信号与系统 刘树棠 第二版 中文答案 第2章
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Charpt 2 2.21 计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]:
(a):][][][][nunhnunxnn}
knnnknkknknknununuknhkxnhnxny][][][)(][][][][*][][11
00
(c):x[n]=],4[)21(nun h[n]=]2[4nun y[n]=x[n]*h[n]=kknkknuku]2[4]4[)21(
所以1)n<6时 y[n]=434)(8*948118144)21(knnknk 2)n22)81(98*44)21(,6nknnknk时 2.22 对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画出结果。
(a))()(tuetxt )()(tuetht (分别在和下完成)
y(t)=x(t)*h(t)=tttttdeedee00)()()0( 当)(1)(,)(tueetytt时 当)()(,tutetyt时
(c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。 )(*)()(*)()(txththtxty when t<1 y(t)=0;
when ))cos(1(2)sin(2)(,3110tdtytt when 23)1))(cos(2()sin(2)(,53ttdtyt 2.23 设h(t)是如图P2.23(a)所示的三角脉冲，x(t)为图P2.23(b)所示的单位冲击串，即
kkTttx)()(
对下列T值，求出并画出y(t)=x(t)*h(t): (a)T=4 (b)T=2 (c) T=3/2 (4)T=1 解答：
因为)()(*)(txttx，据此可得 (b) T=4时，y(t)=x(t)*h(t)=kktx)4(,如图(a) (c) T=2时，y(t)=kktx)2(,如图(b) (d) T=3/2时，y(t)=kktx)23(如图(c) (e) T=1时，y(t)=kktx1)(,如图(d) 2.27定义一个连续时间信号v(t)下面的面积为 Av＝dttv)( 证明：若y(t)=x(t)*h(t),则Ay=AxAh
因为y(t)=x(t)*h(t)=dthx)()(
Ay=dtdthxdtty)()()( =hxAAdtthdx*)()( 2.28 下面均为离散时间LTI系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的，陈述理由
(a) h[n]=][)51(nun 因果，稳定。n0,h[n]=n)51(收敛。 (b) h[n]=]2[)8.0(nun 非因果，稳定 (c) h[n]=][)21(nun 非因果，不稳定。nn)21(,0不收敛 2.29 下面均是连续时间LTI系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的.陈述理由
(a)h(t)=)2(4tuet 因果，稳定 ,2tte4收敛。 (b) h(t)=)3(6tuet 非因果，不稳定。tet6,3不收敛 (c) h(t)=)50(2tuet 非因果，稳定。tet2,50收敛 2.36 考虑一离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由下列差分方程给出：y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n] (a)证明：若该系统满足初始松弛条件（即若n是线性和时不变的。 // 参考
证明：1)证明该式是线性
(i) 当n＝0n时 ][]1[)21(][000nxnyny 在满足初始松弛条件时 ][][00nxny
显然线性即满足：当][][][02010nbxnaxnx时][][][02010nbynayny (ii) 假设在n=k(>n0)时满足线性。即当 ][][][21kbxkaxkx时
][][][21kbykayky (iii) 当n=k+1时 假设：]1[]1[]1[21kbxkaxkx
]1[]1[]}1[][)21{(]}1[][)21{(]1[]1[]}[][){21(]1[][)21(]1[]2122112121kbykaykxkybkxkyakbxkaxkbykaykxkyky
∴对于,......0nk都满足线性即][]1[)21(][000nxnyny线性 2)下证该式移不变
当n=n0时y[n0]=x[n0]显然满足线性 令k=n-m>n0 则y[k]=(1/2)y[k-1]+x[k] 即 y[n-m]=(1/2)y[n-m-1]+x[n-m] 亦即满足移不变 (b)证明：若系统不满足初始松弛条件，但利用附加条件y[n]=0,那么它不是因果的。
