2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题

北京市海淀区2020届高三数学上学期期中练习试题（无答案）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1。

已知集合{10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =,则实数a 的值可以为 A 。

2 B 。

1 C. 0 D. —2 2。

下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是 A. y x = B. 2y x = C. y x x = D. 1y x =- 3。

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =,且30a ≠,则43S S = A. 1 B. 53C. 83D. 34。

不等式11x >成立的一个充分不必要条件是 A. 102x << B 。

1x > C 。

01x << D 。

0x <5.如图,角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ,且点P 的横坐标为35,则sin()2πα+的值为 A 。

35- B 。

35 C 。

45- D. 456.在四边形ABCD 中，AB//CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈。

若32λμ+=,则=CD ABA 。

13 B 。

12C 。

1D 。

27。

已知函数32()2f x x x x k =+--。

若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立,则实数k 的取值范围是A. [1,)-+∞B. (,1]-∞- C 。

[0,)+∞ D. (,0]-∞8。

设集合A 是集合*N 的子集,对于*i N ∈，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ,使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ=且()1i A B ϕ=; ②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i N ∈都有()i A B ϕ=()i A ϕ()i B ϕ； ③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i N ∈都有()i A B ϕ=()+i A ϕ()i B ϕ 其中，所有正确结论的序号是A. ①② B 。

