苏教版高中数学必修4第2章《平面向量》章末测试题(教师版)

高一数学必修4平面向量检测题-苏教版一. 选择题:1.当|a |=|b |≠0且a 与b 不共线时,a +b 与a -b 的关系是( ) A. 平行 B. 垂直 C. 模相等 D. 相等2. 已知向量a =(1,－2),b=(1,λ),若a 与b 夹角为锐角,则λ的取值X 围是 ( )A.λ<12B.λ<12且λ≠-2C.λ＞23D.λ＜233.已知m ,n ∈R,OA ,OB 为不共线向量,且OC ＝m OA +n OB ,若A 、B 、C 三点共线,则 ( )A.m+n =1B.m －n=1C.m +n =－1D.m 2+n 2=1 4.如图,已知AP =43AB ,用,OA OB 表示OP ,则OP = ( )A.13OA -43OBB. 13OA +43OBC. -13OA +43OBD.-13OA -43OB5. 已知平行四边形的三个顶点坐标 (4,2) , (5,7),(-3,4),则第四个顶点一定不是( ) A.(12,5) B.(-2,9) C.(-4,-1) D.(3,7)6.设向量a 、b 不共线,若k a +b 与a -3b 共线,则实数k 的值是( )A.-13B.-3C. 13 D.37.已知a 、b 都是单位向量,且它们的夹角为120︒,那么|a -2b |= ( )A. 3B.3C.7D. 7 8. 若|a |=2,|b |=2且(a -b )⊥a ,则a与b的夹角是( ) A.6πB.4π C.3πD.π125 9. 已知|a |=|b |=|c|=1,且a +b +c =0,则a ·b +b ·c +c ·a =( ) A.32B.12C.-12D.-3210. 已知ABC ∆内一点M,满足3CA CB CM +=,则M 是ABC ∆的A O P B( )A.内心B.外心C.重心D.垂心11. 已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为60 ,c =a +3b ,d =4a +k b ,若c ⊥d ,则k 的值为( )A.-1B.1C.7D.-712.设OA =(cosθ,sinθ),OB =(2+sinθ,2-cosθ),则|AB |的最大值是 ( )A.2B.3C.32D.2 3 二. 填空题13.向量a 、b 满足|a |=2,|a +b |=3,|a -b |=3,则|b |=. 14.已知a =(4,-3),|b |=10,且a //b ,则b 的坐标为.15.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),由AP AB AC λ=+确定的点P 位于第三象限,则λ的取值X 围是.16.已知a 、b 都是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是. 17.已知非零向量a 、b ,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).给出下列命题:①a ·b =0;②x 1y 1+x 2y 2=0;③x 1x 2+y 1y 2=0;④|a +b |=|a -b |;⑤a 2+b 2=(a -b )2.其中与“a ⊥b ”等价的有(将正确命题的序号全写上). 18.已知∆OAB 中,OA =a ,OB =b ,则∠AOB 平分线上的向量可以表示为. 三. 解答题:19. 在∆ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为AD,求D 点的坐标.20. 已知向量a=(1,2),b=(-2,n),a与b的夹角是45 .(1)求b;(2)若c与b同向,且(c-a)⊥a,求c.21.设a 、b 是两个不共线的非零向量(t ∈R)(1) 若a 与b 起点相同,三向量a 、t b 、13(a +b )的终点在同一直线上,求t 的值; (2) 若|a |=|b |,a 与b 夹角为60°,且|a －t b |取得最小值,求此时t 的值.22. 如图,已知∆ABC 中,点E 是AC 的中点,点D 是线段AB 的一个靠近A 的三等分点,DC 和BE 相交于O,设AB =a ,AC =b . (1) 用向量a 与b 表示向量BE 、CD ; (2) 若BO BE λ=,某某数λ的值.23.已知 a =(cosα,sinα),b =(12,32), 0<α<π. (1) 求证:(a +b )⊥(a -b );(2) 若k a +b 与a -k b 的模相等,且k ≠0,求2sin 2α+2sinαcosα1+tanα的值.参考答案AECBDO一.选择题:1.B.∵|a |=|b |,∴由向量加法的平行四边形法则知,以a 与b 为边的平行四边形为菱形,对角线垂直,即(a +b )⊥(a -b ).或者,(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0,得垂直关系.2.B.由a ·b =1-2λ>0,得λ<12.但当λ=-2时,a =b ,故λ<12且λ≠-2. 3.A.由,(1)AB OB OA AC OC OA m OA nOB =-=-=-+,∵A,B,C 共线,∴AB AC λ=,又OA 、OB 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1=λ(m -1)1=λn ,即m +n =1.4.C.414()333OP OA AP OA OB OA OA OB =+=+-=-+.5.D.∵AB DC =,∴(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 4-x 3,y 4-y 3),即x 4=x 2+x 3-x 1,y 4=y 2+y 3-y 1.所以平行四边形第四点的坐标是前三个点中任意两个点坐标的和减去第三个点的坐标.6.A.由共线定理易知,k =-13. 7.D.|a -2b |=a 2-4a ·b +4b 2=7.8.B.∵(a -b )⊥a ,∴a 2-a ·b =0,∴cos<a ,b >=a ·b |a||b |=22,故夹角为45︒.9.D.∵a +b +c =0,∴(a +b )2=c 2,即a 2+b 2+2a ·b =c 2,又|a |=|b |=|c|=1,∴a ·b =-12,同理b ·c =a ·c =-12.10.C. 由条件3CA CB CM +=得0MA MB MC ++=,∴M 为△ABC 的重心. 11.D.∵c ⊥d ,∴c ·d =0,即(a +3b )·(4a +k b )=0,4a 2+(12+k )a ·b +3k b 2=0,又|a |=2,|b |=1,a 与b的夹角为60 ,∴16+12+k +3k =0,解得k =-7.12.C.|AB |2=(2+sinθ-cosθ)2+(2-cosθ-sinθ)2=10-8cosθ,当cosθ=-1时有最大值3 2. 二.填空题13. 5.∵|a +b |2+|a -b |2=2a 2+2b 2,∴b 2=9-a 2=5.14.(8,-6)或(-8,6).∵a //b ,∴b =λa =λ(4,-3),又∵|b |=10,|a |=5,∴λ=±2.15.(-∞,-1).OP OA AP =+=(5+5λ,4+7λ),由P 点在第三象限,知⎩⎪⎨⎪⎧5+5λ<04+7λ<0,解得λ<-1.16.60︒.由条件知a 2=b 2=2a ·b ,∴cos<a ·b >=a ·b |a||b |=12. 17.①③④⑤.18.λ(a |a +b|b |) (λ为非零实数)三.解答题:19.