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考研数学-变上限函数

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题型13 变上限函数(**)一、基础知识1.变上限函数求导（六种类型） 例1.（07-2-10）设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足 ()10cos sin ()sin cos f x x t tf t dt tdt t t--=+⎰⎰，其中1f-是f 的反函数，求()f x . 【答案】()ln(sin cos ).f x x x =+例2.(06-2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =13. 例3.(05-2-11分) 设函数()f x 连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x 【答案】12例4.(02-3)求极限2[arctan(1)]lim(1cos )xu x t dt du x x →+-⎰⎰. 【答案】6π例5.(99-1)220sin()sin .x d x t dt x dx-=⎰练习1. (98-1) 设函数()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-=⎰ 【A 】 (A)2()xf x . (B)2()xf x -. (C)22()xf x . (D)22()xf x -.2.(97-3) .设1cos 2()sin xf x t dt -=⎰,56()56x x g x =+,则当0x →时,()()f x g x 是的 【B 】(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但不等价无穷小. 3.(96-1)设函数()f x 有连续导数,(0)0,'(0)0f f =≠,220()()()xF x x t f t dt =-⎰,且当0x →时'()F x 与kx 是同阶无穷小,则k 等于 【C 】(A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 4.(92-2)设函数()f x 连续,220()(),x F x f t dt =⎰则'()F x =42()xf x .5.设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x +. 【答案】21ln 2x 2.变上限函数的性态(周期性 有界性 奇偶性 单调性 连续性)例6.(06-2)设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()x f t dt ⎰是【B 】（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数.（C ）在0x =间断的奇函数.（D ）在0x =间断的偶函数.例7.(05-12) 设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 【A 】(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. （B ）()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数.(C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数.例8.(04-4) 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则 【B 】(A) ()F x 在0x =点不连续.(B) ()F x 在(-∞ , +∞)内连续，但在0x =点不可导.(C) ()F x 在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='. (D) ()F x 在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.例9.(02-24) 设函数()f x 连续,则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 【A 】(A)0[()()].xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()].xt f t f t dt --⎰(C)20().xf t dt ⎰(D)20().xf t dt ⎰例10.(02-2)设2232,10,2(),01,(1)x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩求函数1()()x F x f t dt -=⎰的表达式. 【答案】3211,10,22()1ln(1)ln 2,01,(1)2xx x x x F x x e x e -⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪--++-≤≤+⎪⎩例11.(01-34)设0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012()1(1),12,3x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)【D 】(A)无界. (B)递减. (C)不连续. (D)连续. 例12.(97-4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,且0()(2)(),xF x x t f t dt =-⎰试证(1) 若()f x 是偶函数时, ()F x 也是偶函数; (2) 若()f x 是单调不增函数, ()F x 单调不减. 练习1.(99-1234) 设()f x 是连续函数, ()F x 是()f x 的原函数,则 【A 】 (A) 当()f x 是奇函数时, ()F x 必为偶函数. (B) 当()f x 是偶函数时, ()F x 必为奇函数. (C) 当()f x 是周期函数时, ()F x 必为周期函数. (D) 当()f x 是单调增函数时, ()F x 必为单调增函数.2.(97-3)设函数()f x 在[0,)+∞上连续,单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()00x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).3.若()f x 是连续函数且为奇函数,证明 0()xf t dt ⎰是偶函数;若()f x 是连续函数且为偶函数,证明()xf t dt ⎰是奇函数.题型14 有关定积分的证明例1.(05-3)设(),()f x g x 在[0,1]上的导数连续,且(0)0,'()0,'()0f f x g x =≥≥,证明:对任何[0,1]a ∈,有1()'()()'()()(1)ag x f x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰例2.(04-2)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域. 【答案】[2例 3.(01-3)设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足110(1)()(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰,证明:至少存在一点(0,1)ξ∈,使得1'()(1)()f f ξξξ-=-例4.(00-2)设函数0()cos ,xS x t dt =⎰(1) 当n 为正整数,且(1)n x n ππ≤<+时,证明:2()2(1);n S x n ≤<+ （2）求()lim.x S x x →+∞ 【答案】2π例 5.(00-1) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0f x dx π=⎰,0()cos 0f x xdx π=⎰,试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使得12()()0f f ξξ==.例6.（01-4）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰, 证明：存在(0,1)ξ∈，使得()2().f f ξξξ'=题型15 定积分的应用一、基础知识 几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。

