求函数解析式的四种常用方法ppt课件

４、解函数方程组法： 例６、已知3 f ( x ) 2 f ( ) x 求 f ( x)
3f 解：由 3 f 1
1 x ( x 0)
，
( x) 2 f ( ) x x 1 1
( ) 2 f ( x) x x 3x 2 ( x 0) 解得 f ( x ) 5 5x
f (1 1 x ) 1 x
2
1
换元法 （1）解：令 1 则
1 x
1 x t
t 1 且 t 1
2 2
f ( t ) ( t 1) 1 t 2 t
即 f ( x) x 2 x
2
( x 1)
例2、已知 f ( 4xห้องสมุดไป่ตู้+ 1 ) =
解：设 t = 4x + 1
4 即 f (t ) 16 (
f (x)
4x 6 16 x
2
1
，求 f (x)
则x
t 1 4
t1
6

2
4 t1
t5 ( t 1) 1
2
) 1
4 x5
( x 1) 1
2
2、配变量法： 例3、求出函数的解析式：
f (x 1 x ) x
2
1 x
即
即
2 y 4 x
1 4x
y x2
1 x4
1 x4
故 g ( x)
x2
( x 4)
练习
1 若 f x 2 2若f (
x
2
x
1 求 f
x
x ) x求 f
x
3 已 知

y E
C A
F O
D
B x
19
解：（1）B（10，0），D（5，3）
（2）设抛物线的函数解析式为 y ax2c(a 0)
由题意可得：
y
100a c 0
25a c 3
C
A
解得：
O
a
1 25
c 4
∴抛物线的函数解析式为：
y
1
x2 4
25
D B x
20
(3)解:∵抛物线的函数解析式
为：y 1 x2 4
25
C
∴E(0，4)
又有题意可得：F（0，3） A
∴EF＝1
y E F
O
∴水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。
设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t .
则40（t＋1）＝280 解得：t＝6＞4 故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。
设货车速度为x km／h，能安全通过此桥.
则4x+40≥280 解得x≥60
y
C
A O
D B x
22
如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A
（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及C
点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛
物线上是否存在点D，使S△OCD=
S△23OCB，若存
在，求出点D；若不存在，请说明理由。
y
A o
B
C x
23
五、小结
1、二次函数常用解析式
∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，

解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：
精选ppt课件
9
课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3，5)； (2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过点
(1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐标 是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
பைடு நூலகம்
即
y＝4x2－8x＋1
精选ppt课件
7
例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由 与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为 （1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－2，即可 求出a的值．
精选ppt课件
6
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式

动某些植物因长期受环境影响，根、茎、叶的构造、形态和生理机能发生特殊变化，如马铃薯的块茎、仙人掌的针状叶等。③动指人的生理、心理出现不正 常状态：心理～。④名不正常的状态（跟“常态”相对）。 【变态反应】对某种物质过敏的人在接触该物质时发生的异常反应，可导致机体功能紊乱或功能 损伤。 【变体】名变异的形体：基因～｜～病； 哈利魔法科学 哈利魔法科学 ；度。 【变天】∥动①天气发生变化，由晴变阴、下雨、 下雪、刮风等。②比喻政治上发生根本变化，多指反动势力复辟。 【变通】动依据不同情况，作非原则性的变动：遇特殊情况，可以酌情～处理。 【变味】 ∥（～儿）动①（食物等）味道发生变化（多指变坏）：昨天做的菜，今天～了｜变了味儿的食品不能吃。②事物原有的意义发生变化（多指变坏）：游戏 一沾上，就～儿了。 【变温动物】没有固定体温的动物，体温随外界气温的高低而改变，如蛇、蛙、鱼等。俗称冷血动物。 【变文】名唐代兴起的一种说唱
文学，多用韵文和散文交错组成，内容原为佛经故事，后来范围扩大，包括历史故事、民间传说等。如敦煌石窟里发现的《大目乾连冥间救母变文》、《伍 子胥变文》等。 【变戏法】（～儿）表演魔术。 【变现】动把非现金的资产、有价证券等换成现金。 【变相】形属性词。内容不变，形式和原来不同（多 指坏事）：～剥削｜～贪污。 【变心】∥ī动改变原来对人或事业的爱或忠诚：海枯石烂，永不～。 【变星】ī名光度有变化的恒星。 【变形】∥动形状、格 式起变化：这个零件已经～｜一场大病，瘦得人都～了。 【变型】动改变类型：转轨～。 【变性】动①物体的性质发生改变：～酒精。②机体的细胞因新陈 代谢障碍而在结构和性质上发生改变。③改变性别：～人｜～手术。 【变压器】名利用电磁感应的原理来改变交流电压的装置，主要构件是原线圈、副线圈 和铁芯。在电器设备、电信设备中，常用来升降电压、匹配阻抗等。 【变样】∥（～儿）动模样、样式发生变化：几年没见，他还没～｜这地方已经变了样 了。 【变异】动①同种生物世代之间或同代生物不同个体之间在形态特征、生理特征等方面表现出差异。②泛指跟以前的情况相比发生变分：气候～。 【变 易】动改变；变化：～服饰。 【变质】∥动人的思想或事物的本质得与原来不同（多指向坏的方面转变）：蜕化～｜不吃变了质的食物。 【变质岩】名火成 岩、沉积岩受到高温、高压等影响，构造和成分上发生变化而形成的岩石，如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。 【变种】名①生物分类学上指物种以下 的分类单位，

