如函数的复合、函数的逆、函数的复合逆等，需要根据具体情况来进行分析和解答。
总结，高中函数题型及解题方法涉及到了很多不同的情况和解题方法，需要学生们掌握函数的基本性质和解题技巧，同时要注重实际问题的应用和拓展，通过练习和思考来提高自己的解题能力。
希望本文的总结能够帮助学生们更好地掌握高中函数的知识，提高数学学习的效果。
数学高中数学函数题解题技巧轻松拿高分函数是高中数学中一个非常重要的概念，也是学生们经常遇到的难题之一。
掌握好函数的解题技巧，可以帮助我们轻松拿高分。
本文将为大家介绍一些解题的技巧，希望对大家提高数学水平有所帮助。
一、函数的基本概念和性质在解题过程中，首先要掌握函数的基本概念和性质。
函数是一个将一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应的规则。
通常我们用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的函数值。
函数有定义域、值域和图像等重要概念，我们需要清楚它们之间的关系。
在解题过程中，要注意函数的性质。
比如，奇函数具有奇对称性，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有偶对称性，即f(-x)=f(x)。
这些性质常用于简化函数的运算和求解。
二、常见函数的解题技巧1. 一次函数：一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k称为斜率，b称为截距。
在解题时，可以利用函数图像和已知条件来确定函数的表达式。
2. 二次函数：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
在解题时，可以通过求解函数的零点、顶点和判别式等方法来确定函数的特性和解集。
3. 指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
在解题时，可以利用函数的单调性、性质和指数方程等来求解。
4. 对数函数：对数函数是指以某个正数a为底的对数函数，通常用log_a(x)来表示。
在解题时，可以利用对数函数的性质和对数方程等方法来求解。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在解题时，可以利用三角函数的周期性、性质和三角恒等式等来求解。
三、解题技巧的应用在解任何数学问题时，掌握解题技巧是至关重要的。
以下是一些常见的解题技巧的应用：1. 确定已知条件和待求量：在解题前，一定要仔细阅读题目，明确已知条件和待求量，有时需要根据题目中的信息进行假设或者推理。
2. 利用关系式和等式：函数题中常常会给出多个函数之间的关系式或等式，我们可以利用这些关系式和等式来求解。
高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。
本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。
技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。
2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。
技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。
2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。
3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。
技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。
2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。
技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。
2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。
技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。
2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。
技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。
2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。
高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高考中占据了相当大的比重，因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生来说是非常重要的。
本文将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、基本概念。
在学习函数的题型和解题方法之前，首先需要对函数的基本概念有一个清晰的认识。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等概念也是学习函数题型的重点内容。
二、常见题型及解题方法。
1. 函数的性质题。
这类题型主要考察对函数的性质的理解和掌握程度，包括奇偶性、单调性、最值等。
解题方法主要是通过对函数图像的分析和导数的运算来确定函数的性质。
2. 函数的运算题。
函数的运算题主要考察对函数的基本运算和复合函数的理解，包括函数的加减乘除、复合函数等。
解题方法主要是根据函数的定义进行运算，注意化简和合并同类项。
3. 函数方程题。
函数方程题主要考察对函数方程的解法和函数图像的性质分析。
解题方法主要是根据方程的特点进行分类讨论，通过代数和图像的方法解题。
4. 函数的应用题。
函数的应用题是高中数学中比较常见的题型，主要考察对函数的应用和解决实际问题的能力。
解题方法主要是通过建立函数模型，利用函数的性质解决实际问题。
三、解题技巧。
1. 熟练掌握函数的基本性质和运算法则，对于函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等要有清晰的认识。
2. 多画函数的图像，通过观察函数的图像来理解函数的性质和解题方法。
3. 多做函数题的练习，掌握不同类型函数题的解题技巧和方法。
4. 注意函数题与实际问题的结合，理解函数在实际问题中的应用。
总结。
通过对高中函数题型及解题方法的介绍，希望能够帮助学生们更好地掌握函数的相关知识和解题方法。
高中数学解题技巧之函数问题在高中数学中，函数问题是一个非常重要的考点。
掌握好函数的相关知识和解题技巧，对于学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，分析函数问题的考点，并给出解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对函数问题。
一、函数的定义和性质函数是高中数学中最基本的概念之一。
在解函数问题时，首先要明确函数的定义和性质。
函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
函数的定义通常以“y=f(x)”的形式给出，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的表达式。
例如，考虑以下问题：已知函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-1，且f(1)=3，求f(5)的值。
这道题目涉及到函数的性质。
我们可以通过观察函数的表达式，发现f(x+2)和f(x)之间存在关系。
根据题目中给出的等式，我们可以得到一个递推公式：f(x+2)=2f(x)-1。
通过不断代入这个递推公式，我们可以求得f(5)的值。
二、函数的图像与性质函数的图像是解题中常用的工具之一。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，进而解决问题。
考虑以下问题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求f(2)的值。
[插入函数图像]对于这道题目，我们可以通过观察函数的图像来求解。
从图中可以看出，当x=2时，函数的值为2。
因此，f(2)=2。
三、函数的复合与反函数函数的复合和反函数是解决函数问题的重要手段。
通过复合函数和反函数的运算，我们可以得到新的函数，从而解决问题。
考虑以下问题：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，求复合函数f(g(x))的表达式。
这道题目涉及到函数的复合运算。
我们可以先求出g(x)，然后将g(x)代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
首先，求出g(x)的表达式：g(x)=x^2。
然后，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))的表达式：f(g(x))=f(x^2)=2(x^2)+1=2x^2+1。
1、一元二次方程
解题技巧：
（1）将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变成一元二次不等式ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0，计算其解的范围。
（2）转换成一元二次不等式后，用判别式Δ=b2-4ac 来确定方程的具体解法：
（a）Δ>0，则有两根；
（b）Δ=0，则有一根；
（c）Δ<0，则无解。
（3）根据Δ的值，计算一元二次方程的根：
（a）Δ>0，则根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a计算；
（b）Δ=0，则根据公式x=(-b)/2a计算；
