初中数学中的几道变式训练题

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

初中数学教学变式训练题1、一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。

（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。

变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？2、16的算术平方根是。

变式1：16的平方根是。

变式2：的平方根是。

变式3：已知a的算术方根是2，则a= 。

3、“求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.”变式1：顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式5：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形?变式6：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形?4、例题：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。

图1变式训练：变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？5、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；变式一、求直线与轴的交点的坐标及△的面积；变式二、求方程的解（请直接写出答案）；变式三、求不等式的解集（请直接写出案）.6、已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是： ____________．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：____________．并证明你的结论（3）运用：已知三角形ABC，AB=5cm,AC=3cm,分别以AB、BC、CA为边作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和最大值是. ____________7、正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上．分别连接BD、BF、FD，得到△BFD．(1)在图①～图③中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：正方形CEFG的边长 1 3 4△BFD的面积(2)若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想S△BFD的大小，并结合图③证明你的猜想．8、如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S△APD +S△BPC=S△PAB+S△PCD填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。

变式1：在△ABC中，AB=AC，∠OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）求证：AN=BMAB COACAB CO（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。

问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。

探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。

变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；MACBBAl方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2：已知: AB 、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从P 点出发, 先到AB 河取点水样, 然后再到AC 河取点水样, 最后回到P 处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P 点笔直向A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。

CBAS 2S 3S 1CBAS 3S 2S 1S 3S 2S 1CBA一题多解、一题多变原题条件或结论的变化所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。

通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。

例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。

一、几何图形形状的变化如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是图1 图2 图3E S 3S 2S 1DCBAS 3S 2S 1ABCDABCD S 3S 2S 1变式1：如图2，如果以Rt ∆ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式2：如图3，如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式3：如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练（重难点培优）【知识点1】增长率问题【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【变式1.1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗请通过计算说明．【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【知识点2】传播问题【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【知识点3】营销问题【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克土特产售价（单位：元）可供出售的土特产质量（单位：千克）现在出售 2000x天后出售(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]【知识点4】面积问题【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式4。

变式题1、原题： 计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． 变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题： 四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题： （1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

《初中数学中的几道变式题所引发的思考的研究》结题报告一、课题提出的背景和意义素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育为归宿的教育。

在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。

现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质,要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。

所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。

数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。

.变式其实就是创新。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。

实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。

通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。

下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

二、理论依据最早对“变式”定义的是张兆琪1981年在《天津教育》发表题为“变式在小学数学教学中的应用”，定义为“在形成数学概念、掌握数学规律的过程中, 教师提供给学生的感性材料,要不断变化其表现形式,使那些非本质属性变化出现,而使其本质属性在所有材料中都出现,这种方法在心理学上称为“变式”。

【模拟试题】一、选择题1. “x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ）A. 2x －3≤8B. 2x －3≥8C. 2x －3＜8D. 2x －3＞8 2.下列不等式一定成立的是（ ）A. 5a ＞4aB. x +2＜x +3C. －a ＞－2aD.a a 24> 3. 如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ）A. x 2＞－3xB. x 2≥－3xC. x 2＜－3xD. x 2≤－3x 4. 不等式－3x +6＞0的正整数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数多个 5. 若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 任意有理数 6. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ）A. －8＜x ＜8B. x ＜－8或x ＞8C. x ＜8D. x ＞87. 若不等式组⎩⎨⎧>≤11x mx 无解，则m 的取值范围是（ ）A. m ＜11B. m ＞11C. m ≤11D. m ≥118. 要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A. m ＞23，n ＞－31B. m ＞3，n ＞－3C. m ＜23，n ＜－31D. m ＜23，n ＞－31二、填空题9. 不等式6－2x ＞0的解集是________.10. 当x ________时，代数式523--x 的值是非正数.11. 当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m -28.12. 若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________. 13. 已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.14. 不等式组⎩⎨⎧-<+<212m x m x 的解集是x ＜m －2，则m 的取值应为________. 15. 已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.16. 某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.三、解答题17. 解不等式（组）（1）－2（x －3）＞1 （2）⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤-3314)3(265x x x x18. 画出函数y =3x +12的图象，并回答下列问题： （1）当x 为什么值时，y ＞0？（2）如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.19. 已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y x m y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围.120. 某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.的冷藏费.（1）设该批发商待运的海产品有x （吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y 1（元）和y 2（元），试求y 1和y 2与x 的函数关系式；（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？21. 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x （套），用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y （元）.（1）写出y （元）关于x （套）的代数式，并求出x 的取值范围.（2）该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？玩数学------------变式训练一1、（2008山东模拟）如图所示，等腰Rt △ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，连结EF .当∠EPF 绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），△PEF 也始终是等腰直角三角形，请说明理由.2、一位同学拿了两块45三角尺MNK △，ACB △做了一个探究活动：将MNK △ 的直角顶点M 放在ABC △的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==．BK图（1）N图（2）BN图（3）（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为ACM△，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图（1）中的MNK△绕顶点M逆时针旋转45，得到图26（2），此时重叠部分的面积为，周长为．（3）如果将MNK△绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为。