()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。

由曲线y f x =()与y g x =()及直线xa =，xb =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。

()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx其中：dx x g x f ])()([- 为面积元素。

2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。

取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。

曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21=从而 ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。

取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。

即：体积元素为[]dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为[]dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。

取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+=弧长为[]⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为 θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 二、例题1.平面图形的面积与旋转体的体积例1.(07-2-11分)设D是位于曲线2(1,0)x ay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域 .(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a ); (II) 当a 为何值时，V (a )最小? 并求此最小值.【答案】(I) 22.(ln )a a π(II) a = e 是V (a )的极小值点，也是最小值点,2().V e e π=例2.(04-4)设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.(03-2)设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.(02-3)设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 练习1.已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =2.(00-2)设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:52216155V π=⋅= 3.(03-1)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 4.(99-4)曲线y =的切线与x 轴和y 轴围成一个图形,记切点的横坐标为a ,试求切线方程和这个图形的面积,当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何?【答案】切线方程为:121332x y a a -+= 图形面积为:S = 切点趋于无穷远有两种情形:(1)0a +→和(2)a →+∞:lim lim 0a a S ++→→==,lim lima a S →+∞==+∞.2.曲率、曲率圆、曲率半径与弧微分例1.(03-2)设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22,其上任一点(,)p x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线()y f x =的方程.(2) 已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用L 表示曲线()y f x =的弧长s .【答案】(1)2221x y +=(2)4例2.(95-2)求摆线1cos ,sin x t y t t=-⎧⎨=-⎩一拱(02)t π≤≤的弧长.【答案】 8s =例3.(01-2).设()x ρρ=是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径.()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长,计算222()d d ds dsρρρ-的值. 【答案】9例4.求曲线ln y x =在与x 轴交点处的曲率圆方程. 【答案】22(3)(2)8x y -++= （三）物理应用1．变力沿直线所作的功例1. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？2.水压力例2. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.3.引力例3．有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.真题1.(91-2)质点以2sin()t t 米/秒做直线运动,则以时刻1t =秒到2t ==122.(03-1)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而做功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k ,0k >),汽锤第一次击打将桩打进地下()a m .根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1) 汽锤打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?()m()m 3.(03-2)有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【答案】.4)(2-=y t ϕ .26y e x π=4.(99-12)为清除井底的污水,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污水泥后提出井口,已知井深30M,抓斗自重400N,缆绳每米重2000N,提升速度为3M/S,在提升过程中,污泥以20N/S 的速度从抓斗缝隙中漏掉.现将抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:(1)1N ⨯1M=1J;M,N,S,J 分别表示米,牛顿,秒,焦耳,(2)抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)【答案】915005.(02-2)某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l 为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD ,下部由二次抛物线与线段AB 所围成.当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h 应为多少米?。

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变限定积分与分部积分法

变限定积分与分部积分法

学 生理 解 和 掌握 。
关键 词 ： 定积分 累次积分 变限 定积分 分部 积分 法 中图分 类号 ： Ｏ１ ２ ７ 文献标 识 码 ：Ａ
文章编号 ： ７ —９ ９ （ ０ ） ８ ｂ一Ｏ ９ －０ １ ３ ７ ５ ２ １ ０ （） ０ ４ １ ６ ０
文 ［ 将 一 元 函 数 定 积 分 问题 转 化 为 １ 二 重 积 分 交 换 积 分 次 序 来 解 ， 二 重 积 但 分 的 交 换 积 分 次 序 毕 竟 比 定 积 分 更 难 掌
分法 。
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类似可解２０年数学一考研题 ： ０４ 设为 ｆ ｘ （）
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参考 文献
（ ｆ（ ｆ ｏ 【】 爱雯 ． 用 二 重 积分 证 明积 分 不 等 式 １井 利 …． 高等 数 学研 究 ， ０ ０ ３ ｉ ：４ ５ ２ ０ ， （ ）２ ～２ ． ［］王 金 金 ， 华 ． 用 重 积 分 证 明定 积 分 ２ 马 利 不 等 式 【】 高 等 数 学 研 究 ， ０ ４ ７ ２ ： Ｊ． ２ ０ ，（）
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考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)

