福建省福州市市屏东中学、擢英中学2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）班级______姓名______成绩______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）A.4B.6C.8D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()229x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()1,2--8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（ ）A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）.A. B.1D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:52:33:53:22y ax bx c =++y x x1-y m()1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT3512()1,A a (),2B b -a b +=x 20x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根.19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，（1）在图1中，求证：；（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？图1 图221.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接.8cm 10cm cm πx 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：是的切线.22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.（1）求直径的长；（2）若.23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24.（本小题12分）问题背景：如图1，已知，求证：；尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，求的长.PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD图1 图2图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为.（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22024-2025学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案A D C B C B C A CD二、填空题（本大题共24分，每小题4分）11.112.13.314.15.16.①③④三、解答题（共8小题，满分86分）17.（1）解：.，，，22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2240x x --=1a = 2b =-4c =-.，即，（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在图2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：补全图形如图所示：()()2242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()3242x x x -=--()()32420x x x -+-=()()3420x x +-=340x +=20x -=12x ∴=243x =-()()()22223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=（2）解：证明：连接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半径，是的切线.22.（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠，，..，，，即...（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..为的直径，，，，...23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在点为原点，点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，90BAD ︒∴∠=11904522BAC DAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒OB OD=90COD ︒∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522BDC COD ︒︒︒∴∠=-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160a b a b +=⎧⎨+=⎩解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.24.证明：问题背景：，，，，，，.尝试应用：如图（2），连接，，，，，，，，，，，，，，，182a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128y x x =-+16OM = ()16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=21992072582232y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE∴=43AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43AB BD AC CE ==设，，，，，，，，，，拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3，，，又，，，又，，即，，，，，，∴4BD x =3CE x =54CDx ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12EC DC = 31542x x ∴=-12x ∴=32EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC∴==12CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =，，，（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，，解得，，顶点；（2）方法一：如图1，抛物线，令，，或，.设的解析式为，将点，代入，得，解得，..设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=-++∴()1,4D 223y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩13k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++23y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩.把代入，得，..，即.解得或.点是上方抛物线上的点，（舍去）.点，，，，，；方法二：图1如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）则22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()2222223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1G EF ==FG ==112EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△（3）如图2，过点作于，点，，.点，点，，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，..设点.过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.若在和中，，，.A AN HB ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩35245x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭12AN y x b =+()1,0-12b =1122y x ∴=+112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩11585x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△...或或（舍去）.，，.OP OS OB OP∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴=n =3n =()10,3P∴2P3P。

福建省福州市屏东中学2021 2021学年度九年级上学期中考数学试卷(福建省福州市屏东中学2021-2021学年度九年级上学期中考数学试卷(福州市平东中学2022-2022中学数学试卷学年第三天第一学期第ⅰ卷一、多项选择题：（本题共有10个子题，每个子题4分，共40分）1.将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“96”旋旋转180°以获得数字（）a.96b.69c.66d.992.下列说法中，正确的是（）a、随机事件的概率为0.5B不可避免事件的概率为1C小概率事件为不可能事件。

D.相等的内部交错角是确定性事件3.关于x的一元二次方程x2?4x?k?0有两个相等的实数根，则k的值为（）a.-4b.-2c.2d.44.如图所示，四边形ABCD内部连接到⊙ O并连接到ob和OD。

如果∠ BCD=120°，即∠ 生化需氧量是（）a.60°b.90°c.120°d.150°问题4问题6问题7 5众所周知，点a（x1，Y1）和点B（X2，Y2）是反比例函数y？？那么下面的话必须是正确的（）a.y1＜0＜y2b.y1＜y2＜0c.y2＜0＜y1d.0＜y1＜y26.如图所示，在△ ABC，点D是ab一侧的点。

如果∠ ACD=∠ B、 ad=1，AC=3，面积△ ADC是1,则△abc的面积为()a、 9b。

8c。

3d。

二7.如图，将△abc绕点a逆时针旋转得到△ade，点c和点e是对应点，若∠cae=90°，BD=2，则AB的长度为（）a.1b.2c.2d.22如果X1>0>X2，则图像上有2个点，X1a8.如图，a≠0,函数y=x与y=?ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是()a、不列颠哥伦比亚省。