【小结】：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未 知数y，得出关于x的解析式。
最新.课件
9
变式：已知函数 f (x) 对于一切实数 x, y 都有
f (x y) f (y) (x 2y 1)x 成立，且
f (1) 0
(1)、求f (0) 的值 (2)、求 f (x)
最新.课件
则 f [ f (x) ] = f ( kx + b ) = k ( kx + b ) + b
= k 2 x + kb + b = 4x －1
则 有 k 2 4 kb b 1
2b
k
b
2
1或
k 2b
2 b
1
bk213或kb12
f ( x) 2x 1 或f ( x) 2x 1 3
变式训练2
1、若 3 f (x) f (x) 2 x ,求f (x) 2、若 f (x) 2 f (1) x ,求f (x)
x
最新.课件
6
三、待定系数法
例3、已知 f (x) 是一次函数，且 f [ f (x) ] = 4x －1，
求 f (x) 的解析式。
解：设 f (x) = kx + b
例1.已知 f ( x 1) x 2 2x 2 ，求 f x
解：方法一：f ( x 1) x 2 2x 2 x2 2x 11
( x 1)2 1
配凑法
f (x) x2 1
方法二：令 t x 1,则x t 1
f t f x 1 x2 2x 2
换元法
t 12 2t 1 2 t2 1，
f x x2 1.
【小结】：已知f[g(x)],求f(x)的解析式，一般可用换元法，具体为：令 t=g(x),再求出f(t)可得f(x)的解析式最新。.课换件元后要确定新元t的取值范围。 3

返回
中图版新课标系列课件
《高中地理》
选修二
2.3 海底地形的形成
美国地震地质学家迪茨提出,海底扩张说认为，大洋
底部地壳不断生成一扩张一消亡的过程，是地幔中 物质对流的结果。
• 板块构造学说认为，大洋板块和大陆板块 相互碰撞时，大洋板块密度大，位置低， 俯冲到大陆板块之下。俯冲地带形成海沟、 岛弧和海岸山脉。
(2)解出x=φ(t)；
(3)将g(x)=t，x=φ(t)同时代入函数f[g(x)]并简化；
(4)以x代t且写出x的取值范围(即t的取值范围)
2.设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截 距为1，被x轴截得的线段长为2 2，求f(x)的解析式
【解题回顾】根据对f(x-2)=f(-x-2)的不同理解，可设不同 形式的二次函数.一般地，若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则 函数f(x)关于直线x=a对称.这里应和周期函数定义区别开来 .
2
3
4
5.若一次函数y=f(x)在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值 为3，则f(x)的解析式为__32__x___53_或____32_x___73__
6.在一定的范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足
一次函数关系.如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，
每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( C )
3.已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2，3)对称，求 g(x)的解析式.
【解题回顾】求与已知函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)对 称的函数解析式y=g(x)时，可用代对称点法.
4.甲乙两车同时沿着某条公路从A地驶往300km外的B地， 甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后， 再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶 (I)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函 数，并画出这个函数的图象；

