下载文档原格式
20XX 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是．解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0．……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分 所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ．……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2，①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得x 1＋x 2＝12[k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）一、（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数，证明：可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-，使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 二、（本题满分40分）设{}12,,,n S A A A =，其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合（2n ≥），满足对任意的,i j A A S ∈，均有ij A A S ∈，若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明：存在1ni i x A =∈，使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. 三、（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明：2ABC FCB ∠=∠.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n ，(1)12k n -+不整除()!!kn n .P。
2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分 40 分）如图，E 、F 分别是△ABC ，△ACD 的内心，AC 平分∠BAD ，AC 2＝AB ·AD ，延长 EC 交 △CDF 的外接圆于点 K ，延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R ．若 RK ∥EF ，求证：点 A 是△BCD 的外心．RK 证明：如图，连接 ER ，FK ．因为∠BAC ＝∠CAD ，AC 2＝AB ·AD ， 所以△ABC ∽△ADC ，∠ABC ＝∠ACD ．又∠EBC ＝1∠ABC ，∠ACF 1ACD ，2 所以∠EBC ＝∠ACF .＝2∠ 由∠EBC ＝∠ERC 得，∠ERC ＝∠ACF ，所以 ER ∥AC ． K同理 FK ∥AC ，于是 ER ∥FK ． ………………………… 20 又因为 RK ∥EF ，所以四边形 EFKR 为平行四边形，从而 ER ＝FK ． 因为 ER ∥AC ，所以∠REC ＝∠ECA ＝∠ECB ． 又因为∠EBC ＝∠ERC ，EC ＝EC ， 所以△BEC ≌△ECR ，从而 BC ＝ER ． 同理，CD ＝FK ，所以 BC ＝CD ．AC AD CD由AB ＝AC ＝BC ＝1，得△ABC ≌△ADC ，于是 AB ＝AC ＝AD ，即 A 为△BCD 外接圆的外心． ..................................... 40 分≤ n ＋23( 3 )33求所有的正整数 n ，使得对于任意正实数 a 、b 、c 满足 a ＋b ＋c ＝1，有 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1． 3解：（1）当 n ≥3 时，取 a 2 b ＝c 1＝3， ＝6， 则 abc (a n ＋b n ＋c n ) 1 (2n －1 11 1 ＞ ．所以 n ≥3 不满足题意． 3n ＋3 ＋2n ＋2n3n ＋2………………………… 10 分（2） 当 n ＝1 时，abc (a ＋b ＋c )＝abc ≤ a ＋b ＋c 3≤ 1，所以n ＝1 时，满足题意．………………………… 20 分（3） 当 n ＝2 时，原不等式也成立．令 x ＝ab ＋bc ＋ca ，则 a 2＋b 2＋c 2＝1－2x ， 由(ab ＋bc ＋ca )2≥3abc (a ＋b ＋c )，得3abc ≤x 2． 于是，abc (a 2＋b 2＋c 2)≤1x 2(1－2x )． 因此 0＜x 1 1 2 －2x ) 1x ＋x ＋1－2x 3 1＜2，从而3x (1 ≤3×( 3) ＝34． 即 abc (a 2＋b 2＋c 2) 1 2 －2x ) 1 ………………………… 40 分 ≤3x (1 ≤34．＝ )设n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组〈a，b，c〉的个数：（1）ab＝n；（2）1≤c≤b；（3）a、b、c 的最大公约数为1．解：用(a，b，c)表示a、b、c 的最大公约数．令S n＝{〈a，b，c〉| a、b、c 为正整数，ab＝n，1≤c≤b，(a，b，c)＝1}，记S n中元素的个数为f(n) (n∈N*)．显然f(1)＝1．①如果n＝pα，其中p 为素数，α≥1．设〈a，b，c〉∈S n，若b＝1，则a＝pα，c＝1；若b＝p t，1≤t≤α－1，则a＝pα－t，(c，p)＝1，1≤c≤b；若b＝pα，则a＝1，1≤c≤b．因此，f(pα)＝1 α－1t＋pα＝pα－1＋pα．(这里φ(x)为Euler 函数)．＋∑φ(p )t=1……………………………… 20 分②下证：如果m，n 为互素的正整数，那么f(mn)＝f(m)·f(n)．首先，对每个〈a，b，c〉∈S mn．由于ab＝mn．令b1＝(b，n)，b2＝(b，m)，那么(b1，b2)＝1，再令a1＝(a，n)，a2＝(a，m)，那么(a1，a2)＝1，而且a1b1＝n，a2b2＝m．