考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷140(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学2．求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知识点：高等数学3．设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn ＝(x2－1)ndx．正确答案：涉及知识点：高等数学4．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学5．求无穷积分．正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知识点：高等数学6．设f(x)＝求f(x)的不定积分．正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x ＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数．知识模块：高等数学7．设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx ＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12) 涉及知识点：高等数学8．设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知识点：高等数学9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学10．设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续．涉及知识点：高等数学11．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式两边积分得涉及知识点：高等数学12．求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：高等数学13．求星形线(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知识点：高等数学14．求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知识点：高等数学15．设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离．知识模块：高等数学16．求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ涉及知识点：高等数学17．求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x ＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知识点：高等数学18．求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F ＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF ＝k，于是整个圆环对P点的引力为涉及知识点：高等数学19．过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x —x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积涉及知识点：高等数学20．设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长涉及知识点：高等数学21．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值为．涉及知识点：高等数学22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．正确答案：圆的半径为，所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y＝y(x)在P(1，2)处的y’’＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’＝1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’＝1，即有2a＋b＝1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a＝2，从而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知识点：高等数学23．设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换涉及知识点：高等数学24．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．正确答案：由定积分的性质涉及知识点：高等数学25．证明，其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式令Jn＝2nIn，得．由此进一步得涉及知识点：高等数学。