数学变式训练激活学生思维松江二中（集团）初级中学刘艳杰《上海市中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。

数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。

”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。

如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。

一、概念的变式训练数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。

因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。

如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，例题：16的平方根是。

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。

但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是。

一、精题精练例题：（八上教材P66例1）说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.变式1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假.(1)两直线平行，同旁内角互补.逆命题：_______________________________________________________________（）(2)在一个三角形中，等边对等角.逆命题：________________________________________________________________（）(3)如果a=0，b=0，那么ab=0.逆命题：________________________________________________________________（）变式2：写出定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.变式3：请写出一个命题，使它是假命题，但它的逆命题是真命题，并证明此逆命题.命题________________________________________________________________________________逆命题______________________________________________________________________________证明逆命题：变式4：写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.本课题的重点是写出逆命题，并证明逆定理，通过设置多个类似的熟悉的已学的命题，逐步理清写出某个定理的逆命题的基本方法，以及证明逆定理的一般步骤与构成。

证明一个命题主要由四部分组成：图形、已知、求证、证明等，可根据命题中的条件画出具体的图形，便于后面几个环节可以用几何语言的描述，根据图形，把已知条件与求证的结论写完整，最后进行证明。

FE D A 对角互补模型变式一、基本图形如图，点D 为△ABC 外一点，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长线于点E ，作AF ⊥CD 于点F .①AB ＝AC （可换为“点A 在线段BC 中垂线上”或“∠ABC ＝∠ACB ”）②∠BAC ＝∠BDC （可换为“∠ABD ＝∠ACD ”或“∠BAC ＋∠EDF ＝180°”） ③AD 平分∠EDF （可换为“∠ADC ＝90°－12∠BDC ”或“AE ＝AF ”）④CD －BD ＝2DE （可换为“CD －BD ＝2DF ”或“CD ＋BD ＝2BE ”或“CD ＋BD ＝2CF ”） ⑤∠ADC ＝∠ABC （可换为“∠BAD ＝∠BCD ”或“∠ADE ＝∠ACB ”） 结论如下：（1）若①②成立，则③④⑤成立； （2）若①③成立，则②④⑤成立；（3）若②③成立，则①④⑤成立；（4）若③④成立，则①②⑤成立； （5）若①④成立，则③④⑤成立； （6）若①⑤成立，则②③④成立. （7）若②④成立，则①③⑤成立； 注：（1）-（3）要熟知，（4）（5）（6）要会，（7）能懂即可，不要求掌握.