初中数学题的改编与变式
- 格式：doc
- 大小：156.50 KB
- 文档页数：8
1 初中数学题的改编与变式 普陀二中 张杰 题1、【原题出处1】（2007·常州）
已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF． （1）当DG＝2时，求△FCG的面积； （2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积； （3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由． 【原题出处2】（慈溪中学2008年保送生招生考试第14题） 已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF． （1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长； （2）当△FCG的面积为1时，求DG的长； （3）当△FCG的面积最小时，求DG的长.
【原题解析】：本题的设计的意图是考察学生的数学思想方法，核心思想“特殊～一般～特殊”，第（1）问中“DG＝2”寓意于DG＝AH ，即△HAE≌△GDH，且∠GHE＝90°．四边形（菱形）EFGH已特殊化为正方形。 第（2）问中“DG＝x”是让菱形EFGH一般化．由于可推知△FCG中，CG＝6－x，所以，作出CG边上的高FM就成为一种必然，再连接GE，通过证明△HAE≌△FMG，得FM＝AH＝2． 第（3）问是借助试题中“菱形EFGH的三个顶点E、G分别在正方形ABCD边AB、CD上”的限制作用．由第（2）问可知，FM＝AH＝2，是一个定值，则x的大小就限制了△FCG的面积．因为HD＞AH，所以HC＞HB，即①点E不可能与点A重合（x的最小值为0，即HG的最小值等于HD）②点G不能与点C重合（即HG的最大值等于HB）．这样通过求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于1了．
A B C D
E F
G
H M
HGFEBA
DC 2 A B
C D
y
x 图乙
H E
F
G
A B C D
y
x 备用图 B A
C D E G
H x
y
图甲 F H
改编题：如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2. （1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标； （2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标； （3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.
【改编意图说明】： 本题的关键点F的位置，在边BC上,是它的一种特殊情形，我设计改编的意图是以探究动态菱形EFGH中，点F的位置变化为主线而展开。从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，来考察学生的思维。 解：（1）如图甲，连接GE. ∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG， ∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG， ∴∠DGH＝∠BEF. 在△HDG与△FBE中， 090,,,HDGDGHHGFBEBEFFE
∴△HDG≌△FBE， ∴FB＝HD＝AD－AH＝6－2＝4, ∴点F的坐标为（6，4）.
B A C D E G
H x
y
图甲 F 3
（2）如图乙，连接GE，作FM⊥x轴，垂足为点M. 同理可证，△HDG≌△FME， ∴ME＝DG＝x，FM＝HD＝4. 在Rt△HDG中，HG2＝42＋x2＝16＋x2， ∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2. 在Rt△HAE中， 22221612AEHEAHxx，
∴AM＝AE＋EM＝212xx， ∴点F的坐标为（212xx，4）. （3）依题意，可知HD＞HA.即： ①当点G与点D重合时，m最小，此时x＝0， ∴m＝212xx＝23. ②当点E与点B重合时，m最大，此时HG2＝HB2＝22＋62＝40， ∴DG＝x＝40162426， ∴m＝212xx＝122426626.
A B
C D
y
x 图乙 E
F G H M 4 题2、【原题出处】（2007年.江西）
如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）. 【原题解析】：本题以一道作图题的形式出现，打破了以往作图题的范畴，它强调只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，使得此题不是纯粹的作图题，实际上是一道几何的证明题，它需要综合运用矩形的性质“矩形的对角互相平分”和等腰三角形的三线合一的性质，才能完成。只有知道AB和EF的交点在等腰△AOB的顶角平分线上，才能达到解决问题的目的。 【改编意图说明】：孙维刚老师提出：要站在知识系统的高度来进行数学教学，做到多题归一、一题多解。本题组的设计，就是“多题归一”的一个体现。我将原题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，不同图形的出现与变化，形式上变了，但本题的解题思路一样，实质没有变化。只要大家掌握了解决原题的方法，就能很快找到其解决办法。虽然它们各自用不同知识解决同一问题,对学生的思维得以发散。 改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）. 改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）. 改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.
图1
图2 图3 图4 5 题3、【原题出处】（2006年佛山市课改实验区中考试题第24题）
已知：在四边形ABCD中，AB＝1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH。设四边形EFGH的面积为S，AE＝x(0≤x≤1)。 (1)如图①，当四边形ABCD为正方形时， <1>求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S0； <2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S＝0.6时x的近似值(精确到0.01)； (2)如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A＝30°时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
【原题解析】：此题是一道几何与函数的相结合的运动综合题，意图是考查迅速对数形结合、函数思想的应用能力。试题让学生在运动变化中探究数学问题的本质，去发现变量之间互相依存的函数关系，培养学生的数学能力。试题第（1）问运用三角形全等的判定与性质、直角三角形两锐角互余等几何知识给予解答；第（2）问根据图形的面积关系，运用勾股定理列出函数关系式，然后用配方法求最值；第（3）问已知函数值S，求对应的自变量t的值。 改编1：在边长为1cm的正方形ABCD中，点EFGH，，，分别按ABBC，，CD，DA的方向同时出发，以1cm/s的G
H
BDA
CE
F
A E B H D G C
F (第24题图①) O
y
x (第24题图②)
方格边长0.1
(第24题图③) A E B H D G C
F 6
速度匀速运动． （1）在运动中，点EFGH，，，所形成的四边形EFGH为（ ） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形 （2）当点EFGH，，，运动到何处时，四边形EFGH的面积最小？并说明理由。 （3）当运动时间t等于多少秒时，四边形EFGH的面积S是正方形ABCD面积的58？
【改编意图说明】： ① 把原题改编成图形运动类试题，使得试题比较灵活，展现形式活泼、新颖； ② 增加第一问，并以选择题的形式出现，这样有利于引起学生的兴趣，使试题的难度降低了； ③ 删除原题的第二问，另外设置一个与前二问有关联的问题，形成递进关系。同时，这一问又可考查学生对一元二次方程的掌握情况。 改编2：在边长为4cm的正方形ABCD中，点EFGH，，，分别按ABBC，，CD，DA
的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动
过程中，设四边形EFGH的面积为2(cm)S，运动时间为(s)t． （1）试证明四边形EFGH是正方形； （2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。 【改编意图说明】： ① 把“边长为1cm”改成“边长为4cm”，这样便于学生计算，在配方时尽可能地不出现分数； ② 把原来的选择题设计成一道几何证明题，这取材于义务教育课程标准实验教材书，目的在于引导教师在教学过程中要重视教材，注意课本的典型例题及其解法。这不但可以考查几何演绎推理能力，而且为第二问的解答作铺垫；
GHBDA
CE
F