解:
∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
x+1)+1 并且 x
x+1 x
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系.
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
例1
已知
f(
x*
+
1 x
,
求 f(x).
饲料）：～猪食。②〈方〉熬（粥）：～粥。 【碴】见页〖胡子拉碴〗。 【锸】（鍤）〈书〉挖土的工具；铁锹。 【艖】〈书〉小船。 【嚓】拟声形容短 促的断裂、摩擦等的声音：～的一声树枝断了。 【叉】〈方〉动挡住；卡住：车辆～住了路口，过不去了。 【垞】小土山（多用于地名）：胜～（在山东）。 【茬】（～儿）①名农作物收割后留在； https:// 森林舞会；地里的茎和根：麦～儿｜豆～儿。②量指在同一块地上，作物种植 或生长的次数，一次叫一茬：换～｜二～韭菜（割了一次以后又生长的韭菜）｜这块菜地一年能种四五～。③名指提到的事情或人家刚说完的话：话～｜ 搭～｜接～。④〈方〉名势头：那个～来得不善。 【茬口】?名①指轮作作物的种类和轮作的次序：选好～，实行合理轮作。②指某种作物收割以后的土壤： 西红柿～壮，种白菜很合适。②（～儿）〈方〉时机；机会：这事抓紧办，现在正是个～。 【茬儿】同“碴儿”（）。 【茬子】?名茬?：刨～｜～地。 【茶】①名常绿木本植物，叶子长椭圆形，花一般为白色，种子有硬壳。嫩叶加工后就是茶叶。是我国南方重要的经济作物。②名用茶叶做成的饮料： 喝～｜品～。③旧时指聘礼（古时聘礼多用茶）：下～（下聘礼）。④茶色：～镜｜～晶。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。⑥指油茶树：～油。⑦指山 茶：～花。⑧（）名姓。 【茶吧】名一种小型的饮茶休闲场所。 【茶场】名①从事培育、管理茶树和采摘、加工茶叶的单位。②培育茶树和采摘、加工茶叶 的地方。 【茶匙】（～儿）名调饮料用的小勺儿，比汤匙小。 【茶炊】ī名用铜铁等制的烧水的器具，有两层壁，在中间烧火，四围装水，供沏茶用。也叫 茶汤壶，有的地区叫茶炊子、烧心壶。 【茶点】名茶水和点心。 【茶饭】名茶和饭，泛指饮食。 【茶房】?名旧时称在旅馆、茶馆、轮船、火车、剧场等处 从事供应茶水等杂务的人。 【茶缸子】?名比较深的带把儿的茶杯，口和底一样大或差不多大。 【茶馆】（～儿）名卖茶水的铺子，设有座位，供顾客喝茶。 【茶褐色】名赤黄而略带黑的颜色。也叫茶色。 【茶花】（～儿）名山茶、茶树、油茶树的花，特指山茶的花。 【茶话会】名备有茶点的集会。 【茶会】 名用茶点招待宾客的社交型集会。 【茶几】ī（～儿）名放茶具用的家具，比桌子小。 【茶鸡蛋】ī名用茶叶、五香、酱油等加水煮熟的鸡蛋。也叫茶叶蛋。 【茶晶】ī名颜色像浓茶汁的水晶，多用来做眼镜的镜片。 【茶镜】名用茶晶或茶色玻璃做镜片的眼镜。 【茶具】名喝茶用具，如茶壶、茶杯等。 【茶楼】

解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c

例1、已知y与x成正比例，其图象过点（ 3 ，1），
求此函数的解析式。
引申：
（1）、已知：y与x-1成正比例，且当x=-5时，y=3， 求y与x之间的函数关系式。 （2）、已知：y与z成正比例，z+1与x成正比例，且 当x=1时，y=1；当x=0时，y=-3。
求y与x的函数关系式。 （3）已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小， 且其图象经过（3，-a）和（a，-1）两点，求y与x 之间的函数关系式。
求
-4k+b=-9
b=-1
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1
写
象这样先设出函数解析式，再根据条件
确定解析式中未知的系数，从而具体写出
这个式子的方法，叫做待定系数法.
整理归纳
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
提出问题形成思路
1.求下图中直线的函数表达式
y=2x
3
2
o 1
2 o
y=- 3 x+3 2
3、函数y=（1-k）x中y随x的增大而减小，则k的 范围是 k＞1 . 4、直线y=-3x-6与x轴的交点坐标是（-2，0），与y 轴的交点坐标为 （0，-6） . 5、直线y=3x-1经过 一、三、四 象限；
直线y=-2x+5经过 一、二、四 象限.
6、直线y=kx+b（k＜0，b＜0）经过二、三、四象限。 7、若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则k ＜ 0，
∴交点坐标为（2，4）
∴
31k b
42k b
解得：
k b
1 3
10
3
∴一次函数解析式为
y 1 x 10
3
3