（c）Δ<0，则无解。
2、函数图像
解题技巧：
（1）分析函数图像的奇偶性：函数y=f(x)的函数图像是一条不断变化的曲线，如果函数图像关于y轴对称，则称该函数为偶函数；如果函数图像关于原点对称，则称该函数为奇函数。
（2）分析函数图像的单调性：函数f(x)的函数图像表示函数y的取值随x的变化而变化的规律，如果函数图像在某个区间内是单调递增或者单调递减的，则称该函数在该区间内是单调的。
（3）分析函数图像的极值：对于一个函数f(x)的函数图像，如果函数图像在某个区间有极大值和极小值，则称该函数在该区间有极值。
高一数学函数值域解题技巧第一篇：高一数学函数值域解题技巧一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
高中数学中的函数与解析几何解题技巧分享函数与解析几何是高中数学的重要部分，它们在各种数学问题的解决中起着至关重要的作用。
本文将分享一些在函数与解析几何方面的解题技巧，希望能对高中数学学习者有所帮助。
一、函数解题技巧1. 理解函数的定义在解题过程中，首先要对函数的定义有清晰的理解。
函数是一种映射关系，它将自变量映射到对应的因变量。
函数解题时要准确地找到函数的定义域和值域，并理解函数在不同定义域上的变化规律。
2. 利用函数性质简化运算在解题过程中，可以根据函数的性质简化运算。
例如，利用奇偶性质可以简化函数的求值，利用周期性质可以简化函数的图像绘制，从而更便捷地解决问题。
3. 构建辅助函数有时，在解决复杂问题时，可以构建辅助函数来简化问题的分析与计算。
通过构建适当的辅助函数，可以将问题转化为更易解的形式，从而更高效地求解。
二、解析几何解题技巧1. 熟悉平面几何基本知识解析几何中的基本概念包括点、直线、平面等，学习者首先要熟悉这些基本知识，理解它们之间的关系和性质。
只有对基本概念有清晰的认识，才能更好地解决解析几何中的问题。
2. 等距变换的应用等距变换是解析几何中常用的技巧之一。
通过平移、旋转、对称等等等距变换，可以保持图形的形状和大小不变，从而简化问题的求解。
学习者需要善于利用等距变换来研究几何问题，提高问题的解决效率。
3. 坐标系的运用在解析几何中，坐标系是一个重要的工具。
通过建立适当的坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，并运用代数知识来求解。
学习者要熟练掌握坐标系的建立方法，善于将几何问题转化为坐标系中的方程求解。
三、函数与解析几何综合运用1. 利用函数与解析几何相互关系解题函数与解析几何是密不可分的。
在解决数学问题时，学习者可以将函数与解析几何相互应用，通过解析几何的几何特性来研究函数，或者通过函数的性质来推导解析几何问题的解决方法。
例如，利用平面几何中直线的垂直、平行关系来研究函数的递增、递减性质，或者通过解析几何的方程求解方法来确定函数的解。
高中数学函数知识点总结一、. 函数的三要素是什么如何比较两个函数是否相同（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)二、. 求函数的定义域有哪些常见类型()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
三、. 如何求复合函数的定义域[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。
复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+xbxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=6543++x x 值域。
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。
6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P （）在圆x 2+y 2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令y-2即也是直线d dyx x yk y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤ 例求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。
例求函数y=1362+-x x+542++x x的值域9 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：33()13()32x(3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）ab c +⋅⋅≤=++≤10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=32++x x 的值域 20112022012时，时，=00y x y y x y y =+≠==≥⇒<≤+=∴≤≤多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
五、. 如何用定义证明函数的单调性 （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f 1(x)，f 2(x)同向变化，则函数f 1(x)＋f 2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f 1(x)，f 2(x)同向变化，则函数f 1(x)f 2(x)和它们同向变化；如果负值函数f 1(2)与f 2(x)同向变化，则函数f 1(x)f 2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与1()f x 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u ∈[φ(α)，φ(β)]或u ∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。
（同增异减）()如：求的单调区间y x x =-+log 1222 六、.如何利用导数判断函数的单调性()在区间，内，若总有则为增函数。
（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013()值是（ ）七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。
2f(x)f(0)0=如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x()=+-+=2221又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x xx()()()()-∈=+1101241()求在，上的解析式。
f x ()-11八.判断函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 2、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)==-3、 复合函数奇偶性九、. 你熟悉周期函数的定义吗（若存在实数（），在定义T T ≠0函数，T 是一个周期。
） ()如：若，则f x a f x +=-()我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2)()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=⎫=>=+⎬+++=⎭，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。
如：()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2||(,,,f x x a x b f a x f a x f b x f b x f x f a x f a x f b x f x f b x t a x b x t b a f t f t b a f x f x b a f x b a a b ==+=-+=-=-⎧⎫=>=>-=-⎨⎬=-⎩⎭=--=+-=+-=+--又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值十. 你掌握常用的图象变换了吗f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0))]g (x ) g (x ) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶非奇非偶 奇偶 奇 偶非奇非偶 奇偶 偶 偶偶偶将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>−→−−−−−−−−>=+=-()()()()()00上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b()()()()>−→−−−−−−−−>=++=+-00注意如下“翻折”变换：()|()|x ()(||)y f x f x f x f x −−→−−→把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面 ()如：f x x ()log =+21()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211y=log 2x十一、 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗()（）一次函数：10y kx b k =+≠ (k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点) ()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x ak O a b =≠=+-≠'() 的双曲线。