因为1＝(a，b，c)＝(a1a2，b1b2，c)＝((a1a2，b1b2)，c)＝((a1，a2)·(b1，b2)，c)．那么(a1，b1，c)＝1，(a2，b2，c)＝1，令c i≡c(mod b i)，1≤c i≤b i，i＝1，2．那么(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c2)＝1，因此，〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．……………………………… 30 分其次，若〈a1，b1，c1〉∈S n，〈a2，b2，c2〉∈S m．令a＝a1a2，b＝b1b2．由于(m，n)＝1，从而(b1，b2)＝1．⎧c≡c1 (mod b1)由中国剩余定理，存在唯一的整数c，1≤c≤b，满足⎨．⎩c≡c2 (mod b2)……………………………… 40 分显然(a1，b1，c)＝(a1，b1，c1)＝1，(a2，b2，c)＝(a2，b2，c2)＝1，从而(a，b，c)＝((a，b)，c)＝((a1，b1)(a2，b2)，c)＝(a1，b1，c) (a2，b2，c)＝1．因此，〈a，b，c〉∈S mn．所以，f(mn)＝f(m)·f(n)．利用①②可知，f(n)＝nΠ(1＋1 )． .................................. 50 分p|np设 a 、b 、c 、d 、e 为正实数，且 a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝2．若 5 个正三角形的面积分别为 a 2， b 2，c 2，d 2，e 2．求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC ． 证明：不妨设 a ≥b ≥c ≥d ≥e ＞0．若 a ≥1，则面积为 a 2 的三角形可覆盖△ABC ． ..................... 10 分若 a ＜1，则必有 b ＋c ＞1，这是因为当 c 1 b ≥c ，则 b ＋c ＞1；当 c 1＞2时，由于 又 a ＜1，则 b 2＝2－a 2－c 2－d 2－e 2＞1－3c 2≥(1－c )2，≤2时，所以 b ＋c ＞1，从而 a ＋c ＞1，a ＋b ＞1． .......................... 20 分用面积为 a 2，b 2，c 2 的三个三角形覆盖的△ABC ，使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合，且有两条边在△ABC 的两条边上．于是，这三个三角形两两相交．若这三个三角形能覆盖△ABC ，则结论成立．否则有(a ＋b －1)＋(b ＋c －1)＋(c ＋a －1)＜1，得 2－a －b －c ＞0．……………………………… 30 分令中间不能被 a 2，b 2，c 2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2， 则 f 2＝1－(a 2＋b 2＋c 2)＋(a ＋b －1)2＋(b ＋c －1)2＋(c ＋a －1)2＝(2－a －b －c )2，得 f ＝2－a －b －c ． .............................................. 40 分下证：d ≥f ．若 d 1 1 1＞2，由 a ≥b ≥c ≥d ≥2，则 f ＝2－a －b －c ＜2，从而 d ＞f ．若 d 1 2 2 2 2 2 2≤2，由 a 、b 、c ＜1，有 d ≥2d ≥d ＋e ＝2－a －b －c ＞2－a －b －c ＝f ． 所以，面积为 d 2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a 2，b 2，c 2 覆盖的部分．……………………………… 50 分。
2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围是2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为7：设P 为椭圆13422=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 则1≥+j i OA OA 的概率为 二、解答题9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得c a ki i<∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值范围10：（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值11：（本题满分20分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，存在经过点F的一条直线l 交椭圆于B A ,两点，使得OB OA ⊥，求该椭圆的离心率的取值范围（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有：21)()()()()()(222222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件 2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，设I 为其内心，设D 为ABC ∆内的一个点，满足D C B I ,,,四点共圆，过点C 作BD 的平行线，与AD 的延长线交于E 求证：CE BD CD ⋅=23：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组)2015,,)(,,(>c b a c b a 满足：1,1,1++-ab c ac b bc a4：（本题满分50分）给定正整数)2(,n m n m ≤≤，设m a a a ,,,21⋅⋅⋅是n ,,2,1⋅⋅⋅中任取m 个互不相同的数构成的一个排列，如果存在{}m k ,,2,1⋅⋅⋅∈使得k a k +为奇数，或者存在整数 )1(,m l k l k ≤<≤，使得l k a a >，则称m a a a ,,,21⋅⋅⋅是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。