2020届北京海淀区一零一中学上学期高三开学考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}|21x A x =≥，{}2|1B y y x ==+，则U A B =I ð（ ）A ．{x |x ≤0}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x <1}D ．{x |0≤x <1}【答案】D【解析】先计算出集合U ,,A B B ð的结果，然后根据交集的概念即可计算出U A B ⋂ð的结果. 【详解】因为21x ≥，所以0x ≥，所以{}|0A x x =≥，又因为211y x =+≥，所以{}|1B y y =≥，所以{}U |1B y y =<ð，所以{}U |01A B x x =≤<I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集、补集混合运算，中间涉及到解指数不等式以及函数值域问题，难度较易.2．设i 是虚数单位，则复数i 221i-+的模为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据i 的性质以及复数的除法运算将221i i-+的表示为a bi +的形式，然后即可计算出复数的模. 【详解】因为()()()()22121112111i i i i i i i --=--=---=-+++-，所以221i i-=+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的模，难度较易.复数进行除法计算时，可依据分母实数化的方法完成求解；已知z a bi =+，则z =.3．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．()1ln1x f x x -=+ B ．()1cos f x x =- C ．()2xf x -=- D ．()ln f x x =【答案】B【解析】先判断函数的定义域，然后再根据()(),f x f x -之间的关系确定出函数的奇偶性. 【详解】A ．因为()1ln1x f x x -=+中101x x ->+，所以定义域为()(),11,-∞-+∞U 关于原点对称， 又因为()()111lnln ln 111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以是奇函数； B ．因为cos y x =是偶函数，所以()1cos f x x =-也是偶函数；C ．因为()2xf x -=-的定义域为R ，()()()2xf x f x f x -=-≠-≠，所以()f x 是非奇非偶函数；D ．因为()ln f x x =定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，难度较易.判断一个函数的奇偶性，首先观察定义域是否关于原点对称，其次才是讨论()(),f x f x -的关系.4．已知a r、b r都是单位向量，则“1λ=±”是“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据“1λ=±”与“(a +rb λr)⊥ (a b λ-rr)”的互相推出情况判断出对应的是何种条件即可. 【详解】当1λ=±时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以充分性满足，当()()a b a b λλ+⊥-r r r r 时，()()()210a b a b a b λλλ+⋅-=-⋅=r r r r r r ，所以210λ-=或a b ⊥r r，所以必要性不满足，所以是充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，难度较易.考虑p 是q 的何种条件时，要从两方面分析：充分性、必要性，同时注意是由小范围推出大范围.5．如图，表n 是(2n ﹣1)×(2n ﹣1)的方阵，最外层数字是n ﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（ ）A ．420B ．440C ．460D ．480【答案】B【解析】分析表的结构：由表1开始，每增加一层，表中数据增加的个数为8，16，32，......，由此即可计算出表6中的各数之和.【详解】因为每增加一层，表中数据增加的个数为：8，16，32，......，所以表6中数据之和为：()()()()018228338448558+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()22222812345855440=⨯++++=⨯=.故选：B. 【点睛】本题考查数与式中的归纳推理，难度一般.处理数与式中的归纳推理，关键是要能找到数或式子的特点，这对分析和归纳问题的能力要求很高. 6．狄利克雷函数为F (x )()10x x R x ⎧=∈⎨⎩，为有理数时，，为无理数时，.有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是[]0,1；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c ，使得△ABC 是等腰直角三角形，以上命题正确的是（ ） A ．①② B ．①③C ．③④D ．②④【答案】B【解析】①根据奇偶性定义和对称轴对应的表达式进行判断；②根据()F x 的取值得到值域；③根据周期性的定义进行分析；④先假设存在，然后推理证明是否存在. 【详解】①()F x 的定义域为R 关于原点对称，当x 为有理数时，()()1F x F x =-=，当x 为无理数时，()()0F x F x =-=，所以()()F x F x =-恒成立，所以()F x 是偶函数，取非零有理数a ，当x 为有理数时，()()F a x F a x +=-，当x 为无理数时，()()F a x F a x +=-，所以()()F a x F a x +=-恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 有无数条对称轴； ②因为()F x 的取值只有0,1，所以()F x 的值域为{}0,1；③取有理数()0a a >，当x 为有理数时，()()1F x F x a =+=，当x 为无理数时，()()0F x F x a =+=，所以()()F x F x a =+恒成立，a 有无数种可能，所以()F x 是周期函数且无最小正周期；④设存在()()()()()(),,,,,A a F a B b F b C c F c 满足条件，根据函数值域可知，,,a b c 的可能组合为：两个有理数一个无理数、两个无理数一个有理数，(1)不妨设,a b 为有理数，c 为无理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边， 所以2a bc +=，所以c 为有理数，与假设矛盾，故不成立； (2)不妨设,a b 为无理数，c 为有理数，因为ABC V 为等腰直角三角形，所以AB 只能为ABC V 的斜边，所以2a bc +=，所以c 为无理数，与假设矛盾，故不成立， 综上可知：不存在三点使得ABC V 为等腰直角三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，难度较难.