解:设D 点坐标是(x ,y ),则AD =(x -2,y +1),BD =(x -3,y -2),BC =(-6,-3). ∵BD //BC ,∴3(x -3)=6(y -2),又AD ⊥BC ,∴6(x -2)+3(y +1)=0, 联立方程组,解得x =1,y =1. 故D 点坐标是(1,1). 20.解:(1)a ·b =2n -2,|a |=5,|b |=n 2+4,∴cos45︒=2n -25·n 2+4=22,即3n 2-16n -12=0(n >1),解得n =6,或n =-23(舍去), ∴b =(-2,6).(2)由(1)知, a ·b =10,|a |2=5,又c 与b 同向,所以可设c =λb (λ>0). ∵c -a 与a 垂直,∴(c -a )·a =0,即λa ·b -|a |2=0,∴λ=|a |2 a ·b =510=12,故c =12b =(-1,3). 21. 解:(1) 设a －t b =m [a －13(a +b )](m ∈R ),化简得(2m 3-1)a =(m3-t )b ,∵a 与b 不共线, ∴2310321032m m m t t ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩. ∴t =12时, a 、t b 、13(a +b )的终点在同一直线上.(2) |a －t b |2=(a －t b )2=|a |2+t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°=(1+t 2－t )|a |2,∴t =12时,|a －t b |有最小值.22.解:(1)∵1122AE AC ==b ,1133AD AB ==a ,∴BE AE AB =-=12b -a ,CD AD AC =-=13a -b .(2)若BO BE λ==12λb -λa ,则DO DB BO =+=23a +(12λb -λa )=(23-λ)a +12λb .∵//DO DC ,∴DO mDC =,即(23-λ)a +12λb =13m a -m b ,∵a 与b 不共线,∴⎩⎨⎧23-λ=13m12λ=-m,解得λ=45.23.解:(1)由条件知|a |=|b |=1.∴(a -b )·(a +b )=a 2-b 2=0,故(a -b )⊥(a +b ).(2)若k a +b 与a -k b 的模相等,则(k a +b )2=(a -k b )2, 即k 2a 2+2k a ·b +b 2=a 2-2k a ·b +k 2b 2, 化简得 4k a ·b =0.又∵k ≠0,∴a ·b =0,即12cosα+32sinα=0,∴tanα=-33.∵0<α<π,∴α=5π6.∴2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sinαcosα(sinα+cosα)cosα+sinα=2sinαcosα=-32 .。

平面向量测试题(06.7)一、选择(5分×7=35分)：1、下列命题正确的个数是 【 】①0AB BA +=u u u r u u u r r ； ②00AB ⋅=r u u u r r ； ③AB AC BC -=u u u r u u u r u u u r ； ④00AB ⋅=u u u rA 、1B 、2C 、3D 、4 2、若向量(1,1)a =r ,(1,1)b =-r ,(1,2)c =-r ,则c r 等于 【 】A 、1322a b -+r rB 、1322a b -r rC 、3122a b -r rD 、3122a b -+r r 3、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x = 【 】A 、－3B 、34-C 、0D 、34 4、下列命题中： ①若0a b ⋅=r r ,则0a =r r 或0b =r r ; ②若不平行的两个非零向量a r ,b r 满足a b =r r ,则()()0a b a b +⋅-=r r r r ; ③若a r 与b r 平行,则a b a b ⋅=⋅r r r r ； ④若a r ∥b r ,b r ∥c r ,则a r ∥c r ;其中真命题的个数是 【 】A 、1B 、2C 、3D 、45、已知a =r b =r 3a b ⋅=-r r ，则a r 与b r 的夹角是 【 】A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒6、若)()(),1,2(),4,3(x -⊥+-==且,则实数x= 【 】A 、23B 、223C 、323D 、4237、在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅ 【 】A 、6B 、4C 、-6D 、-4二、填充（5分×4=20分）：8、已知===x x 则,13,5(9、已知(2,4),(2,6)MA MB =-=u u u r u u u r ，则12AB =u u u r 10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝ 11、已知向量(6,2)a =r 与(3,)b k =-r 的夹角是钝角,则k 的取值范围是三、解答（共45分）：12、已知A （1，0），B （4，3），C （2，4），D （0，2），试证明四边形ABCD 是梯形。

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．若向量a ＝(3，m)，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为__________． 解析：由a ·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6. 答案：63．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与b 的夹角为60°，则|3a －b|＝__________.解析：由|3a －b|2＝9a 2－6a ·b ＋b 2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a －b|＝6 3. 答案：6 34．在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________． 解析：由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cosA ＝8，得cosA ＝12，所以A ＝60°，△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形．5．若A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝__________.解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线．所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →.又因为A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)，所以AB →＝(5,10)，AC →＝(6，x ＋2)，所以(5,10)＝k(6，x ＋2)．所以⎩⎨⎧5＝6k ，10＝k (x ＋2)，解得⎩⎨⎧k ＝56，x ＝10.答案：106．