二、应用举例 【例】1、（2015年武昌7校八上期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，则∠DBC ＝（ ） A .18° B .20° C .25° D .15°A BCD2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，E 在边AB 上，连接DE ，CE . （1）如图1，若AD ∥BC ，∠AED ＝∠ACD ，求证：DC ＝DE ； （2）如图2，若DC ＝DE ，∠CDE ＝∠BAC ，求证：AD ∥BC .图1图2EDCBAABCDE【练】1、在四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若∠ACD ＝∠ADC ＝α，∠ACB ＝∠ADB ，则∠CBD ＝__________.AD2、如图，点C 为△ABD 外一点，连接CA ，CD .（1）如图1，若∠B ＝∠C ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，请探究∠ADB 与∠BDC 的数量关系； （3）如图3，若AB ＝AC ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：∠B ＝∠C .图3图2图1ABDABD D BA【例】1、（2015武昌八上期末、2016洪山八上期中）已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上. （1）如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE ＋AD ； （2）如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE ＋BC .图1图2FE DC BAF ( )E DC BA2、如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上一点，D 为△ABC 外一点，连接DA 、DB 、DC . （1）过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长于点E ，若∠BDC ＝∠BAC ，BE ＝5，求BD ＋CD 的值； （2）若∠DAB ＝∠DCB ，∠BDC ＝60°，求证：AD ＋BD ＝CD .E AB DDA【练】1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB .DCBA2、（2015七一八上10月）如图，BD ＝CD . （1）如图，若AD 平分∠BAC 的外角，①求证：∠ABD ＝∠ACD ；②试探究∠BAD 与∠BCD 的关系并证明；（2）如图，若∠ADB ＝∠ACB ，求证：AD 平分∠BAC 的外角.EDC B AEDCB A【例】1、（2016年勤学早八上轴对称周练）如图1，A 是OB 的垂直平分线上一点，P 为y 轴上一点且∠OPB ＝∠OAB . （1）若∠AOB ＝60°，PB ＝4，求点P 坐标； （2）在（1）的条件下，求证：P A ＋PO ＝PB ；（3）如图2，若点A 是OB 的垂直平分线上一点，已知A （2，5），求PO ＋PB 的值.图2图12、如图，在平面直角坐标中，点A 、B 分别在x 轴负半轴和正半轴上，且关于y 轴对称，点C 在y 轴正半轴，连接AC ，BC ，BD . （1）若∠ACD ＝2∠ABD ，求证：AC ＝CD ；（2）在（1）的条件下，若点E 、F 分别在AC 的延长线和CB 的延长线上，且DE ＝DF ， 求CF －CE CO的值.【练】1、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1 ，0），点C 的坐标是(1，0)，点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，过D 作DM ⊥AC 于M . （1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；（2）若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；（3）当A 点运动时，AC －ABAM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A 、PB ，D 为AC 的中点.（1）如图1，设点P 运动时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等；（2）如图2，若P A ＝AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA ＝60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ ＋∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图1图2。