=4-2-1+2-3a,
f(5)=2+ 12f(4) =4-2-2+2-4a,
故猜想: f(n)=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下:
证明从略. 故 f(n)=4-23-n+21-na.
评注: 先用不完全归纳法摸索出规律, 再用数学归纳法证 明, 适用于自然数集上的函数.
第5页/共8页
★课堂练习
1.已知
2.已知 3.已知
f(x) 是一次函数,
f(4x+1)=
4x+6 16x2+1
,
f( x +1)=x+2 x ,
且
求 求
fff[((fxx())x.)的]f=(解x4)x=析-x12式,-f1求.((xx)≥f=(x-1f)2)(xx的)+=解1 或x析2x-2+式2x5x-.+213
四、递推求和法
f(x)=
c a2-b2
(ax-
b x
).
例4 已知 f(n)-f(n-1)=an, n 为不小于 2 的自然数, a≠0 且 f(2)=8, 求 f(n) 的解析式.
解: 由已知, f(3)-f(2)=a3, f(4)-f(3)=a4, …, f(n)-f(n-1)=an,
将这(n-2)个式子相加, 得:
解: (1) 由已知
y0=loga(x0-b), 2y0=g(2x0)
g(x)=2loga(
x 2
-b).
(2)
由(1)
知:
F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga(
x 2
-b).
故由
F(x)≥0
可得:

1 x
f( x ) x 2 (x 2 )
2
练习：
2 1 、已知 f ( x 1 ) x 4 x , 解方程 f ( x 1 ) 0 .
2 2 、已知 f ( x 1 ) x 1 , 求 f ( x ) 的解析式 2 3 、设 f ( x ) 2 x 3 x 1 , g ( x 1 ) f ( x ), 求 g ( x ) 及 f [ g ( 2 )]
k 则 f(3)＝ ＝－6，解得 k＝－18. 3 18 ∴f(x)＝－ x .
18 答案：－ x
练习：
求 f( x ) 的解析式
1 、已知函数 f( x ) 是一次函数，且满足关 系 3 f( x 1 ) 2 f( x 1 ) 2 x 17 ,
2 、求一个一次函数 f( x ), 使得 f { f [ f( x )]} 8 x 7 ， 求 f( x ) 的解析式。
解：令 t x 1 ，则 t 1
x( t 1 )2
f( x 1 ) x 2x ，

f ( t ) ( t 1 ) 2 ( t 1 ) t 1 , 2 ) f( x ) x 1 (x 1
2
f ( x 1 ) ( x 1 ) 1 x 2 x (x 0 )
2 f( x ) x 2 x 3 2 2
2 2 2 1 、解： f ( x 1 ) ( x 1 ) 2 x 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 ) 3 2 、解： f (x1 ) (x1 ) 2 x
( x 1 ) 2 ( x 1 ) 2 f( x 1 ) ( x 1 ) 2 ( x 1 ) 3 0

五、待定系数法
例5 设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, 求 f(x). 解: 由原式可知 f[g(x)] 中的 g(x) 一个是 2x, 另一个是 3x+1, 都是一次式. 而右端是二次式，故 f(x) 是一个二次式, 则可设:
f(x)=ax2+bx+c, 从而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1, ∴ 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 与 13x2+6x-1 表示同一个式子, 即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1 . 比较系数得: a=1, b=0, c=-1. 从而有: f(x)=x2-1. 评注: 先分析出 f(x) 的基本形式, 再用待定系数法, 求出各 系数.
在给定条件下求函数的解析式 f(x), 是高中数学中经常涉 及的内容, 形式多样, 没有一定的程序可循, 综合性强, 解起 来有相当的难度, 但是只要认真仔细去探索, 还是有一些常用 之法. 下面谈谈求函数解析式 f(x) 的方法.
一、配凑法
例1
已知
f(
x+1 x)= Nhomakorabeax2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
～人借走了一本｜他～选为代表。②助用在动词前表示被动的动作：～压迫民族｜～剥削阶级。 【被褡子】?同“背搭子”。 【被袋】名外出时装被褥、衣 物等用的圆筒形的袋。 【被单】（～儿）名①铺在床上或盖在被子上的布。②单层布被。‖也叫被单子。 【被动】形①待外力推动而行动（跟“主动”相对， 下同）：工作要主动，不要～。②（事情）由于； 教育品牌机构服务 教育品牌机构服务 ；遇到阻力或干扰，不能按照自己的意图进行： 由于事先考虑不周，事情搞得很～。 【被动式】名说明主语所表示的人或事物是被动者的语法格式。汉语的被动式有时没有形式上的标志，如：他选上了｜