处理新函数的性质问题，可从函数各个性质的定义入手解决问题；常见的函数对称轴对应的形式()()f a x f a x +=-，周期函数对应的形式()()()0f x T f x T +=≠. 7．已知y =f (x +2)是奇函数，若函数g (x )=f (x )12sin x --有k 个不同的零点，记为x 1，x 2，…，x k ，则x 1+x 2+…+x k =（ ） A ．0 B ．kC ．2kD ．4k【答案】C【解析】根据()f x 与sin12y x =-的对称性，判断出()g x 的对称性，由此即可计算出对应的零点之和. 【详解】因为()2y f x =+是奇函数，所以()f x 关于点()2,0成中心对称，又因为函数sin12y x =-也是关于点()2,0成中心对称， 所以()()sin12g x f x x =--的零点即为函数()f x 与sin12y x =-交点的横坐标，且交点关于点()2,0成中心对称， 所以12 (422)k kx x x k +++=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查函数对称性的应用，难度一般.(1)已知函数()y f x a =+是奇函数()y f x ⇔=关于点(),0a 成中心对称；(2)已知函数()y f x a =+是偶函数()y f x ⇔=关于直线x a = 对称.8．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz 声音的声强（约10﹣12W /m 2）为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L =lg 0I I ，声强级L 的单位名称为贝（尔），符号为B ，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB ）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB .一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ） A ．1万 B ．2万C ．5万D ．10万【答案】D【解析】根据题意以及条件列出关于张飞、士兵的声强的方程，求解出张飞、士兵的声强，根据声强之比确定出这群士兵的人数. 【详解】设张飞的声强为1I ，一个士兵的声强为2I ，根据题意可知：12121214010lg,9010lg 1010I I --==， 所以2110I =，3210I -=，所以51210I I =， 所以这群士兵的人数为10万. 故选：D. 【点睛】本题考查对数函数模型以及对数的计算，难度一般.能根据函数模型求解出声强的比是解答本题的关键.二、填空题9．已知菱形ABCD 的边长为1，∠B =60°，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则AF DE ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】38 【解析】将,AF DE u u u r u u u r 表示为x AD y AB +u u u r u u u r，然后利用向量的数量积计算公式即可求解出AF DE ⋅u u u r u u u r的值.【详解】因为12DE DA AE AD AB =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12AF AB BF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，且18060120BAD ∠=︒-︒=︒，所以22 11131 22242 AF DE AD AB AB AD AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+=--⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3311cos12048=-⨯⨯⨯︒=.故答案为：38.【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的运用以及向量的数量积运算，对于分析与转化计算的能力要求较高，难度较易.10．知函数y=A sin (ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|2π<)的部分图象如图所示，则φ的值为_____.【答案】6π-【解析】根据图象直接分析出,,A Bω的值，再根据图象的最高点以及ϕ的取值范围即可计算出ϕ的值.【详解】因为()()24243,122A B--+-====-，422233Tπππ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22142Tππωπ===，所以13sin12y xϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，代入点4,23π⎛⎫⎪⎝⎭，则23sin123πϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，所以2sin13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以22,32k k Zππϕπ+=+∈，,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以6πϕ=-.故答案为：6π-.【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式中的量，难度一般.对于()()sin ωφf x A x B =++的图象，若函数最大值为M ，最小值为N ，则有,22M NM NA B -+==. 11．关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，则a 的取值范围是__________． 【答案】(—4，0).【解析】试题分析：，因为关于x 的方程3230x x a --=有三个不同的实数解，所以有三个不同的实数解，，，令，则；令，则；，所以.【考点】三次函数的零点问题.12．已知函数()010x e x f x ln x x⎧<⎪=⎨>⎪⎩，，，则直线y =x +1与曲线()y f x =的交点个数为_____；若关于x 的方程()10f x x a e++=有三个不等实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】一个 ()1,0-【解析】（1）作出(),1f x y x =+的图象，根据图象的交点个数即可得到答案； （2）考虑()f x 的图象与1y x a e=--的图象有三个交点时对应的a 的取值范围. 【详解】（1）函数图象如图所示：（注意：x =0取不到）又因为xy e =在0x =处的切线为0y e x e =+，即为1y x =+，所以交点个数为1个；（2）关于x的方程()1f x x ae++=有三个不等实根⇔()f x的图象与1y x ae=--的图象有三个交点. 