证明：∵y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],y[n]=0 ∴y[n-1]=(-2)x[n]
即输出与将来时刻的输入有关，所以非因果。//
***姜老师给出的标准答案*** P2.36 y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],
正向递推： y[n0] =(1/2)y[n0-1] +x[n0] = x[n0]； y[n0+1]=(1/2)y[n0] +x[n0+1]= (1/2)x[n0]+x[n0+1]; y[n0+2]=(1/2)y[n0+1]+x[n0+2]= (1/2)2x[n0]+ (1/2)x[n0+1]+ x[n0+2];
001
02
0[]()[]nnnnkkynxnk
, n>= n0
另外，已知y[n]=0, n
所以 对x[n]的响应，0010020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn 显式表示 线性证明：
x1[n]的响应(x1[n]与x[n]具有同样的单边性)，001110020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn x2[n]的响应(x2[n]与x[n]具有同样的单边性)，001220020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn x[n]=ax1[n]+bx2[n]的响应，0011010020[]{()([][])}[]nnnnkkynaxnkbxnkunn 所以 y[n]= ay1[n]+by2[n]
Time Invariance: x[n]的响应，0010020[]{()[]}[]nnnnkkynxnkunn 对x[n-m]的响应, 0010020[]{()[]}[][]nnmnnmkkynxnmkunnmynm (b)Causality y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n],
正向递推： y[1]=(1/2)y[0]+x[-1]= x[1]； y[2]=(1/2)y[1]+x[2]= (1/2)x[1]+x[2]; y[3]=(1/2)y[2]+x[3]= (1/2)2x[1]+ (1/2)x[2]+ x[3];
反向递推：y[n-1]=2y[n]-2x[n] y[-1] =2y[0] -2x[0] = -2x[0]； y[-2] =2y[-1]-2x[-1] = -22x[0] -2x[-1]； y[-3] =2y[-2]-2x[-2] = -23x[0] -22x[-1]-2x[-2]；
表明当前输出与将来输入有关，故非因果// 2.38 对于由下列差分方程描述的因果LTI系统画出它们的方框图表示： (a) y[n]=(1/3)y[n-1]+(1/2)x[n]
(b) y[n]=(1/3)y[n-1]+x[n-1] 2.39 对于由下列微分方程描述的因果LTI系统画出它们的方框图表示： (a)
)(4)()21()(txdttdyty
(b))()(3)(txtydttdy 2.47 已知单位冲激响应为ho(t)的某一线性时不变系统，当输入为xo(t)时，输出为yo(t)，yo(t)如图所示。现在给出下列一组输入和线性时不变系统的单位冲击响应： 输入x(t) 单位冲激响应h(t) (a)x(t)=2xo(t) h(t)=ho(t) (b)x(t)=xo(t)-xo(t-2) h(t)=ho(t) (c)x(t)=xo(t-2) h(t)=ho(t+1) (d)x(t)=xo(-t) h(t)=ho(t) (e)x(t)=xo(-t) h(t)=ho(-t) (f)x(t)=x’o(t) h(t)=h’o(t) [这里x’o(t)和h’o(t)分别为xo(t)和ho(t)的一阶倒数] 在每一种情况下，判断当输入为x(t)，系统的单位冲激响应为ho(t)时，有无足够的信息来确定输出y(t)。如果有可能确定y(t)，请准确地画出y(t)并在图上表明数值。 (a) ∵x(t)=2xo(t), h(t)=ho(t) ∴y(t)=2xo(t)*ho(t)=2yo(t) (b)∵x(t)=xo(t)-xo(t-2), h(t)=ho(t) ∴y(t)=yo(t)-yo(t-2) (c)∵xo(t)*ho(t+1)=yo(t+1), xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1) ∴y(t)= xo(t-2)*ho(t+1)=yo(t-1)
(d)∵y(t)=x(t)*h(t)=dthxdthx)()()()(0000 ∴已知条件不足以确定y(t).
(e)∵x(t)*h(t)=)()()()()(00000tydthxdthx (f)∵y(t))()(*)(''0'0'0tythtx
