2015年全国高中数学联赛陕西省预赛一试一、填空题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知集合,若集合,则集合中元素的个数是2.已知函数,则3.已知,则4.在三棱锥中,,则直线与所成的角的大小为5.如图,以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的一个焦点,且与轴交于两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率是6.设为的外心,且满足,则7.在中,,则的最小值是8.某人抛掷一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率都是,构造数列,使,记,则且的概率是(用最间分数作答)9.若正整数满足,则的值为10.设单调递增数列的各项均为正整数,且,则二试二、本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分15分)设等比数列的前项和为,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个实数,,使这个数依次组成公差为组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:12(本小题满分15分)设的三内角所对的边分别为,且满足(Ⅰ)求证:为直角三角形;(Ⅱ)若,求面积的最大值.13(本小题满分15分)如图,设为锐角的垂心,过点且垂直于的直线交于点,过点且垂直于的直线交于点,,过点且垂直于的直线交直线于点,求证:14(本小题满分15分)如图,,在直角坐标系中,圆与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆与圆交于两点.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)设是圆上异于的任意一点,直线与轴分别交于点,求的最大值(其中分别表示的面积)15(本小题满分20分)已知函数.(Ⅰ)若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)证明:对任意,有.16(本小题满分20分)设表示不超过实数的最大整数,已知求和:。
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设��=�2+푎�+�在0,1中有两个实数根,则푎2−2�的取值范围为.2．【2017年江苏预赛】设�、�是实数,则2�+2�2�4+4�4+9的最大值是.3．【2016年陕西预赛】设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.4．【2016年陕西预赛】设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f (x )+g (x )=2x .若对x ∈[1，2]，不等式af (x )+g (2x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_______.5．【2016年陕西预赛】设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______.6．【2016年福建预赛】设f (x )为定义在R 上的函数，若f (0)=1008，且对任意的x ∈R ，满足f (x +4)-f (x )≤2(x +1)，f (x +12)-f (x )≥6(x +5).则�(2016)2016=_________.7．【2016年福建预赛】当x 、y 、z 为正数时，4� +� �2+�2+ 2的最大值为________.8．【2016年新疆预赛】已知�、�>0,且�+2�=2.则�22�+4�2�的最小值为______.9．【2016年山西预赛】设n 为正整数，使3介于�+3�与�+4�+1之间．则n ＝__________.10．【2016年全国】设实数a 满足푎<9푎3−11푎<푎.则a 的取值范围是________.11．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足�−�+1≥0,�+1≥0,�+�+1≤0.则2x-y 的最大值为________.12．【2016年吉林预赛】设实数x 、y 满足�−�+1≥0,�+1≥0,�+�+1≤0.则2x-y 的最大值为________.13．【2016年浙江预赛】已知푎、�、�为互不相等的整数。
2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析一、填空题（每小题分，共分）、若的值域为，那么的取值范围是．答案：．解：由值域，，，.、四面体中，是一个正三角形，，，，则到面的距离为．答案：．解：如图，据题意得，，于是，，因，得，从而以为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积，而，若设到面的距离为，则，由，得到．、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是．答案：．解：由，得，当时取等号．、已知是正方形内切圆上的一点，记，则．答案：．解：如图建立直角坐标系，设圆方程为，则正方形顶点坐标为，若点的坐标为，于是直线的斜率分别为，，所以，，由此立得．解2：取特例，在坐标轴上，则，这时，，、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是．答案：．解：将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数，这种数有个．、设为锐角，则函数的最大值是．答案：．解：由，得，所以．当时取得等号．、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是．答案：．例如，排出的一个数列为．解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．记这个连续正整数的集合为，由于，则中必有，而，所以，当时，从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段：，但它们不能连接成一个项的数列，故应增加后续的数，增加可使得第一段扩充成，增加可使得第二段扩充成，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即，而之前的数若与邻接，只有，这三段扩充为，，，仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形：．二、解答题（共分）、（分）如图，是椭圆的一条直径，过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于另一点，交椭圆短轴所在直线于，证明：．证1：椭圆方程为，点的坐标为，则直线方程为，……代入椭圆方程得到，，，……因此，……又据∥，则点坐标为：，，……因为在椭圆上，则，而，，因此．……证2：易知的斜率存在，不妨令，与椭圆方程联系，解得……, ……方程为：.将方程与椭圆方程联立，得…………，…、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为．证明：、三点共线；、四点共圆．证：1、延长到，延长到,连，为旁心，平分，……又关于对称，平分,,、、三点共线。
2015 年福建省高中数学比赛暨 2015 年全国高中数学联赛（福建省赛区）初赛试卷参照答案（考试时间： 2015 年 5 月 24 日上午 9： 00－11：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每题 6 分，满分 60 分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．设会合 Ax 4 ，，从会合 A 中随机抽取一个元素 x2x，记x ，则随机x Zx3变量 的数学希望 E。
【答案】 5【解答】 A 4， 3， 2， 1，0，1，2 ，随机变量的取值为 0，1，4，9，16。
易得，的概率散布列为14916P1 2 2 1 177 777∴ E11242911615 。
7 7 7 7 72．已知 f ( x) x g (x) ，此中 g( x) 是定义在 R 上，最小正周期为 2 的函数。
若 f ( x) 在区间 2，4 上的最大值为 1，则 f ( x) 在区间 10 ，12 上的最大值为。
【答案】 9【解答】 依题意，有 f (x 2) ( x 2) g(x 2) x g ( x) 2f ( x) 2 。
∵f ( x) 在区间 2 ，4 上的最大值为 1，∴ f ( x) 在区间 4 ，6 上的最大值为 3，在区间 6 ，8 上的最大值为 5，在区间 8 ，10 上的最大值为 7，在区间 10，12 上的最大值为 9。
3． F 1 、 F 2 为椭圆 C ：x 2y 2 1（ a b 0 ）的左、右焦点，若椭圆 C 上存在一点 P ，使a 2b 2得 PF 1 PF 2 ，则椭圆离心率 e 的取值范围为。
【答案】2 ，2 1【解答】 设 A 为椭圆 C 的上极点，依题意有F 1 AF 2 90 。
F 2 AO 45 ， c1 。
c2a 2c 2 ， c 21 ， 2∴2e 1。
ba224．已知实数 x ， y ， z 知足 x 22 y 2 3z 2 24 ，则 x 2y 3z 的最小值为。