如图所示：当1y x ae=--与1lnyx=相切时，设切点为()00,lnx x-，所以11x e-=-，所以x e=，所以1lne a ee-⨯-=-，所以0a=，此时共两个交点，将1=-ye图象下移时只有有一个交点；将1=-ye图象上移时，有三个交点；直到当1a=-时，1=-ye的图象与()f x的图象刚好两个交点，当1=-ye图象上移时只有2个交点，故当10a-<<时，()f x的图象与1y x ae=--的图象有三个交点.故答案为：一个；()1,0-.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.注意()()()h x f x g x=-的零点个数⇔方程()()f xg x=的根的数目()(),f xg x⇔图象的交点个数.三、解答题13．已知数列{a n}是单调递减的等比数列，前n项和为S n，S2=3，a314=，则{a n}的公比q=_____.【答案】13【解析】先根据已知条件计算出等比数列的公比的可取值，再根据数列的单调性确定出公比的值.【详解】因为3321223a a S a a q q =+=+=，314a =， 所以211344q q +=，所以14q =-或13， 又因为{}n a 是递减数列，所以13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，着重考查了等比数列的单调性的分析，难度较易.分析等比数列的单调性，可从首项和公比的角度入手.14．已知函数f (x )=|lgx |，若f (a )=f (b )(a ≠b )，则函数()225020x x g x ax b x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，，的最小值为_____.【答案】【解析】根据条件先得到,a b 之间的关系，再分别判断()g x 在两段区间上的最小值，最后取其中的较小值作为()g x 的最小值. 【详解】因为lg lg a b =，所以不妨令a b <，则有lg lg a b -=， 所以1ab =，()101b a a=<<， 所以()(2302x x g x ax x ax ⎧++≤⎪=⎨⎪+>⎩，，，当0x ≤时，()(233g x x =+≥，取等号时x =当0x >时，()2g x ax ax =+≥=x =， 综上可知：()min g x =.故答案为：【点睛】本题考查函数与方程以及分段函数的最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.注意将含绝对值的对数值转化为自变量之间的关系.15．以数列{}n a 的任意相邻两项为坐标的点()1,n n n P a a +，均在一次函数y =2x +k 的图象上，数列{}n b 满足1n n n b a a +=-，且10b ≠.（1）求证数列{}n b 为等比数列，并求出数列{}n b 的公比；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为S n ，T n ，若S 6=T 4，S 5=﹣9，求k 的值. 【答案】（1）证明见解析，2；（2）8.【解析】(1)将点代入直线方程即可得到{}n a 的递推公式，再根据1n n n b a a +=-即可得到1,n n b b +的关系，即可证明{}n b 为等比数列并求解通项公式；(2)先根据条件求解出,n n S T 的表达式，再根据已知条件即可计算出k 的值. 【详解】（1）证明：根据题目条件，可知a n +1=2a n +k ， 整理可得a n +1+k =2（a n +k ）； ∵b n =a n +1﹣a n =a n +k ；∴有b n +1=2b n ，即数列{b n }是首项为a 1+k ，公比为2的等比数列. （2）解：数列{b n }的前n 项和()()()()11122112n n na k T a k +-==-+-；∴数列{a n }的前n 项和()()121nn n S T nk a k nk =-=-+-；∵S 6=T 4，S 5=﹣9；∴可列方程组()()()()()()641151216212159a k k a k a k k ⎧-+-=-+⎪⎨-+-=-⎪⎩，解得178a k =-⎧⎨=⎩；∴8k =. 【点睛】本题考查等比数列的证明以及数列求和的应用，难度一般.等差、等比数列的证明可根据定义完成；形如()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的递推公式，可变形为形如111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭的递推公式.16．已知函数()22sin2xf x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.【答案】（1）2π，22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）0，23π，2π.【解析】(1)利用降幂公式以及辅助角公式将()f x 变形为()sin A x ωϕ+，再根据最小正周期和单调增区间的求解公式完成求解；(2)令()0f x =，求解出[]0,2π内满足条件的x 即可. 【详解】（1）()()22sin1cos 2sin 126x f x x x x x π⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭. 221T ππ∴==， 由22,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈.解得：222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈. ∴函数()f x 单调递增区间为：22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）令2sin 106x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴2,66x k k Z πππ+=+∈或52,66x k k Z πππ+=+∈. 可得：函数()f x 在[]0,2π内的所有零点为：0，23π，2π.【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，难度较易.求解函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间，可根据sin y x =的单调区间，采用整体替换的方法求解出x ωϕ+中的x 范围即为()()sin f x A x =+ωϕ的单调区间.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()21cos 2cos A B C ++=.（1）若2a =，求sin A 的值；（2）求22sin sin A B +的取值范围. 