考研数学二-高等数学(三)1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二-高等数学(三)1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学二-高等数学(三)1(总分180, 做题时间90分钟)一、填空题1.函数的单调减少区间是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析] 由f(x)的分段表示知，f(x)分别在(-1，0)和[0，+∞)连续，又因，即f(x)在x=0也是左连续的，故f(x)在(-1，+∞)上连续．计算f(x)的导函数，得引入函数g(x)=x-(1+x)ln(1+x)，不难发现g(0)=0，且g'(x)=-ln(1+x)＞0，当-1＜x＜0时成立，这表明当-1＜x＜0时g(x)＜g(0)=0成立，由此可得当-1＜x＜0时f'(x)＜0也成立．由f(x)在(-1，0]连续，且f'(x)＜0在(-1，0)成立知f(x)在(-1，0]单调减少；同理，由f(x)在[0，+∞)连续，且f'(x)=-1＜0在(0，+∞)成立知f(x)在[0，+∞)也单调减少．综合即得 f(x)的单调减少区间为(-1，+∞)．2.函数在区间(0，+∞)上的最大值为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:[解析] 因为故函数f(x)在点处取得它在(0，+∞)上的最大值，且最大值为3.若方程x3-6x2-15x+a=0恰有三个实根，则a的取值范围是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1答案:-8＜a＜100[解析] 把方程改写成f(x)=a的形式，其中函数f(x)=15x+6x2-x3．由于f'(x)=15+12x-3x2=3(5-x)(1+x)，于是列表讨论可得且从而，当-8＜a＜100时直线y=a与曲线y=f(x)恰有三个交点，即原方程恰有三个实根．二、选择题1.下列四个命题中正确的是(A) 设x0∈(a，b)，函数f'(x)满足f'(x)＞0(0＜x＜x)和f'(x)＜0(x＜x＜b)，则f(x)在点x=x处取得它在(a，b)上的最大值．(B) 设f(x)在点x=x取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(x)在(x0-δ，x)中单调增加，在(x，x+δ)中单调减少．(C) 设f(x)在区间(-a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则x=0必是f(x)的一个极值点．(D) 设f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f'(0)=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D[解析] 因为f(x)在区间(-a，a)内可导且为偶函数，故f'(x)在(-a，a)内必为奇函数，即∈(-a，a)有f'(-x)=-f'(x)．特别对x=0有f'(0)=-f'(0)f'(0)=0．故应选(D)．其他三个命题均不正确．(A)不正确：条件中缺f(x)在x=x处连续．例如：尽管f'(x)=1当-1＜x＜0成立，f'(x)=-1当0＜x＜1成立，但当0＜|x|＜1时都有f(0)=-1＜f(x)．这表明f(0)并不是f(x)在(-1，1)上的最大值．(B)不正确：函数f(x)在x=x0取极值与它在x=x两侧附近单调并无必然联系．例如：因，故f(0)是f(x)的极大值，但由此可见，无论取正数δ多么小，在(-δ，0)与(0，δ)中导函数f'(x)总要无穷多次变号，即f(x)不可能在这样的区间中单调．(C)也不正确：考察函数尽管f(x)是(-∞，+∞)上的偶函数，但无论δ是多么小的正数，在区间(-δ，δ)中f(x)总要变号，即f(0)不是f(x)的极值，亦即点x=0不是f(x)的极值点．2.已知函数f(x)当x＞0时满足f"(x)+3[f'(x)]2=xlnx，且f'(1)=0，则(A) f(1)是函数f(x)的极大值．(B) f(1)是函数f(x)的极小值．(C) (1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点．(D) f(1)不是函数f(x)的极值，(1，f(1))也不是曲线y=f(x)的拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由题设知f"(x)=xlnx-3[f'(x)]2(x＞0)，这表明f"(x)在x＞0时存在，于是f'(x)在x＞0连续．由上式即知f"(x)在x＞0时连续．利用洛必达法则，可得由极限的保号性质知，f"(x)在x=1的某空心邻域中与x-1同号，即在此邻域中当x＜1与x＞1时f"(x)反号．从而(1，f(1))是连续曲线y=f(x)的拐点．故应选(C)．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)连续，其导函数f'(x)的图形如图(1)所示，则(A) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(B) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有一个拐点．(C) 函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．(D) 函数f(x)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y=f(x)有两个拐点．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C[解析] 由图(1)知函数f(x)有三个驻点a，b，d，其导函数f'(x)有一个驻点c，如图(2)．列表讨论函数f(x)的单调性与极值，可得x (-∞，a) a (a，0) 0 (0，b) b (b，d) d (d，+∞) f' + 0 - * - 0 + 0 -f ↑极大值↓↓极小值↑极大值↓由此可见，函数f(x)有两个极大值点与一个极小值点，于是可排除(B)与(D)．又由导函数f'(x)的图形知，在区间(-∞，0)内f'(x)单调减少，在区间(0，c]上f'(x)单调增加，在区间[c，+∞)上f'(x)单调减少．