函数解析式求法总结及练习题

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[()]()()ffxafxbaaxbbaxabb

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法.
它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:
已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。

例1 设)(xf就是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf.

解:设baxxf)()0(a,则
342baba, 





3212bab
a

　或
.

32)(12)(xxfxxf 或
.

二、配凑法:已知复合函数[()]fgx的表达式,求()fx的解析式,[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时,常
用配凑法.但要注意所求函数()fx的定义域不就是原复合函数的定义域,而就是()gx的值域.
例2 已知221)1(xxxxf )0(x ,求 ()fx的解析式.
解:2)1()1(2xxxxf, 21xx, 2)(2xxf )2(x.
三、换元法:已知复合函数[()]fgx的表达式时,还可以用换元法求()fx的解析式.用来处理不知道所求函数的类型,
且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域
的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知xxxf2)1(,求)1(xf. 解:令1xt,则1t,2)1(tx . Qxxxf2)1(, ,1)1(2)1()(22ttttf 1)(2xxf )1(x, xxxxf21)1()1(22 )0(x. 四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知:函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称,求)(xg的解析式. 解:设),(yxM为)(xgy上任一点,且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点. 则 3222yyxx,解得:yyxx64 ,点),(yxM在)(xgy上 , xxy2. 把yyxx64代入得:)4()4(62xxy. 整理得672xxy, 67)(2xxxg. 五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式. 例5 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf. 解 xxfxf)1(2)( ① 显然,0x将x换成x1,得:xxfxf1)(2)1( ② 解① ②联立的方程组,得:xxxf323)(. 例6 设)(xf为偶函数,)(xg为奇函数,又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式 解 )()(),()(xgxgxfxf,又11)()(xxgxf ① ,用x替换x得:11)()(xxgxf,即11)()(xxgxf② ,解① ②联立的方程组,得11)(2xxf,xxxg21)( 小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、1()fx;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。
六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、
简单化,从而求得解析式.

例7 已知:1)0(f,对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,求)(xf.

解Q对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,
不妨令0x,则有1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf.
再令 xy 得函数解析式为:1)(2xxxf.
例5:已知(0)1,()()(21),ffabfabab求()fx。
解析:令0,a则2()(0)(1)1fbfbbbb 令bx 则2()1fxxx
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小结:①所给函数方程含有2个变量时,可对这2个变量交替用特殊值代入,或使这2个变量相等代入,再用已知条件,可求
出未知的函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式,可使问题具体化、简单化,
从而顺利地找出规律,求出函数的解析式。
七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得
函数解析式.

例8 设)(xf就是定义在N上的函数,满足1)1(f,对任意的N ba, 都有abbafbfaf)()()(,

求)(xf
解 Nbaabbafbfaf,)()()(，,不妨令1,bxa,得:xxffxf)1()1()(,
又1)()1(,1)1(xxfxff故 ①
令①式中的x＝1,2,…,n－1得:(2)(1)2(3)(2)3()(1)fffffnfnnLL，，，
将上述各式相加得:nfnf32)1()(,2)1(321)(nnnnf ,


Nxxxxf,2121)(
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三、练习
(一)换元法1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式、 2.若xxxf1)1(,求)(xf、

(二).配变量法3.已知221)1(xxxxf, 求)(xf的解析式、 4.若xxxf2)1(,求)(xf、
(三).待定系数法5.设)(xf就是一元二次函数, )(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,
求)(xf与)(xg、
6.设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求
)(xf
的表达式、

(四).解方程组法 7.设函数)(xf就是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,
求)(xf的解析式、
8.(1)若xxxfxf1)1()(,求)(xf、 (2)若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x)、
(五).特殊值代入法9.若)()()(yfxfyxf,且2)1(f,求值

)2004()2005()3()4()2()3()1()2(fffffff
f

、

10.已知:1)0(f,对于任意实数x、y,等式)12()()(yxyxfyxf恒成立,求)(xf
(六).利用给定的特性求解析式、
11.设)(xf就是偶函数,当x＞0时, xexexf2)(,求当x＜0时,)(xf的表达式、

12.对x∈R, )(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时, xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表
达式、
例6、已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf)12()()(成立,且0)1(f。(1)求
)0(f

的值;(2)求)(xf的解析式。
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练 习

求函数的解析式
例1.已知f (x)= 22xx,求f (1x)的解析式. ( 代入法 / 拼凑法 )
变式1.已知f (x)= 21x, 求f (2x)的解析式.
变式2.已知f (x+1)＝223xx,求f (x)的解析式.
例2.若f [ f (x)]＝4x＋3,求一次函数f (x)的解析式. ( 待定系数法 ) 变式1.已知f (x)就是二次函数,且211244fxfxxx,求f (x). 例3.已知f (x)2 f (－x)＝x ,求函数f (x)的解析式. ( 消去法/ 方程组法 ) 变式1.已知2 f (x) f (x)＝x＋1 ,求函数f (x)的解析式. 变式2.已知2 f (x)f 1x＝3x ,求函数f (x)的解析式. 例4.设对任意数x,y均有222233fxyfyxxyyxy, 求f(x)的解析式. ( 赋值法 / 特殊值法) 变式1.已知对一切x,y∈R,21fxyfxxyy都成立,且f(0)=1, 求f(x)的解析式.