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范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-成本最小化(圣才出品)

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第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。

Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。

这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。

假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。

2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。

Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。

3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。

该厂商的成本函数是什么？A firm has two plants with cost functions ()2111/2C y y =and ()222C y y =.What isthe cost function for the firm?解：厂商的成本最小化问题为：12212,0min 2y y y y ≥+12s t y y y+=.．从约束条件中解出2 y 的表达式，然后代入目标函数式中得到：12110min 2y y y y y ≤≤+-下面分情况讨论：（1）如果1y >，那么y 的最优值为1，此时的成本函数为()1/2c y y =-。

（2）如果1y ≤，那么1 y 的最优值为y ，此时的成本函数为()22y c y =。

4．一个厂商有两个车间。

一个车间根据生产函数112a a y x x -=来生产产出，另一个厂车间的生产函数是112b b y x x -=。

该技术的成本函数是什么？A firm has two plants.One plant produces output according to the production function 112a a x x -.The other plant has a production function 112b b x x -.What is the cost function for this technology?答：考虑柯布-道格拉斯技术的成本函数的成本最小化问题（以第一个车间的生产函数为例）：()121122,112,min ..x x a ac w y w x w x s t x x y -=+ =将上述问题转化为无约束问题：11111121min a aa x w x w yx---+一阶条件为：111112101a aa w w y x a----=-得到要素需求函数：()()()()1211,21221,21,,1,,1aaaw x w w y ya w aw x w w y ya w --⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将要素需求函数代入到目标函数中：()()()()()()1,21,11,22,21,21221,211221,,,,,,1111aaac w w y w x w w y w x w w y aw aw w y w y a w a w w aw ya a w Ay---=+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=其中，()22111aw aw A a a w -⎡⎤=⎢--⎢⎥⎣⎦。

因此第一个车间的成本函数为：()1c y Ay =，则第二个车间的成本函数为：()2c y By =，其中，()22111aw aw A a a w -⎡⎤=⎢--⎢⎥⎣⎦，()22111bw bw B b b w -⎡⎤=⎢--⎢⎥⎣⎦。

如果厂商采用成本最低的生产方法进行生产，则该厂商的生产成本函数为：()[]min ,c y y A B =即让平均成本低的工厂生产所有的产量。

5．假定厂商有两种可能的方式来生产产出。

方式a：使用1a 单位的物品1和2a 单位的物品2来生产1单位的产出。

方式b：使用1b 单位的物品1和2b 单位的物品2来生产1单位的产出。

要素只能以这些固定比例使用。

如果要素价格是()12,w w ，对这两种要素的需求是什么？该技术的成本函数是什么？对什么样的要素价格，成本函数是不可微的？Suppose that the firm has two possible activities to produce output.Activity a uses 1a units of good 1and 2a units of good 2to produce 1unit of output.Activity b uses 1b units of good 1and 2b units of good 2to produce 1unit of output.Factors can only be used in these fixed proportions.If the factor prices are()12,w w ,what are the demands for the two factors?What is the cost function for thistechnology?For what factor prices is the cost function not differentiable?答：生产函数为：方式a：()121212,min ,x x f x x a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭方式b：()121212,min ,x x f x x b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭用方式a 生产1单位产品的成本是()1122a w a w +，用方式b 生产1单位产品的成本是()1122b w b w +。

这样如果厂商计划生产y 单位的产量，那么它会使用成本较低的那种生产方式生产全部产品，从而厂商的成本函数为：(){}1211221122,,min ,c w w y y a w a w b w b w =++要素1的需求函数由下式给出：111221122111122112211a y a w a w b w b w x b ya w a wb w b w a y b y +<+⎧⎪=+>+⎨⎪⎩当当与之间的任意值其他要素2的需求函数由下式给出：211221122121122112222a y a w a w b w b w x b ya w a wb w b w a y b y +<+⎧⎪=+>+⎨⎪⎩当当与之间的任意值其他当11221122a w a w b w b w +=+时，成本函数将是不可微的。

6．一个厂商有两个车间，成本函数分别是()1114c y y =()2222y y =c 。

生产y 的产出，它的成本是多少？A firm has two plants with cost functions ()1114c y y =and ()2222y y =c .What is its cost of producing an output y?解：企业的成本最小化问题为：()()121122,1212min ..00y y c y c y s t y y y y y ++≥≥≥这个问题的拉格朗日函数为：()()()1122121122L c y c y y y y y y λμμ=+-+---这里 λ、1μ、2μ都是非负的。

库恩-塔克条件为：()1122121122201000y y y y y y y λμλμλμμ-=-=+-===下面分情况讨论：①最优解为内部解的情况：此时1μ、2μ都等于零，这就意味着：12210y y λ==>λ大于零又意味着12y y y +=，从而解得：15yy =，245y y =，()25c y y=②最优解为角解的情况：此时若1 0y =，那么：2y y =，()2c y y=可见角解优于内部解。