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

九年级上册·课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．21．1 二次根式题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题）解 原式=32)32()32(22==-．点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23）变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：＞32）变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数．21．2 二次根式的乘除题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15． 另法 原式=1525965027=⨯=⨯． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b aba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ；（2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310（2）59）因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式： 变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2． 若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题． 变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯．乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确．甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5．乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．21．3 二次根式的加减题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值： （1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题） 解 ∵ 13+=x ，13-=y ， ∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2． 于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222b a b ab a -++，（2）abb a -的值．解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ．变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求bba -的值． 解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a ba b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-，有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-b a b b a ．说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ，得22=-x x ，注意到x y 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+xx ，22224xx y x -=-，得变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）22.2 降次 —— 解一元二次方程题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2， 对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等．另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ，得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ．点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式． （2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2．表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-，且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-，即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3． 变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ，得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．22.3 实际问题与一元二次方程题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中 有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条 所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确 到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ．因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ．另法 如图，建立方程，得 203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致； （3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解； （5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位． 演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-）变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为)32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ．变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x 的取值范围．解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2+ 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10． 变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同． 解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？ （2）请你帮小亮求出图乙中的x ？ （3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对．（2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．23.1 图形的旋转题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题）解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD，∠BAD = 60︒．同理AE = AC ，∠EAC = 60︒．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60︒ 就得到△CAD ，∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形， ∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60︒，于是 ∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ． 从而有 △CAD ≌△EAB ， ∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，△EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？ 说明理由．（人教课本P 805题）说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得．本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外． （4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧，且D 点在BC 的延长线上． （5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC =∠CED ． 变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则 BE 与DC 有什么关系？24.1 圆题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ， ∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．B C D AE C B AED ACB E DC A B ED C B AE D AC B ED C B AE DB CDAF EGB CA ED（人教课本P 93例2）解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90︒．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．∵ CD 平分∠ACB ， ∴ AD ⌒=BD ⌒，于是AD = BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等 ⇔ 弦心距相等 ⇔ 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）． 演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2．变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E设为x ，于是x CE 2=，由BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与 三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ．解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC（同CD ⌒所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线，则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60︒，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60︒，∴ ∠ABC =∠APC = 60︒，因而△ABC 是等边三角形．变式6 （托勒密定理）AC · BD = AB · CD + AD · BC （见上图）．24.2 与圆有关的位置关系题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题）解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心）， ∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线． ∵ ∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，∴ ∠OBC = 25︒，∠OCB = 37.5︒，因此 ∠BOC = 180︒－25︒－37.5︒ = 117.5︒．