【答案】（1）34；（2）33,42⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】(1)先根据条件计算出C 的值，然后利用正弦定理即可求解出sin A 的值； (2)利用降幂公式以及辅助角公式化简22sin sin A B +，将其化简为()cos A x b ωϕ++的形式，然后根据角度计算出取值范围即可. 【详解】（1）∵()21cos 2cos A B C ++=，∴21cos 2cos C C -=，解得cos 1C =-或12， ∵()0,C π∈， ∴1cos 2C =，可得3C π=，∵2a =，∴由正弦定理可得2sin 2n A C ==，解得3sin 4A =；（2）∵3C π=，A B C π++=，∴()221cos 21cos 21sin sin 1cos 2cos 2222A B A B A B --+=+=-+121111cos 2cos 21cos 221cos 22322223A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1cos 21,32A π⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∴22133sin sin 1cos 2,2342A B A π⎛⎫⎛⎤+=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，着重考查转化与计算能力，难度一般.(1)正弦定理的运用，一定要注意是在满足齐次的条件之下；(2)解三角形时注意对于隐含条件的使用：A B C π++=.18．已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数. （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程； （2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-.【解析】(1)利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； (2)根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+， 则()11f x x'=-+， 所以()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，所以切线方程为()()101y x --=-，即1y =-. （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值.当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增， 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增， 若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a <-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则2a e =-.（3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1xg x x =-，（0x >）()21'lnxg x x -+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减， 在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e e==-， 所以11a e≤-. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，难度一般.(1)含参函数在区间上的最值分析，注意根据参数的范围进行分类讨论；(2)已知不等式恒成立，求解参数范围的两种方法：分类讨论法、参变分离法.19．已知函数247(),[0,1]2x f x x x-=∈-（1）求()f x 的单调区间和值域；(2) 设1a ≥，函数22()32g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值．【答案】(1) 增区间为1(,1)2，减区间为1(0,)2，值域为[4,3]--；(2) 3[1,]2【解析】【详解】（1）对函数f(x)求导，得2224167(21)(27)'()(2)(2)x x x x f x x x -+---==-- 令f¢(x)=0解得112x =或272x =，当x 变化时，f¢(x)、f(x)的变化情况如下表：（表略）所以，当1(0,)2x ∈时，f(x)是减函数；当1(,1)2x ∈时，f(x)是增函数；当[0,1]x ∈时，f(x)的值域为【-4,-3】（2）对函数g(x)求导，得22'()3()g x x a =-因此1a ≥，当[0,1]x ∈时，22'()3(1)0g x a <-≤因此当[0,1]x ∈时，g(x)为减函数，从而当[0,1]x ∈时有()[(1),(0)]g x g g ∈ 又2(1)123,(0)2g a a g a =--=-，即当[0,1]x ∈时有2()[123,2]g x a a a ∈--- 任给[0,1]x ∈，1()[4,3]f x ∈--，存在[0,1]x ∈使得10()()f x g x =，则[4,3]--⊆2[123,2]a a a ---，即21234{23a a a --≤--≥-解(1)式得1a ≥或53a ≤- 解(2)式得32a ≤又1a ≥，故：a 的取值范围为312a ≥≥ 20．设S 为有限集合，1A ，2A ，…，2019A 为S 的子集，X 表示集合X 中元素的个数，已知对于每个正整数()12019i i ≤≤，都有15i A S ≥. （1）记()m S 为元素个数为m 的集合，当3m =时，求集合()m S 的所有子集的个数； （2）若一定有集合S 中的某个元素在至少k 个集合i A 中出现，则k 最大值是多少？并加以证明.【答案】（1）8；（2）404，证明见解析.【解析】(1)根据集合中的元素个数即可计算出集合的子集个数； (2)先假设元素在集合中的出现的次数之间的不等关系，然后根据15i A S ≥即可得到元素出现次数满足的不等式，即可求解出k 的最大值. 【详解】（1）()33S = 有3个元素，所以有328=个子集；（2）不妨设{}1,2,3,...,S n =，而i 在集合1A ，2A ，…，2019A 中出现了i a 次，并且12...n a a a ≤≤≤.因为121220192019 (5)n n na a a a A A A n ≥+++=+++≥，所以整数n a 的最小值为404，所以max 404k ≥.令5n =，{}12404...1A A A ====，{}405406808...2A A A ====， {}8098101212...3A A A ====，{}121312141616...4A A A ====， {}161716182019...5A A A ====，则404k =.综上，k 的最大值为404. 【点睛】本题考查集合的子集个数以及集合中的元素个数的判断，主要考查分析与推理的能力，难度较难.一个含n 个元素的集合，其子集个数为2n .。

