高中数学必修二第一章空间几何体习题课课时作业

( 单位： cm) ，则该几何体的表面积和体积分别为
(
)
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
2,
3
2,
3
A． 24 π cm 12 π cm B． 15 π cm 12π cm
2,
3
C． 24 π cm 36 π cm D．以上都不正确
6 ．三视图如图所示的几何体的全面积是
2 的圆柱， 此圆柱的轴截面面积为 (
)
8
4
2
A． 8B． C． D．
ππ π
2 ．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为
(
)
1＋ 2π 1＋ 4π 1＋ 2π 1＋ 4 π A． 2π B． 4π C． π D． 2π
3．中心角为 135°，面积为 B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为
圆锥
底面积： S 底＝ ________ 侧面积： S 侧＝ ________ 表面积： S＝ ________
圆台
2 ．体积公式 (1) 柱体：柱体的底面面积为 (2) 锥体：锥体的底面面积为
S，高为 S，高为
(3) 台体：台体的上、下底面面积分别为
上底面面积：
S 上底 ＝ ____________
下底面面积：
S 下底 ＝ ____________ 侧面积： S 侧 ＝ __________
表面积：
S＝ ________________
h ，则 V＝ ______ ． h ，则 V＝ ______ ．
1
S′、 S，高为 h，则 V＝ 3( S′＋

第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。

高中数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图课时作业含解析新人教A版必修206222281.2.3 空间几何体的直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )(A)45° (B)135°(C)90° (D)45°或135°解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )(A)12 (B)24 (C)6 (D)12解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×= 6.4.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.5.在如图所示的平面直角坐标系中,均为边长为1的正三角形ABC,它们的直观图不是全等三角形的一组是( C )解析:由于在直观图中原来平行于x轴(或在x轴上)的线段的长度不变,而原来平行于y轴(或在y轴上)的线段的长度变为原来的一半,故选项C第二个图中线段AB的长度改变了,而第一个图中线段AB的长度不变,所以两个三角形的直观图不是全等的.故选C.6.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( A )解析:根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体,将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案A.7.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,则△ABC的边AB上的高为( A )(A)6 (B)3 (C)3 (D)3解析:过C′作C′D′∥y′轴,交x′轴于D′,则∠C′D′B′=45°,因为B′C′=3,所以C′D′=3,在原△ABC中,CD⊥AB,且CD=2C′ D′=6.8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰为,上底面为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是.解析:如图所示,由已知斜二测直观图根据斜二测画法画出原平面图形,所以BC=B′C′=1,OA=O′A′=1+1+1=3,OC=2O′C′=2,所以这个平面图形的面积为×(1+3)×2=4.答案:410.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为.解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.答案:11.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则△ABC中AB边上的中线的长度为.解析:由于在直观图中∠A′C′B′=45°,则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,斜边AB=5,故斜边AB上的中线长为2.5.答案:2.512.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为.解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△ABC=(cm)2.答案: cm213.如图所示为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.解:由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.14.如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出该几何体的直观图.解:(1)画轴:如图(1)所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz =90°.(2)画底面:利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上取点O′,使 OO′等于三视图中相应的高度,过点O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点:在Oz上取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图:连接PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.15. 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图.解:画法:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图②所示,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.(2)在图①中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在图②中,在x′轴上取A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=≈2.598(cm);过点E′作E′D′∥y′轴,使E′D′=ED=×=0.75(cm),再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2 cm.(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.16.水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个( A )(A)等边三角形(B)直角三角形(C)三边中只有两边相等的等腰三角形(D)三边互不相等的三角形解析:由图形,知在原△ABC中AO⊥BC.因为A′O′=,所以AO=.因为B′O′=C′O′=1,所以BC=2,AB=AC=2,所以△ABC为等边三角形.故选A.17.如图,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图,若A1D1∥y′轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,A1D1=1,A1B1=2,则梯形ABCD的面积是( B )(A)10 (B)5 (C)5 (D)10解析:斜二测画法下的梯形的面积S=×(2+3)×1×sin 45°=,根据=,得S梯形ABCD=×2=5,故选B.18.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是.解析:法一由图象,可知O′B′=4,则在△AOB中,OB=4,又与y′平行的线段的长度为4,则△AOB的高为8,所以△AOB的面积为S=×4× 8=16.法二通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1.因为S△A′O′B′=×4×(4sin 45°)=4,所以S△AOB===16.答案:1619.直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为(填形状),面积为cm2.解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形820.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解:四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D′A′=2,AC=A′C′=,所以S四边形ABCD=AC·AD=2.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．两个球的半径之比为2∶3，那么这两个球的表面积之比为()A．2∶3B．4∶9C.2∶ 3 D．8∶27解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，则S1S2＝4πr214πr22＝r21r22＝49.故选B.答案： B2．(2015·德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：根据题意球的半径R满足(2R)2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2，故选B.答案： B3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体，其表面积S＝4πR2＋2πr2＋2πr·h，代入数据得S＝4π＋2π＋2π×3＝12π.故选D.答案： D4．(2015·唐山市玉田县林南仓中学高二(上)期中)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1∶S2等于()A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶1解析： 由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1∶S 2＝3∶2，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析： 利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π. 答案： 43π6．(2015·吕梁学院附中高二(上)月考)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是________．解析： 长方体的体对角线长为22＋22＋42＝26，球的直径是2R ＝26，所以R ＝6，所以这个球的表面积S ＝4π(6)2＝24π.答案： 24π7．(2015·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 6 cm ，深为1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm ，表面积是________cm 2.解析： 设球心为O ，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D ，AB 为小圆D 的一条直径，设球的半径为R ，则OD ＝R －1，则(R －1)2＋32＝R 2，解之得R ＝5 cm ，所以该球表面积为S ＝4πR 2＝4π×52＝100π(cm 2)．答案： 5 100π三、解答题(每小题10分，共20分)8．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形．求该几何体的外接球的体积．解析： 由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2.由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ， d ＝16＋16＋4＝36＝6(cm)，所以球的半径为r ＝3 cm.因此球的体积V ＝43πr 3＝43×27π＝36π(cm 3)， 所以外接球的体积是36π cm 3.9．(2015·大同一中高二(上)月考)如图所示(单位：cm)四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．解析： 12S 球＝12×4π×22＝8π(cm 2)， S 圆台侧＝π(2＋5)(5－2)2＋42＝35π(cm 2)，S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，即该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)． 所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．。