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积．解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++．变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190．解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190．说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少．变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ，使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得△AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ． 在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ， 过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ， 因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线． （1）若∠A = 60︒，则∠O 为多少度？（2）若∠A = 90︒，120︒ 时，∠O 分别是多少度？ （3）求∠A 与∠O 的关系式．B C OAB C OA D BC OA DBC O A E AC解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180︒－2∠2，∠ACB = 180︒－2∠3． 在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180︒， ∴ ∠A + 180︒－2∠2 + 180︒－2∠3 = 180︒，即∠2 +∠3 = 90︒ + 12∠A ．在△BOC 中，∠2 +∠3 +∠O = 180︒， ∴ ∠O = 90︒－12∠A ．（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒．（2）当∠A = 90︒ 时，∠O = 90︒－12× 90︒ = 45︒．当∠A = 120︒ 时，∠O = 90︒－12× 120︒ = 30︒．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90︒． 24.3 正多边形与圆题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B ，C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180︒．表明正五角星中五个角的和为180︒．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中，有 ∠B +∠E = 180︒－∠BFE = 180︒－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180︒，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180︒． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒．说明 正五角星中每个角都是36︒．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星， 则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解， 五个角的和等于180︒，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？C B AD E FCB AD E C B AD E MN C BA D E解 都等于180︒．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180︒及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．24．4 弧长和扇形面积题目 如图，从一个直径是1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90︒ 的扇形，求被剪掉本P 1259题）解 连结BC ，因为扇形的圆心角为90︒，所以BC 过圆心O （即BC 是直径），于是在等腰直角三角形ABC 中，2222==BC AB ，扇形的面积为8412ππ=⋅AB ，扇形的弧长为 42241ππ=⋅⋅AB ，因此被剪掉的部分的面积为88)21(2π=-BC （m 2）．将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径r 满足 422ππ=r ，得82=r （m ）．点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求图形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积．演变变式1 求所围成的圆锥的高h 和体积V ．解 830)82()22(2222=-=-=r AB h ， 76830830)82(313122πππ=⋅=⋅=h r V ．变式2 如图，AC ，BD 是⊙O 中两条互相垂直的直径，以A 为圆心AB 为半径画弧BD ，求证：月牙形阴影部分的面积等于△ABD 的面积．解 设圆的半径为R ，则2221R R R S ABD =⋅⋅=∆．以A 为圆心，AD 为半径画出的扇形ABED 的面积2221360290R R S ππ==）（扇形，弓形BED 的面积为2221R R -π，所以月牙形阴影部分的面积等于2222)21(21R R R R =--ππ，即与△ABD 的面积相等．变式3 如图，从一个半径是r 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为α 的扇形，求扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径．解 连结OA ，OB ，OC ，则OA = OB = OC = r ，∠BOC = 2∠BAC ，OA 平分∠BAC ，即2α=∠O A B ，∠BOC = 2α．过O 作OD ⊥AB 于D ，则OD 平分AB ，于是AB = 2AD ．在Rt △ADO 中，2cos cos αr OAB OA AD =∠⋅=，∴ 2cos2αr AB =因此，扇形ABC 的面积为2cos 90360222απαπαr AB S =⋅⋅=扇形，BC 弧长为9023602rr παπα=⋅．∵ BC ⌒所对的圆心角为2α，∴ 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径r 1 满足2πr 1 =BC ⌒=90r πα，得1801r r πα=．25．1 概率题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为733=+变式2 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21 B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径 6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．25.2 用列举法求概率题目 在6张卡片上分别写有1－6的整数．随机地抽取一张放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P 154练习第1题）解 设第一次随机地取出的数字为a ，第二次随机地取出的数字为b ，则（b ，a ）共有365，1），（6，1），（2，2），（4，2），（6，2），（3，3），（6，3），（4，4），（5，5），（6，6），共14种．因此，所求的概率为1873614=． 点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把这两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果是有限多个，各结果发生的可能性相等．用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果个数n 及所求事件出现的结果个数m ；（3）利用公式计算所求事件A 的概率，即nm A P =)(． 列表或画树状图都可以清晰地、不重不漏的表示出某个事件发生的所有可能结果，从而很方便地求出某些事件发生的概率．当试验包含两步时，列表法比较方便，也可以用画树状图法；当试验在三步或三步以上时，用画树形图的方法方便．演变变式1 求第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率是多少？（答案：125） 变式2 把第一次取出的数字作分母，第二次取出的数字做分母，所求得分数是真分数的概率？（答案：3611） 变式3 求两次取出的数字和大于8的概率？（答案：185） 变式4 同时抛掷两枚均匀的正方体骰子．求：（1）掷得两个6的概率；（2）两枚骰子的点数之和为奇数的概率；（3）两枚骰子的点数之积为奇数的概率；（4）所得两个点数之和大于9的概率．（答案：（1）（2）（3）（4））变式5 已知关于x 的不等式ax －3＜0（其中a ≠0）．（1）当a = 2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；（2）在6张卡片上分别写有1－6的整数，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不等式没有．．正整数解的概率． （答案：（1）23<x ，在数轴上的表示略 （2）32） 变式6 小明和小颖做抽取卡片（6张卡片上分别写有1－6的整数）游戏，规则如下： ① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次各抽取1张卡片； ③ 如果同时抽取的1张卡片点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．（1）列出同时抽取的卡片数字所有可能出现的结果；（2）已知小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．（答案：（1）略 （2）同时抽取两张卡片，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足两张卡片点数和为5（记为事件A ）的结果有4种，即（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），所以小明获胜的概率为91364)(==A P ．满足两张卡片点数和为6（记为事件B ）的结果有5种，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），所以小颖获胜的概率为365)(=B P ．要想使自己获胜的概率比他们大，必须满足两张卡片点数和出现的结果多于5种，由所列表格可知，只有两张卡片点数和为7（记为事件C ）的结果多于5种，有6种，即（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），所以61366)(==C P ．因此，要想使自己获胜的概率比他们大，所选数字应为7．）变式7 A 箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B 箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5．现从A 箱、B 箱中各随机地取出1张卡片，请你用列表或画树状图的方法求：（1）取出的两张卡片数字恰好相同的概率；（2）如果取出A 箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B 箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．（答案：（1）91 （2）95）说明 由于两次取出来的数字互有较强的关系，所以可以据此编出有关这两次数字的加法、减法、乘法、除法、乘方、开平方、不等式、指数、对数，甚至函数的概率问题．。