已知向量a ＝(6,2)与b ＝(－3，k)的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________．解析：因为a ，b 的夹角θ是钝角，所以－1＜cos θ＜0.又因为a ＝(6,2)，b ＝(－3，k)，所以cos θ＝a ·b |a||b|＝k －9109＋k 2，即－1＜k －9109＋k2＜0.解得k ＜9且k ≠－1.故所求k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．答案：(－∞，－1)∪(－1,9)7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________.解析：设向量a 的坐标为(m ，n)，则a ＋b ＝(m ＋2，n －1)，由题设，得⎩⎨⎧(m ＋2)2＋(n －1)2＝1，n －1＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝－1，n ＝1，或⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝1.∴a ＝(－1,1)或(－3,1)． 答案：(－1,1)或(－3,1)8．如图，半圆O 中AB 为其直径，C 为半圆上任一点，点P 为AB 的中垂线上任一点，且|CA →|＝4，|CB →|＝3，则AB →·CP →＝__________.解析：AB →·CP →＝AB →·(CO →＋OP →)＝AB →·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CA →＋CB →2＋0＝12(|CB →|2－|CA →|2)＝12(32－42)＝－72.答案：－729．给出下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a －b 必与a 或b 中之一的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a|e ；③a ·a ·a ＝|a|3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线，其中假命题有__________．解析：①命题中a －b 有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．答案：①②③④10．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝__________. 解析：n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2. 答案：211．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．解析：由于质点处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|2＝F 23＝[－(F 1＋F 2)]2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝22＋42＋2×2×4×12＝4＋16＋8＝28，所以F 3＝27.答案：2713．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于__________．解析：设a 、b 间的夹角为θ，则S △OAB ＝12|a||b|·sin θ＝12|a||b|·1－cos 2θ＝12|a||b|1－⎝⎛⎭⎪⎫a ·b |a||b|2＝12|a||b|·|a|2|b|2－(a ·b )2|a|2|b|2＝12|a|2|b|2－(a ·b )2. 答案：12|a|2|b|2－(a ·b )214．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n)，b ＝(p ，q)，令a ⊙b ＝mq －np.下面说法错误的是__________．①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa)⊙b ＝λ(a ⊙b)； ④(a ⊙b)2＋(a ·b)2＝|a|2|b|2.解析：若a ＝(m ，n)与b ＝(p ，q)共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，即①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，且b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，即②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn)，因此(λa)⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b)＝λ(mq －np)＝λmq －λnp ，即③正确．对于④，(a ⊙b)2＋(a ·b)2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq)2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a|2|b|2，即④正确．故选②.答案：②二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y)满足(d －c)∥(a ＋b)且|d －c|＝1，求d.解：(1)∵(a ＋kc)∥(2b －a)，且a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k)，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c)∥(a ＋b)且|d －c|＝1，∴⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255，或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋55，5＋255或d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－55，5－255. 16．(本小题满分14分)AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y)，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →. (1)求x 与y 的关系式；(2)若有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y)＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y)．又BC →∥DA →，BC →＝(x ，y)，∴x(2－y)－y(－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC →＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y)＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x ，y)＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)， 且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y)(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 化简得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6.