由于曲线y=f(x)是连续曲线，故曲线y=f(x)在(-∞，0]是凸弧，在[0，c]是凹弧，在[c，+∞)又是凸弧，这表明曲线y=f(x)有两个拐点．综合可知，应选(C)．三、解答题1.设，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为．又因为，于是所以2.设函数y=y(x)由方程组确定，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将两式分别求微分，得从而再求导即得3.设y=y(x)是由确定的隐函数，求y'(0)和y"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 在方程中令x=0可得将方程两边对x求导数，得 (*)将x=0,y(0)=e2代入，有将(*)式两边再对x求导数，得将x=0，y(0)=e2和y'(0)=e-e4代入，有4.设函数f具有二阶导数，且f'≠1．求由方程x2e y=e f(y)确定的隐函数y=y(x)的一、二阶导数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将原方程两边取对数，可得与原方程等价的方程2ln|x|+y=f(y) 将新方程两边对x求导数，得(*)可解出将(*)式两边再对x求导数，又得于是，可解出5.设y=y(x)是由方程确定的隐函数，求y'．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 将方程两边对x求导数，利用变上限定积分求导公式得可解出6.设证明：f(x)在(-∞，+∞)上可导，并求f'(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 由初等函数的连续性及f(x)的定义知，f(x)分别在(-∞，1]和(1，+∞)连续，且于是f(x)在点x=1还是右连续的，故f(x)在(-∞，+∞)上连续．由于函数2x-2+π在x=1连续，从而f(x)也可以写成于是f(x)在(-∞，1)内可导，在x=1左导数存在，且同样，f(x)在(1，+∞)内可导，在x=1右导数存在，且(1)=f'+(1)=2，故f(x)在x=1可导，且 f'(1)=2．因为f'-综合得设函数f(x)与g(x)都可导，且F(x)=g(x)|f(x)|，求证：SSS_TEXT_QUSTI7.当f(x0)≠0时，F(x)在点x=x处必可导；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当f(x0)≠0时，由f(x)的连续性知：存在δ＞0，使得当|x-x|＜δ时f(x)与f(x0)同号．若f(x)＞0，则当|x-x|＜6时有F(x)=g(x)|f(x)|=g(x)f(x)，从而F(x)在x=x处可导，且F'(x)=g(x)f'(x)+g'(x)f(x)．类似可证当f(x0)＜0时F(x)也在x=x处可导．SSS_TEXT_QUSTI8.当f(x0)=0时，F(x)在点x=x处可导的充分必要条件是f'(x)g(x)=0．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当(x0)=0时，F(x)7=g(x)|f(x)|=0，从而F(x)在点x=x处的左导数与右导数分别是故当f(x0)=0时，|F(x)|在点x=x处可导的充分必要条件为此外，不难发现，此时F(x)=g(x)|f(x)|在点x=x0处的导数F'(x)=0．9.设讨论f(x)在点x=0处的可导性；如果可导，求出f'(0)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 根据定义，计算极限利用当y→0时的等价无穷小关系ln(1+y)～y和e y-1～y以及洛必达法则可得由于上述极限存在，故f(x)在x=0处可导，且．10.求摆线的曲率半径．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 因为故摆线的曲率半径11.求下列函数的n阶导数：(Ⅰ) y=in(6x2+7x-3)，(n≥1)；(Ⅱ)y=sin2(2x)，(n≥1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:因为 6x2+7x-3=(3x-1)(2x+3)，所以故其中0!=1．(Ⅱ) 因为，所以12.如图7-1，设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分．在L上求一点M，使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 设曲线L上点M的坐标为(x，6-2x2)，则L在该点的切线方程为Y=6-2x2-4x(X-x)，令y=0，可得点A的横坐标为，令X=0可得点B的纵坐标为b=2(3+x2)，从而所求图形的面积为由于为一常数，可见S与ab将在同一点处取得最小值．记，不难得出故当x=1时面积S最小，即所求点M为(1，4)．13.设函数f(x)满足f(0)=0，f"(x)＜0在(0，+∞)成立，求证：对任何x1＞x2＞0有x 1f(x2)＞x2(x1)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析]可见只需证g'(x)＜0在(0，+∞)成立．[证明]当x＞0时g'(x)与同号．由拉格朗日中值定理知，，使再用一次拉格朗日中值定理，可得(其中ξ＜η＜x)，即g'(x)＜0当x＞0时成立．从而有g(x2)＞g(x1)，故原不等式成立．14.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 令，只需证明当x＞0时f(x)＞0成立．由于f(0)=0，且在f'(x)的分子中5x2+3x(e2x-1)＞0当x＞0时成立，而分母e2x+x＞0当x ＞0时也成立，故若g(x)=1+2xe2x-e2x＞0当x＞0时还成立，即得f'(x)＞0当x ＞0时成立，于是f(x)当x≥0时单调增加当x＞0时f(x)＞f(0)=0成立，即不等式成立得证．由于g(0)=0，g'(x)=4xe2x＞0()成立，故g(x)在x≥0单调增加，即g(x)＞g(0)=0当x＞0时成立．综合即得原不等式在x＞0成立．15.