29.已知方程式x2？3倍？4.如果0的解是X1=1，X2=-4，那么方程（2x？3）？3（2x？3）？4.0的解是（）a、 x1=-1，x2=-3.5b。

福州屏东中学2018-2019学年第二学期开学考试卷九年级数学（完卷120分钟 满分150分）姓名： 得分：_____________________一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分，每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.） 1.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A.51025.0-⨯ B.5105.2-⨯ C.6105.2-⨯ D.7105.2-⨯ 2.下列调查中,适宜采用普查方式的是( )A. 了解一批圆珠笔的寿命B. 了解全国九年级学生身高的现状C. 考察人们保护海洋的意识D. 检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 3.将直尺和三角板按如图的样子叠放在一起,则∠1+∠2的度数是（ ） A.45B.60C.90D.1804.如图,数轴上有M,N,P,Q四个点,其中点P 所表示的数为a,则数−3a 所对应的点可能是( )A. MB. NC. PD. Q 5.反比例函数xky =的图象如图所示,则k 的值可能是（）A.-1B.12C.1D.2第3题 第5题 第8题6.命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0,必有实数解.”是假命题.则在下列选项中,可以作为反例的是( ) A. b=−3B. b=−2C. b=−1D. b=27.“五⋅一”黄金周,巴中人民商场“女装部”推出“全部服装八折”,男装部推出“全装八五折”的优惠活动,某顾客在女装部购买了原价x 元,男装部购买了原价为y 元服装各一套,优惠前需付700元,而他实际付款580元,则可列方程组为( )A. ⎩⎨⎧=+=+70085.08.0580y x y xB. ⎩⎨⎧=+=+5808.085.0700y x y xC. ⎩⎨⎧=+=+58085.08.0700y x y xD.⎩⎨⎧-=+=+58070085.08.0700y x y x8.如图,是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体,若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后,余下几何体与原几何体的主视图相同,则取走的正方体是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④9.已知甲、乙两个函数图象上部分点的横坐标x 与对应的纵坐标y 分别如表所示，两个函数图象仅有一个交点，则交点的纵坐标y 是（ ） 甲x 1 2 3 4 y123乙x -2 2 4 6 y234A. 0B. 1C. 2D. 310.如图,正方形ABCD 的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH 的长为( )A.538B.22C.514D.210-二、填空题（本大题空6小题，每题4分，共24分.把答案填在答题卡的相应位置） 11.因式分解：x x 362-= __________。

福建省福州屏东中学2024-2025学年上学期十月适应性练习 九年级数学一、单选题1．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．对于一元二次方程2210x x --=，根的判别式24b ac -中的b 表示的数是（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．13．如图，在△ABC 中，∠C =20°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE ，AE 与BC 交于点F ，则∠AFB 的度数是（ ）A ．60oB ．70oC ．80oD ．90o4．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积之比等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5 D5．下列说法，正确的是（ ）A ．优弧大于劣弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．直径所对圆周角是直角6．勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O 旋转一定角度α后能与自身重合，则该角度α可以为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．已知实数1x ，2x 满足127x x +=，1212x x =，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ） A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --=8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，图象上有两点分别为()2.18,0.51A -，()2.68,0.54B ，则关于x 的方程()()2110a x b x c ++++=的一个解只可能是（ ）A ．1.59B ．2.68C ．3.45D ．3.729．如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB 为10，轮子的吃水深度CD 为3，则该桨轮船的轮子半径为（ ）A ．343B ．173C ．83D ．610．已知关于x 的二次函数()212y x a x a =-+--+，当1x >-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．1a ≥-C ．3a ≤D ．3a ≥二、填空题11．若3x =是关于x 的方程26x mx +=的解，则m 的值为．12．在平面直角坐标系中，点(2,6)关于原点对称的点的坐标是．13．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE V ，点C 和点E 是对应点，若1AB =，则BD =．14．如图，ABC V 内接于O e ，CD 是O e 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=︒．15．某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次所打折扣相同，则这件商品每次打折．16．如图，AB 为O 'e 的直径，弦CD AB ⊥于点O ，分别以AB ，CD 所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线y x =O 'e 交于点A ，E ，若O 'e 的半径为5，则弦AE 的长为．三、解答题17．解方程：(1)230x x -=；(2)()428x x x -=-．18．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且满足∠ACD =∠ABC ，若AC =2，AD =1，求DB 的长.19．已知关于x 的一元二次方程()222110x m x m -++-=有实数根，求m 的取值范围．20．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中的x ，y 的部分对应值如下表．(1)请你根据上述信息求出该二次函数的解析式；(2)关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为______．21．如图，圆内接四边形ABDC ，AB 是O e 的直径，OD AC ∥交BC 于点E ．(1)求证：BD CD =；(2)若2BE =，4AC =，求DE 的长．22．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q 为顶点，其高为6米，宽OP 为12米．以点O 为原点，OP 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)求出该抛物线的函数表达式；(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的消防车辆？请通过计算说明．23．已知：如图，在ABC V 中，60BAC ∠=︒，把ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到DEC V ，点A 的对应点为点D ．(1)求作DEC V ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE ，若6AB =，8AC =，求AE 的长．24．在平面直角坐标系中，抛物线()2210y ax ax a a =-+-≠．(1)若抛物线经过点()1,5-，求a 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，设点()1,S s y ，()2,T t y 是抛物线上两个不同点，且2s t +=，求12y y +的取值范围．25．九年级数学小组以“等腰直角三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．【提出问题】如图1，ABC V 和BDE V 都是等腰直角三角形，90ACB BDE ∠=∠=︒，连接CD 、AE ，通过探究得到AE 、CD 存在某种数量关系，具体探究过程如下：【探究问题】（1）将图1“特殊化”，如图2所示，当点D 在BC 的延长线上，请直接写出此时AE 、CD 数量的关系为______．【解决问题】（2）将问题“一般化”，如图1所示，在探索中发现，将BDE V 绕点B 旋转过程中，AE 、CD 数量的关系始终不发生变化，请你利用图1帮助小组完成解答过程；【扩展应用】（3）如图3，ABC V 和BPM △均为等腰直角三角形，90ACB BPM ∠=∠=︒，AC BC =P 在AC 上，试问：MA MB +是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．。