2020年高二下学期期中考试数学(理)试卷

数学（理科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

１．答第I卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上．

２．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合}31|{},06|{2xxNxxxM，则NM( )

A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[

2.已知△ABC中，“4A”是“22sinA”的（）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.在复平面内,复数i32i15对应的点位于（ ）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.设变量yx,满足约束条件002052xyxyx,则目标函数yxz32的最大值为( )

A.10 B. 9 C.8 D. 4

5.已知是等差数列的前项和,若,,则6S( )

A.40 B.80 C.36 D.57

6.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为() 精品 文档 欢迎下载

2

A. 325 B. 61 C. 165 D.以上都不对

7.己知抛物线xy42的焦点为F,准线为l.若l与双曲线)0,0(12222babyax的两条渐近线分别交于点A和点B,且||32||OFAB(O为原点),则双曲线的离心率为( )

A.3 B. 2 C. 2 D. 5

8.设随机变量)9,1(~NX，且)1(0(aXPXP），则实数a的值为（ ）

A.2 B. 3 C. 4 D. 5

9.已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,xx，都有2112120xfxxfxxx，记33fa，1bf，22fc，则( )

A．acb B. abc C. cba D. bca

10.在等比数列na中，若2534aa，234594aaaa，则23451111aaaa

( )

A.1 B. 34 C. 3 D. 13

11.已知12,FF为椭圆2222:10xyCabab的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段1PF的中垂线恰好经过焦点2F，则椭圆C离心率的取值范围是( ) 精品

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3 A．

1,13B．12,32C．2,13D．10,3

12.已知函数2ln2,0()3,02xxxxfxxxx的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y对称的点在21ykx的图像上,则实数的取值范围是（ ）

A.)83,41( B. )21,41( C. )21,61( D. )1,41(

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；

2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知函数xxxf2ln)(,则不等式2)3(2xf的解集为_______.

14.已知1x，则函数521xxyx的最小值为________.

15.已知aR，命题:1,2Px，30xa.命题2:,220qxRxaxa，若命题pq 为真命题，则实数a的取值范围是________________.

16.设函数)(),(xgxf分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xxgxf2)()(,若对]2,21[x,不等式0)2()(xgxaf恒成立,则实数a的取值范围是__________.

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

17.已知，在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且AbBacos3sin．

(1)求角A的大小；

(2)设ABC的面积为33，求a的取值范围．

18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,. 精品 文档 欢迎下载

4

(1)求点到平面的距离；

(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.

19.已知椭圆)0(1:2222babyaxC的左.右焦点分别为32||,,2121FFFF，直线l与椭圆C交于BA,两点,且4||||21AFAF

(1)求椭圆C的方程；

(2)若BA,两点关于原点O的对称点分别为BA,,且90AOB,判断四边形BAAB是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.

20.某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

（1）完成以下22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

吸收量(mg) 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 精品

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5 株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

吸收足量 吸收不足量 合计

植株存活 1

植株死亡

合计 20

（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望E；

②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求D.

2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828PKkk≥

参考数据：

22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd

21.已知函数xxaaxxfln)2()(2.

(1)若函数)(xf在1x时取得极值,求实数a的值；

(2)当10a时,求)(xf零点的个数.

选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程

22.在平面直角坐标系xoy中,曲线1C的参数方程为tytx442(其中为参数).以坐标原点O为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C的极坐标方程为015sin82.

(1)求曲线1C的方程普通方程和2C的直角坐标方程; 精品

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6 (2)过圆2C的圆心2C,倾斜角为4的直线l与曲线1C交于BA,两点,则||||22BCAC的值.

23.已知|12||1|)(xxxf.

(1)求不等式0)(xf的解集；

(2)若Rx,不等式32)(axxf恒成立,求实数a的取值范围.

高二数学（理科）试卷参考答案

一.选择题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B A D B D C C B A C A B

二．填空题

13. )2,3()3,2( 14. 9 15. 12aa或 16. [2,)-2

三.解答题：

17.解：（1）sin=3cosaBbA．由正弦定理可得：sinsin=3sincosABBA，

又sin0B，可得：tan3A，又(0,)A，所以3A．........6分

（2）因为3A，ABC的面积为1333sin24bcAbc，解得12bc......8分

由余弦定理可得：22222cos223abcbcAbcbcbcbcbc，

当且仅当23bc时等号成立．

综上，边a的取值范围为[23,)．...........12分

18.取CD中点O,连OMOB,,则CDOMCDOB,,

又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,........1分

以O为原点,直线OMBOOC,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图, 精品

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7 3OMOB,则各点坐标分别为)0,0,0(O,)0,0,1(C,)3,0,0(M,)0,3,0(B,)32,3,0(A,2分

(1)设),,(zyxn是平面MBC的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(BMBC,

由BCn得03yx;由BMn得033zy,..........4分

取)1,1,3(n,则距离5152||||nnBAd..............6分

(2))32,3,1(),3,0,1(CACM,,

设平面的法向量为),,(1111zyxn,

由CMn1得0311zx;由CAn1得0323111zyx,......9分

取)1,1,3(1n,又平面BCD的法向量为)1,0,0(n,

则51||||,cos111nnnnnn,.....11分

设所求二面角为,则552cos1sin2......12分

19. (1)因为32||21FF,所以3c,.因为直线l与椭圆C交于,两点,且12||4||AFAF,所以12||||4AFAF,所以24a,解得2a,所以2221bac,

所以椭圆的方程为1422yx......4分

(2)①当直线l的斜率k存在时,设1122:,(,),(,)lykxmAxyBxy由2214ykxmxy