证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥2(x-1)2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 注意到当x=1时原不等式两端相等，而当x＞l时原不等式，当0＜x＜1时原不等式，故作辅助函数有F(1)=0，求导数可得从而，当0＜x＜1时由F(x)单调增加得F(x)＜F(1)=0，当x＞1时由F(x)单调增加得F(x)＞F(1)=0，即要证的不等式成立．16.证明不等式(a+b)e a+b<ae2a+be2b当b＞a＞0时成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证法一] 不等式可改写为ae a(e b-e a)＜be b(e b-e a)，因b＞a＞0时e b＞e a，从而又可改写为等价形式ae a＜be b．把b改写为x，引入函数f(x)=xe x，即需证f(x)＞f(a)当x＞a＞0时成立．因为f'(x)=(x+1)e x＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．[证法二] 引入函数g(x)=xe2x，则原不等式可改写成当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图8-1)．注意g"(x)=4(1+x)e2x＞0(x＞0)，这表明当b＞a＞0时曲线y=g(x)在[a，b]上确为凹弧，故原不等式成立．17.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，0＜f'(x)＜1(0＜x ＜1)．求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析一] 为利用函数的单调性来证明本题，可引入辅助函数，于是本题结论与F(1)＞0等价．注意F(0)=0，故只需证明F(x)在[0，1]单调增加．[证明一] 引入辅助函数，则F(x)在[0，1]可导，且F(0)=0，[分析二]由题设知当x∈(0，1]时f(x)＞0，从而若引入辅助函数，则F(0)=G(0)=0，从而进一步有[证明二]令，由柯西中值定理即得存在ξ∈(0，1)使得再令，于是再用柯西中值定理可知存在η∈(0，ξ)使得设函数f(x)在[0，+∞)有连续的一阶导数，在(0，+∞)二阶可导，且f(0)=f'(0)=0，又当x＞0时满足不等式求证：当x＞0时f(x)＜x2成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 由题设知，当x＞0时其中ln(1+x)＜x(x＞0)，这是因为：记g(x)=x-ln(1+x)(x≥0)，则(x＞0)，故g(x)在[0，+∞)单调增加，从而g(x)＞g(0)=0(x＞0)．方法1°由麦克劳林公式可得方法2°令F(x)=x2-f(x)，19.设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=-k．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 这是讨论导函数在某点取定值的问题，可化归导函数零点的存在性问题．g这启示我们检验函数F(x)=f(x)+kx是否在区间[0，1]或它的某一子区间[α，β]上满足罗尔定理的全部条件．注意F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且从而即F(0)是和F(1)的一个中间值，由F(x)的连续性和有界闭区间上连续函数的性质知，c∈(，1)，使F(c)=F(0)，由此可见在闭区间[0，c]上对F(x)应用罗尔定理即可得出要证明的结论．[证明] 令F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F'(x)=f'(x)+k，F(0)=1，，F(1)=1+k，即．由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在使F(c)=F(0)，从而F(x)在区间[0，c]上满足罗尔定理的条件，故存在使F'(ξ)=f'(ξ)+k=0，即f'(ξ)=-k 成立．20.设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间，上f(x)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点f，使f"(ξ)＜0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(x)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0，但f(x)在[α，β]上不恒等于常数，从而f'(x)≠0．这表明g(x)=f'(x)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)=g(β)=0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ，使g'(ξ)＜0即可．[证明]由题设知f(x)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)，使f'(α)=f'(β)=0．令g(x)=f'(x)，由题设及上面所得结果知g(x)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)=g(β)=0．若使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(x)可得：使否则，必上把拉格朗日定理用于g(x)也可得：使综合即得，在(α，β)内即在(a，b)内至少存在一点f，使g'(ξ)=f"(ξ)＜0．21.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 因ξ∈(0，1)，故其中p(x)＞0，若函数p(x)还满足时成立，则要证的结论[p(x)f(x)]'在(0，1)内有零点．这启发我们考虑辅助函数F(x)=p(x)f(x)，其中p(x)满足可取lnp(x)=2x+lnx，即 p(x)=xe2x．由题设知F(x)=xe2x f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e2f(1)=0，即F(x)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=(e2ξ+2(e2ξ)f(ξ)+ξe2ξf'(ξ)=e2ξ[(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)]=0，从而(2ξ+1)f(ξ)+ξf'(ξ)=0．