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．1．如图，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状并证明你的结论．2．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DB ＝DC.求证：AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线．3．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，P 为弧AB 上异于A ，B 两点的一动点时，当△ABC 满足什么条件时，PA 能否平分∠BPC 的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．5．(1)如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 为∠BAC 的平分线，过D 作DE 垂直于AB 于E ，AE 与△ABC 的两边AB ，AC 有怎样的关系呢？(2)如图2，若AD 为△ABC 的外角∠CAG 的平分线时，AE 与△ABC 的两边AB ，AC又有怎样的关系呢？6．如图，平面直角坐标系中，O′为y 轴上一点，⊙O ′交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点．直线AE 交⊙O′于F 点，连接FC.过C 作CH 垂直AF 交其延长线于H.试问：当点F 在弧AC 上运动时，FB －FA 与FH 的比值是否为定值？并说明理由．7．如图，△ABC 的三个顶点均在⊙O 上，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交⊙O 于点D ，连接BD ，DC.(1)求证：BD ＝DC ＝DI ；(2)若⊙O 的半径为10 cm ，∠BAC ＝120°，求△BDC 的面积．参考答案例 证明：因为∠APC ＝∠ABC ，∠CPB ＝∠BAC ，又因为∠APC ＝∠CPB ＝60°.所以∠ABC ＝∠BAC ＝60°.于是∠ACB ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1.△ABC 是等腰三角形，理由：因为∠CPA ＝∠ABC ，四边形APBC 是圆内接四边形，所以∠EPA ＝∠ACB.因为∠EPA ＝∠CPA ，所以∠ACB ＝∠ABC.所以AB ＝AC.故△ABC 是等腰三角形．2.证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠DCB ＋∠DAB ＝180°.又∠DAE ＋∠DAB ＝180°，∴∠DCB ＝∠EAD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠EAD.∴AD 平分∠EAC.3.(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．(2)连接OB 、OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°.∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°. ∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4. 4.当AB ＝AC 时，PA 平分∠BPC 的外角∠CPE.理由：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵∠APE ＋∠APB ＝180°，∠ACB ＋∠APB ＝180°，∴∠APE ＝∠ACB.又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠APE ＝∠APC.即AB ＝AC 时，PA 平分∠BPC 的外角∠CPE.5.(1)AE ＝12(AB ＋AC)． 理由：在AB 上截取AF ＝AC ，连接BD 、CD 、FD.∵∠FAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△FAD ≌△CAD.于是FD ＝CD.又∵BD ＝CD ，∴FD ＝BD.在Rt △BDE 与Rt △FDE 中，DE ＝DE ，∴Rt △BDE ≌Rt △FDE.于是BE ＝FE.∵AE ＝AB －BE ，① AE ＝AF ＋FE.② ①＋②得2AE ＝AB ＋AC ，∴AE ＝12(AB ＋AC)． (2)当AD 为外角∠CAG 的平分线时，AE ＝12(AC －AB)． 理由：作DF ⊥AC 于点F.∵AD 为∠CAG 的平分线，DE ⊥AB ，所以DE ＝DF ，又∵∠DCB ＝∠GAD ＝∠DAC ＝∠DBC.∴DB ＝DC.∴△EBD ≌△FCD.∴BE ＝CF.易证△EAD ≌△FAD ，∴AE ＝AF.∴AC －AB ＝AF ＋CF －(BE －AE)＝AF ＋CF －BE ＋AE ＝2AE.即AE ＝12(AC －AB)． 6.过C 作CM 垂直FB 于M ，∵直径CD ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.于是AC ＝BC ，∴∠EFC ＝∠CBA ＝∠CAB ＝∠CFB.从而FC 为∠EFB 的平分线．∵CH ⊥FE ，CM ⊥FB ，∴CH ＝CM.又∵FC ＝FC ，∴Rt △CHF ≌Rt △CMF.∴FH ＝FM ，CH ＝CM ，于是△ACH ≌△BCM.∴AH ＝BM.从而FB －FA ＝(FM ＋MB)－(AH －HF)＝(MB －AH)＋(FM ＋FH)＝2FH.∴FB －FA 与FH 的比值是2.7.(1)证明：∵AI 平分∠BAC ，∵∠BAD ＝∠DAC ，∴BD ＝DC.∵BI 平分∠ABC ，∴∠ABI ＝∠CBI.∵∠BAD ＝∠DAC ，∠DBC ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝∠DBC.又∠DBI ＝∠DBC ＋∠CBI ，∠DIB ＝∠ABI ＋∠BAD ，∴∠DBI ＝∠DIB.∴△BDI 为等腰三角形．∴BD ＝ID ，∴BD ＝DC ＝DI.(2)∵∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝60°.∴∠DBC ＝∠DAC ＝60°.∵BD ＝DC ，∴△BDC 为等边三角形．过点D 作DH ⊥BC ，交BC 于H ，所以DH 过圆心，∠HDC ＝30°，∠HCO ＝30°.连接OC.则OH ＝12OC ＝12×10＝5(cm)．在Rt △OHC 中，利用勾股定理可得CH ＝CO 2－HO 2＝102－52＝53(cm)．由垂径定理可得BC ＝2CH ＝10 3 cm.∴S △BDC ＝1032×15＝753(cm 2)．答：△BDC 的面积为75 3 cm 2.。