(修改)第七讲：从海岸线长度谈起——分形几何

分形谁创立了分形几何学？ 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点：1、从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

2、在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？康托尔三分集——最简单的分形在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成Koch曲线立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

对分形理论的综述一、分行理论产生的背景二、分形理论的概念三、分形理论的应用一、分型理论产生的背景长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型，把问题纳入可以解决的范畴。

线性近似方法在许多学科得到广泛的应用，解决了许多理论问题和实际问题，推动了各学科的发展。

但是，在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，如流体中的湍流、对流等等。

而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这是分形理论与线形近似处理本质上的区别。

从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学—分形几何学。

然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(chaos)现象的重要工具。

众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。

除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力。

从气象、生态，直到图形压缩、城市规划，在许多相距甚远的领域里，都发现了分形的概念与方法的用武之地。

人们惊奇地发现，分形现象在自然界是普遍地、大量地存在着。

分形概念的产生与发展，进一步拓宽了我们的视野，使人类的科学思想登上了一个新的台阶。

二、分形理论的概念分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。

当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。

从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。

例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。

它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。

通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。

例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。

分形学
分形学（Fractal Geometry）是一门研究分形（fractal）对象的几何学。

分形是一种复杂的几何形态，它们在局部和整体上具有自相似性，通常无法用传统的欧几里得几何（Euclidean geometry）来描述。

分形学的研究对象包括自然界中的许多不规则形状，如云彩、山脉、河流、海岸线等，以及人工设计的分形图案。

分形学的核心概念是自相似性（self-similarity）和分数维（fractional dimension）。

自相似性意味着分形对象在不同尺度上呈现出相似的形态，而分数维则是用来描述分形对象占据空间的方式，它们通常不是整数维，如零维的点、一维的线段、二维的平面或三维的立体。

分形学的基础是分形几何学，它由法国数学家伯纳德·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）在20世纪70年代提出。

曼德尔布罗特通过研究英国海岸线的长度发现，随着测量尺度的减小，海岸线的长度会无限增长，这种现象无法用传统的几何学来解释。

他提出了分形的概念，并定义了分形的维数。

分形学在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、地理学、环境科学、计算机科学、经济学等。

在计算机图形学中，分形学用于生成复杂的自然现象和纹理。

在金融学中，分形市场理论（fractal market hypothesis）用于解释股票市场等金融现象的不规则性和复杂性。

在地质学中，分形学用于分析地貌和地质结构。

在生物学中，分形学用于研究生物体的生长和形态。

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分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020分形几何与分形艺术作者：我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。

基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。

分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

一、分形几何与分形艺术什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。

什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

这些例子在我们的身边到处可见。

分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。

Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。

Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。

如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。

图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。

当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。

这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。

几何发展史组长：杨锦波高一13班组员：李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云指导老师：李朗庭英语摘要As a middle school student, has learned a good few years of the geometry. However, we geometric understanding of the historical status Have great deficiencies. We do not know its civilization What is the significance, I do not know why we should learn from this class (other That is to the college entrance examination! ), Let us look into its history!However, there are really some massive object, ` Therefore, we only research papers of the guidelines1、问题提出：作为一名中学生，已经学了好几年几何了。

可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。

我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。

2、研究目的：（三个有助于）（1）有助于对几何的总体的结构认识（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）3、研究方法：（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；（3）认真分析总结，写成论文.4、正文几何史研究杨锦波以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。

分形几何及其应用作者：朱志宝等来源：《价值工程》2012年第35期摘要：自然界中存在着很多结构复杂的图形，这些图形都是欧式几何学无法解释的，因此人们引出了分形的概念；用分形几何学的方法，比较简单地解决了对这些复杂的图形的认识；随着分形几何学的不断发展和完善，分形几何已经成功的应用到各种学科领域，并且取得了大量研究成果。

本文主要介绍了分形的定义以及阐述了分形在自然界、材料学、图像压缩技术、分形生长、岩土工程领域和石油工业等科学和技术方面的应用。

Abstract： There are a lot of complex graphics in nature which can't be explained by European geometry， so people introduced the concept of fractal. By using the fractal geometric method，these complex graphics can be easily to know. With the continuous development and perfect of fractal geometry， fractal geometry has been successfully applied to various disciplines， and lots of research results were presented.In this article， the definition of fractal introduced was described and the application of fractal in nature， materials science， image compression technology， fractal growth，geotechnical engineering fields and the application in the oil industry were elaborated.关键词：欧式几何；分形几何；自相似性；分形维数Key words： European geometry；fractal geometry；self-similarity；fractal dimension中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）35-0005-030 引言在我们的日常生活中一提到图形人们便会很自然的想到正方形、三角形、圆形等其它一些常见的图形，并且我们可以运用已有的工具去测量它们长度，进而可以得到我们所需要的面积、体积等数据。