22.设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 由于题设条件中出现了函数，可首先研究的性质．显然，在[0，1]上可导，且与本题要证的结果对比，只需证明．为此，还需知道在[0，1]上某两点处的函数值相等．注意，由题设和积分中值定理知其中．从而，是合适的辅助函数．[证明] 令上可导，且，．又由题设和积分中值定理知，存在，使得从而函数上满足罗尔定理的全部条件，所以，使得23.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b＞a＞0．求证，，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析] 把要证的结论改写成，并分别把两端看成对适当函数应用柯西中值定理与拉格朗日中值定理的结果．[证明] 记g(x)=lnx，由柯西中值定理知，，使得由拉格朗日中值定理知，，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，代入即得设函数f(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f'(a)f'(b)＞0．求证：SSS_TEXT_QUSTI24.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证引入辅助函数F(x)=e-x(x)，由题设知F(x)在[a，b]上可导，且F(a)=e-a(a)=0，F(b)=e-b(b)=0，由罗尔定理即知使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=f(ξ)成立．SSS_TEXT_QUSTI25.该题您未回答:х该问题分值: 5答案:要证为证明上述结论，引入辅助函数G(x)=e x[f'(x)-f(x)]，由题设可知G(a)=ea[f'(a)-f(a)]=e a f'(a)，G(b)=e b[f'(b)-f(b)]=e b f'(b)，于是G(a)G(b)=e a+b f'(a)f'(b)＞0，即G(a)与G(b)必同时为正，或同时为负，而由(Ⅰ)知∈(a，b)使G(ξ)=eξ[f'(ξ)-f(ξ)]=0．这样一来，当G(a)与G(b)同为负数时，G(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最大值点为x=η，则必有G'(η)=0f"(η)=f(η)成立．反之，当G(a)与G(b)同为正数时，G(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内某点处取得，记G(x)在(a，b)内的最小值点为x=η，则必有G'(η)=0成立．26.求ln(1+x-x2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到x4项．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 把ln(1+x)的麦克劳林公式中的x换为x-x2，可得注意代入即得27.求极限．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 得用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可得把它们与代入要求的极限即有28.确定常数a和b的值，使当x→0时是x的5阶无穷小量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用，可得不难看出应当设1-a-b=0与同时成立，由此可解得，并且得到29.设函数f(x)在x=0的某邻域中二次可导，，求f(0)，f'(0)与f"(0)的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[解] 利用sinx和f(x)的麦克劳林公式代入可得移项即得 (*)由此可得因为若2+f(0)≠0，对任何f'(0)，(*)式左端都是无穷大量，从而导致矛盾，这表明必有2+f(0)=0，即f(0)=-2．从而(*)式又可改写同理，若f'(0)≠0，则上式左端是无穷大量，同样导致矛盾，这表明必有f'(0)=0．故上面的式子其实就是综合得30.设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f'(0)=f'(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得在公式中取，利用题设可得两式相减消去未知的函数值即得从而，在ξ1和ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数值不小于4，把该点取为2，就有ξ∈(0，1)，使|f"(ξ)|≥4．31.设f(x)在(-∞，+∞)上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b是两个正的常数，求证：有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 与h＞0有两式相减可得在上式两端取绝对值并放大右端即知，有令，则g(h)在(-∞，+∞)上可导，且这表明函数时取得它在h＞0的最小值即成立．32.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，对成立．求证：f'(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得①②为估计|f'(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即|f'(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．33.设函数f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，求证：存在ξ∈(a，b)使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5答案:[证明] 在带拉格朗日余项的泰勒公式中分别取x=b与x=a，并取，可得将两式相减就有当时取ξ=ξ1(或ξ=ξ2)，否则由f…(z)的连续性知存在ξ∈(ξ2，ξ1)使得=，代入即得存在使得1。