若2 0y =时，()42c y y y =>，故这种情况舍去。

综上可知，厂商的成本函数为：()2c y y=7．表4-1显示了对一个厂商的要素需求1x 、2x ，要素价格1w 、2w 和产出y 的两组观测值。

表中所描述的行为与成本最小化行为一致吗？Table 4-1shows two observations on factor demand 1x ,2x ,factor prices,1w ,2w ,and output,y for a firm.Is the behavior depicted in this table consistent withcost-minimizing behavior?表4-1要素的价格，投入数量和产出数量的关系。

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范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-技术(圣才出品)

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第二部分课后习题第1章技术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。

对或错？True or false ?If ()V y is a convex set,then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。

理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。

首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。

从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。

下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。

考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。

生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){}v y x x y =≥:是凸集。

2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology 11122()y a x a x ρρρ=+when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+-根据替代弹性的定义：()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =,what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为：()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-===第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x εis the elasticity of scale and ()i x εis the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。

范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)配套题库【章节题库(1-6章)】【圣才出品】

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术、管理水平等。令完全替代品的生产函数： f x，y ax by ，构造函数 q g f x，y ， 例如 q ax byk ， a x b yk k ax byk ，因此规模报酬取决于 k 。规模报酬可能递增、递减或不变。
2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时， 产量增加大于一倍 D．至少一种要素的边际产品递增
3．如果规模报酬不变，那么将任何一种要素的投入增加一倍，产量也会相应增加一倍。 （）
【答案】F 【解析】规模报酬不变意味着将所有生产要素的投入增加一定的倍数，产量也会增加相 同的倍数。
4．即便所有生产要素边际产品递减的情况下，规模报酬递增也是可能的。（ ） 【答案】T 【解析】生产要素边际产品递减规律是短期的概念，而规模报酬属于长期概念，两者没
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
x y 时，等产量线是垂直的；当 x y 时，等产量线是斜率为-1 的直线。
4．下列的说法中正确的是（ ）。 A．生产要素的边际技术替代率是规模报酬递减规律造成的 B．边际收益递减规律是规模报酬递减规律造成的 C．规模报酬递减是边际收益递减规律造成的 D．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的 【答案】D
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8．边际报酬递减规律决定了当一种投入要素连续增加时，它所带来的边际产量最终必 是递减的。（ ）
【答案】F 【解析】边际报酬递减规律仅适用于所有其他投入和技术水平都保持不变的情况下，若 技术水平和其他要素投入变动，边际产量不一定是递减的。
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)章节题库-需求(圣才出品)

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图 9-2 无差异曲线
（3）该消费者对商品 1 的需求函数为：
0
0, x1
x1
x1
x1,
m tp1 x1
/
1
t
p1
m tp1 x1 / 1 t p1
当p1 / p2 b / a 当p1 / p2 b / a
当p1 / p2 b / a 1 t p1 / p2 当b / a 1 t p1 / p2 当b / a 1 t p1 / p2
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D．对某种商品的需求取决于收入和那种商品本身的价格 【答案】D 【解析】在柯布-道格拉斯偏好下，消费者对两种商品的消费量与收入成正比与本身价 格成反比，且对一种商品的消费与另一种商品的价格无关。
2． x 是对商品 X 的需求量，则对商品 X 的反需求函数为（ ）。 A．把1/ x 作为一个价格和收入的函数 B．把对 X 的需求表示为1 / px 和收入的函数，其中 px 是商品 X 的价格 C．把对 X 的需求表示为1 / px 和1/ m 的函数，其中 m 是收入 D．以上都不对 【答案】D
X1 p2
X 2 p1
0 说明商品
1
的价格对商品
2
的需求无影响，而商品
2
的价格对
商品 1 的需求无影响，从而 X1 与 X 2 不可替换。
4．假定小明的效用函数具有如下形式： u x，y u x y ， x 代表一种离散商品的消
费数量， y 代表小明的其它消费。如果小明的消费行为是理性的，消费了 5 单位的商品 x ， 那么商品 x 此时的价格一定不大于第 5 单位商品的保留价格，不小于第 6 单位商品的保留价 格。（ ）
范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题-时间(圣才出品)

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第19章时间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。

证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19.Show that consumption in an arbitrary period t isgiven by证明：对数效用为：()11ln T t T t t U c c c α= =∑，…，（1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t t t t c s t c w α=== =∑∑∑（2）建立拉格朗日函数：111ln T T T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑（3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。

每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。

新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。

此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。

让我们在一个简单模型中分析这种说法。

假设公寓持续两个时期。

令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。

假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。

最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。

（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。

（d）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.”Each year landlords areallowed to increase their rents by 3/4of the rate of inflation.Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please.Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level,the supply of new housing will not be discouraged.Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2periods.Let r be the nominal rate of interest and πbe the rate of inflation.Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1will be p and the rent in period 2will be ()1p π＋.Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p .Finally,let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization,what must be the equilibrium relationship between the period 1rental pricep and the marginal cost of constructing a new apartment?（b）If the rent stabilization plan is adopted,what will this relationship have to be?（c）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of new apartments without rent stabilization.（d）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：求解均衡时的租金的价格可以得到：（b）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：（c）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。