下载文档原格式
第一章概率论的基本概念
§1.2 概率的定义
一、概率的性质
（1）1
P.
≤A
)
(
0≤
（2）0
)
P，1
φ
(=
P.
S
)
(=
（3）()()()()
P A B P A P B P AB.
⋃=+-
（4）)
A
P-
=.
P
(A
(
1
)
（5）)
B⊂，B
P
A
A
P-
-.特别地，若A
=
B
=
)
(
)
P
(
(
)
A
P
(AB
-，)
P-
(
=
P
A
P≥.
B
)
(A
(
B
(
)
)
)
P
A
P
(B
例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3
P A B
⋃=
P A P B A，则()_____.
=-=
解：,3.0
B
P
P
A
P()()()()0.7 B
)
-AB
)
(
=
(
)
-
(=
P A B P A P B P AB
⋃=+-=
§1.4 条件概率
一、 条件概率
定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P =)
()
(A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 二、全概率公式
全概率公式：12,,,L n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足： （1）12,,,L n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12⋃⋃⋃=L n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有
)
()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=
例 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20
1
,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？
解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是：
;20
19
)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321======
A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有：
112233()(|)()(|)()(|)()
=++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010
2
20191031514105109=⋅+⋅+⋅=
三、 贝叶斯公式
设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,L n A A A 为S 的一个事件组，且满足：（1）12,,,L n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>;
(2) 12⋃⋃⋃=L n A A A S . 则
)
()()()()()()()
()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++==
这个公式称为贝叶斯公式。
例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，
(1)问此球是红球的概率？
(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的
概率是多少？
解：设A 1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则⎺A 1表示
从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A 2：表示从乙袋取的一球是红球，则
81
41
94949595)()|()()|()(11121122=⨯+⨯=+=A P A A P A P A A P A P ）（
12112255()(|)99
(2) (|)41()
81
⨯
==P A P A A P A A P A .
§1.5 事件的独立性
一、 事件的独立性
定义. 若两事件A ，B 满足)()()(B P A P AB P =,则称A ，B 相互独立。
第二章 随机变量及其分布
§2.1 一维随机变量
一、 随机变量与分布函数
定义 设E 为一随机试验,S 为E 的样本空间,若()X X ω=,S
ω∈为
单值实函数，则称X 为随机变量。
定义 设X
为一个随机变量，x 为任意实数，称函数)()(x X P x F ≤=
分布函数的性质
（1） 1)(,0)(=+∞=-∞F F .
（2） )(x F 是自变量x 的非降函数，即当21x x <时，必有)()(21x F x F ≤.因为当21x x <时有0)()()(2112≥≤<=-x X x P x F x F ，从而)()(21x F x F ≤. （3） )(x F 对自变量x 右连续，即对任意实数x ，)()0(x F x F =+
X
x