( 1 ）若全集U=R, A=(xlx<l}, B=(xlx>-1｝，则
(A) A 巨B
(B) B旦A
(C) B 旦 Cu
(D) CuA 豆B
(2 ）下列函数中，值域为［ 0, + oc ）且为偶函数的是
(A) y=x2
(B)y=lx-11
( C) y=cosx
(D)y=lnx
( 3 ）若抛物线y2: 12x 的焦点为 F，点 P在此抛物线上且横坐标为 3，则 IPFI 等于
(D) -cos2x
高三年级（数学） 第1页（共6页）
(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,
那么该三棱锥的体积为 (A)t ( C) 2
1 (B)
(D)4
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高三年级（数学） 第2页（共6页）
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( 8）对于非零向量 a, b，“ （ a+b)·a=2矿 ” 是 “a=b” 的

北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学2020.6 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

( 1）若全集U= R, A = {x I x< 1} , B = (x I x ＞一1｝，则(A)A<;;B(B)Bt;;A( C)B <;; CuA ( 2）下列函数中，值域为［0, + 00 ）且为偶函数的是(A) y=x2 (B)y=lx-11( C)y=cosx ( D)CuA <;;B (D)y=lnx( 3 ）若抛物线y2= 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则I PFI等于(A)4( B)6( C) 8( D)10(4）已知三条不同的直线I,m, n和两个不同的平面α，F，下列四个命题中正确的为(A）若m Hα，n Hα，则m II n(B ）若I II m, meα，则I I Iα (C）若I IIα，111 p，则αIIP(D）若I IIα，11..p，则α.1..p( 5）在！：：：.ABC中，若a=1,b=8，叫＝牛则LA的大小为(A）号(B)*(C）号(D）亏(6）将函数f(x）＝血（2x-f）的图象向左刊号个单位长度，得到函数g(x）的图象，则g(x)=(A)sin ( 2x＋号）( C)cos2x ( B)sin ( 2x ＋子）( D)-cos2x．，．．l，．．． ‘．， ．．、，’．白．．‘．，．，－ ．． ‘，，．a ‘‘’－－－－－－－－－．－－‘－－． ，，e ’（．a L ．．． ι’’－．俨’ ．．………又＼一图……一…．‘．’j j i g －－j e－－！ －J j e － －J j a － －…＼…一左…………：：l i t i －－； ．．． ，－a a －－－－’ －－－－E ’’－ －－··a 句脚’7··｜’；l e i －－d a ”’－E ．． 、怡、，－J ；’jl ；l － J I ；1 －j z ；！ ；I J I 丁，人（：1万，」视→、a x a ’…·视→………／一主一＼……俯丁··；，．：J e －－e ·－－－ ’’’－－－－－ －－－－－－－－ ’’’’也’’’－r －a ，，．． e g－－ ．．，．．，‘‘，，．． ，‘(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,(B)1(D )4那么该三棱锥的体积为(A)t ( C )2( 8）对于非零向量a,b ，“（a+b)·a =2矿”是“a =b ”的(B ）必要而不充分条件(A）充分而不必要条件( D）既不充分也不必要条件(C）充分必要条件(9）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点。