定积分习题

定积分习题

一、单项选择题 1、定积分⎰badx x f )(是（ ）．(A)f(x)的一个原函数 (B) f(x)的全体原函数 (C)确定常数 (D) 任意常数 2、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则)(x f '的零点个数是（ ）．[2008年考研数学一] (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 3、设f(x)为[a,b]上连续函数，则变上限函数⎰xadt t f )(（a ≤x ≤b ）是（ ）．(A))(x f '的一个原函数 (B) f(x)的一个原函数 (C) )(x f '的全体原函数 (D) f(x)的全体原函数 4、设f(x)为[a,b]上连续函数，F(x),g(x)为可导函数，下列等式中不正确的是（ ）．(A)).()(x f dtt f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ (B) ).()(x f dt t f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ (C) ).()(x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ (D) ).())(()()(x g x g f dt t f dx d x g a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ 5、=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x dt t dx d 12)1ln(（ ）． (A))1ln(2t + (B) )1ln(22t t + (C) )1ln(22x x + (D) )1ln(2x + 6、设⎰='=1)()(xt x F dt te x F ，则（ ）．(A)xxe - (B) xxe (C) xxe - (D) xxe--7、设15sin 00sin (),()(1)xx t tx dt x t dt tαβ==+⎰⎰，则当0x →时，()x α是()x β的（ ）．[99年考研数学一](A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 同阶但不等价无穷小 (D) 等价无穷小8、=⎰⎰→x xx tdtdtt 0sin lim（ ）．(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D)不存在 9、设函数⎰-=xdt t x f 0)1()(，则f(x)有（ ）．(A)极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21 (D) 极大值21- 10、由抛物线y 2=x 及直线2,x y x y ==所围平面图形的面积为（ ）．(A)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-402dx x x (B) ()⎰-40dx x x (C) ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-402dx x x (D) dx x x dx x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-41102211、()f x 在闭区间[a,b]上连续是()f x 在[a,b]上可积的（ ）．(A)充分且必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 即非充分又非必要条件 12、设()f x 在[a,c]上连续，a b c <<，则()baf x dx ≠⎰（ ）．(A)()()cc abf x dx f x dx +⎰⎰(B) ()()c cabf x dx f x dx -⎰⎰ (C) ()()cbacf x dx f x dx +⎰⎰ (D) [()()]abccf x dx f x dx --⎰⎰13、设()f x 在[a,b]上连续，则[a,b]上至少有一点ξ，使()f ξ=（ ）．(A)()abf x dx ⎰(B)1()a b f x dx b a -⎰ (C) 1()ba f x dxb a-⎰ (D) ()b a f x dx ⎰ 14、设4742542226222sin cos ,(sin cos ),(sin cos )1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰，则（ ）． (A)N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N << 15、设()f x 连续，则220()x d tf x t dt dx-=⎰（ ）．[1998年考研数学一] (A) 2()xf x (B) 2()xf x - (C) 22()xf x (D) 22()xf x -16、20sin()xd x t dt dx -⎰=（ ）． (A)0 (B) 1 (C) 2 (D) 2sin x 17、设1()2()f x x f x dx =+⎰，则()f x =（ ）．(A) x (B) 1x + (C) 1x - (D) 1x - 18、反常积分11pdx x +∞⎰，（ ）． (A)1p ≥时收敛，1p <时发散 (B) 1p ≤时收敛，1p >时发散 (C) 1p >时收敛，1p ≤时发散 (D) 1p <时收敛，1p ≥时发散 19、下列积分中为广义积分的是（ ）． (A)11(1)dx x x -+⎰ (B) 11sin x dx x -⎰ (C) 111arctan dx x -⎰ (D) 111sin dx x -⎰ 20、下列广义积分收敛的是（ ）． (A)ln exdx x +∞⎰(B) ln e dx x x+∞⎰ (C) 2(ln )e dx x x +∞⎰(D) e +∞⎰ 二、填空题21、函数()[,]f x a b 在上有界是f(x)在[a,b]是可积的_________条件，而f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]是可积的_________条件．22、63sin _____.x xdx ππ-=⎰ 23、83_____.=⎰24、无穷积分30______.xedx +∞-=⎰ 25、瑕积分1ln ______.xdx =⎰26、设连续函数f(x)满足112()3(),()_____.f x x x f x dx f x dx =-=⎰⎰则27、已知f(x)的一个原函数为21()ln ,_____.ef x x x dx x=⎰则28、曲线(1)(2)y x x x x =--与轴所围成的平面图形的面积用定积分可表示为_________________．29、反常积分1+∞=⎰______．[04年考研数学二] 30、1=⎰_________________．31、反常积分2ln edx x x+∞=⎰______．[02年考研数学一] 32、240tan xdx π=⎰_________________． 33、反常积分2+∞=⎰______．[00年考研数学二] 34、10=⎰_________________．35、11ln exdx x +=⎰_________________． 36、2121sinydy y ππ=⎰_________________．37、设2(),()xt F x te dt F x -'=⎰则=________． 38、20cos limxx tdt x→=⎰_________________．39、22sin 2cos xdx x ππ-=+⎰_________________． 40、广义积分211A dx A x +∞-∞=+⎰，则=____． 三、计算题 41、1⎰． 42、1-⎰．43、2cos x xdx π⎰． 44、01(1)(2)dx x x +∞++⎰．45、1e⎰． 46、120ln(1)(2)x dx x +-⎰．47、π⎰． 48、4⎰．49、21dxx +∞-∞+⎰． 50、00)a a >⎰． 四、应用题51、求由抛物线42x y =与直线0423=--y x 所围成的平面图形的面积．52、求由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成的平面图形的面积．53、求抛物线2x y =和x y =所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积．54、求星形线222333x y a +=的全长.55、过曲线2(0)y x x =≥上某点A 作切线，使之与曲线及x 轴围成图形面积为112．求（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V ． 五、证明题 56、.)(21)(223⎰⎰=a adx x xf dx x f x57、设(),()f x g x 在区间[a,b]上均连续，证明：()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰．58、证明：11221(0)11xx dx dx x x x =>++⎰⎰． 59、设()f x 具有连续导数，证明()()()()xa d x t f t dt f x f a dx'-=-⎰． 60、设()g x 在区间[-a,a]（a>0）上为偶函数，且()f x 满足()()f x f x A +-=（A 为常数）．证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。