于是有BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8. ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.同理y ＝－1时，x ＝2.于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． ∴|AC →|＝8，|BD →|＝4. ∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.即⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸B 处，求河的宽度d.解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．图2为船第二次运动速度合成图．设河水流速为v 水，船速为v 船， 由题意，得两次运动时间分别为t 1＝d |v 船|，t 2＝d|v 船|sin α. 沿河岸方向有BC ＝|v 水|t 1；由第二次垂直河岸，有|v 船|cos α＝|v 水|.将t 1＝10 min ，t 2＝12.5 min ，BC ＝120 m 代入以上各式，解得d ＝200 m. 所以河的宽度为200 m.18．(本小题满分16分)已知a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数k ，使ka ＋b 与a －2b 垂直？解：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ＋b ＝－c ，所以|a ＋b|＝|c|，所以(a ＋b)2＝|c|2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2，所以a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝152，所以cos θ＝a ·b |a||b|＝12，所以θ＝60°.(2)若存在实数k ，使ka ＋b 与a －2b 垂直，则(ka ＋b)·(a －2b)＝ka 2－2b 2－2ka ·b ＋a ·b ＝－6k －852＝0，解得k ＝－8512.所以存在实数k 使得ka ＋b 与a －2b 垂直．19．(本小题满分16分)以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，若B ＝90°，求点B 和AB →的坐标．解：设B(x ，y)，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B(x ，y)，A(5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2， ∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2， 即10x ＋4y ＝29.① 又∵OB →⊥AB →，∴OB →·AB →＝0，又∵OB →＝(x ，y)，AB →＝(x －5，y －2)，∴x(x －5)＋y(y －2)＝0，即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.②由①②组成方程组为⎩⎨⎧10x ＋4y ＝29，x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32.∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－72，32或AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72. 20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解：法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0， ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →) ＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2·cos θ.故当cos θ＝1即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.法二：以A为坐标原点，两直角边AB、AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系，如图．设|AB→|＝c，|AC→|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ→|＝2a，|BC→|＝a，设点P(x，y)，则Q(－x，－y)，∴BP→＝(x－c，y)，CQ→＝(－x，－y－b)，BC→＝(－c，b)，PQ→＝(－2x，－2y)．∴BP→·CQ→＝(x－c)·(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by＝－a2＋cx－by.∵cosθ＝PQ→·BC→|PQ→|·|BC→|＝cx－bya2，∴cx－by＝a2·cosθ，∴BP→·CQ→＝－a2＋a2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0(PQ→与BC→方向相同)时，BP→·CQ→最大，其最大值为0.。

其中正确的命题序号是。
2. 在水流速度为4 的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8 的速度航行，则船自身航行速度大小为____________ 。
3. 任给两个向量 和 ，则下列式子恒成立的有________________。
4. 若 ， 且 ，则四边形 的形状为________。
5．梯形 的顶点坐标为 ， ， 且 ， ，则点 的坐标为___________。
三、解答题
1．求与向量 ， 夹角相等的单位向量 的坐标．
2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和
3．设非零向量 ，满足 ，求证：
4．已知 ， ，其中 ．
(1)求证： 与 互相垂直；
(2)若 与 的长度相等，求 的值( 为非零的常数)．
[提高训练C组]
一、选择题
1．若三点 共线，则有（ ）
若 则 是钝角三角形 若 ，则 是直角三角形
若 ，则 是等腰三角形 若 ，则 是直角三角形 若 ，则△ABC是正三角形
二、解答题（本大题共6小题，共90分，请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知 且 ， ，
计算
16.设 、 、 分别是 的边 、 、 上的点，且
， ，若记 ， ，试用 ， 表示 、 、 。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 ∥ 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．