工程数学复变函数答案(第四版)西交大第四章 级数答案

102复变函数作业12 复数项级数 幂级数1. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：{}n a （1）（2）；1i1in n a n +=-i 12nn a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3） （4）；（5）.i(1)1nn a n =-++i /2en n a π-=i /21e n n a nπ-=解 （1），，即收敛于.1i0i 110i in n n a n→∞++=−−−→=---lim 1n n a →∞=-{}n a 1-（2），，即收敛于0.i|0|102nnn n a --→∞-=+=−−−→1i lim 02nn -→+∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n a （3）因的实部不收敛，虚部收敛于零，所以不收敛.n a (1)n-11n +{}n a （4），与均不存在（分为奇数与偶数cos isin 22n n n a ππ=-lim cos 2n n π→∞lim sin 2n n π→∞n 便知），所以不收敛.{}n a （5），即收敛于零.i /2i /2111|0|||e 0,lim e 0n n n n n a a n nn ππ--→∞-===→={}n a 2. 下列级数是否收敛？ 是否是绝对收敛？（1）；（2）；（3）；（4）.2111i n n n +∞=+∑1i)2nn n n ∞=+∑1(35i)!n n n ∞=+∑/21(1i)2cosi n n n n ∞=+∑解 （1）原式=，显然发散，而收敛.故原级数发1111i (1)n n n n n ∞∞==+-⋅∑∑11n n ∞=∑11(1)n n n ∞=-∑散.（2）分离的实部和虚部很困难，但由于，当(1i)2n n n +(1i)2nnn n n +=时，因为n →∞.1→<103所以级数收敛，即原级数是绝对收敛的.(1i)2n n n+∑（3）同上，由于，当时，，所以/2(35i)34!!nn n n +=n →∞(1)/2/23434/0(1)!!n n n n +→+级数收敛，所以原级数绝对收敛.1(35i)!nn n ∞=+∑（4）因为，而收敛，所以收敛，/2(1i)1222cosi ch e e e n n n n n n n -+==<+11e n n ∞=∑1(1i)!nn n ∞=+∑即原级数绝对收敛,3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：（1）；（2）；（3） （4）.1i nn n∞=∑2i ln nn n ∞=∑0(65i)8nnn ∞=+∑0cosi 2nn n∞=∑解 （1）一般项，而，i 11cos isin cos isin2222nn n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos 2n n n π∞==∑，为收敛的交错级数，所以收敛. 但11(1)2k k k ∞=-∑11111sin (1)221k n k n n k π∞∞-===--∑∑1i nn n ∞=∑，发散，故条件收敛.i 1n n n ≥1i nn n ∞=∑1i n n n∞=∑（2）一般项，而，i 1cos isin lnn ln 22n n n n ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭2111cos (1)ln 2ln(2)k n k n nk π∞∞===-∑∑为收敛的交错级数，所以收敛. 但2111sin (1)ln 2ln(21)kn k n n k π∞∞===-+∑∑2i ln n n n∞=∑，发散，故条件收敛.i 11(2)ln ln n n n n n =≥≥2i ln nn n ∞=∑2i ln n n n ∞=∑（3）一般项，其公比的绝对值，所以(65i)65i 888nn n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭65i 88+65i 188+=<104绝对收敛. 因而也收敛.1(65i)8nnn∞=+∑（4）一般项不趋于0（当时）（因为cosi1e e1e112222222en nn nn nn-+⎛⎫⎛⎫=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n→∞对所有成立），所以级数发散.1e1112222e2n n⎛⎫⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n1cosi2nnn∞=∑4. 求下列幂级数的收敛半径（1）（为正整数）；（2）；1npnzn∞=∑p21(!)nnnnzn∞=∑（3）；（4）；(1i)n nnz∞=+∑i/1e n nnzπ∞=∑（5）；（6）.1icosh(1)nnzn∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑1ln innzn∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑解（1）一般项系数，即，所11()pn pC nn==→→∞lim1n→∞=以收敛半径.1R=（2），所以收211||||(!)111,,10e0||||111nnn nn nnn nC Cn nCn C C n nn→∞+++⎛⎫===⋅+−−−→⋅=⎪+⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭敛半径.R=（3），收敛半径.(1i)|1i|nnnC=+=+==R=（4），收敛半径.i/e1,1nnnCπ===1R=（5），收敛i/i/11lim cos||i1111cosh(e e)cos,lim112||1lim cosnn n nnnnnC nCn n Cn→∞-+→∞→∞⎛⎫+==+====⎪⎝⎭半径.1R=si nga 105（6），即1110()(ln i )|ln i |ln i2n C n n n n π====→→∞+，收敛半径.0n =R =+∞5. 求下列幂级数的收敛半径：（1）； （2）.121121(i)2n n nn n z ∞--=--∑(1)1i (1)nn n n z n ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑解 （1）因为，按函数项级数定义，有，2121211(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n nn z f z z f z n z ++-+→∞→∞+==-当时，级数才绝对收敛，所以. 于是，级数的收敛半径2112z <z <R =（2）因为10,|1|1;1lim ,|1| 1.n n n n z z z n+→∞-≤-⎧=⎨∞->⎩所以，当时级数绝对收敛，于是，级数的收敛半径为.11z -≤1R =评注 这两个级数都是缺项级数，因此不能直接套用公式，要用类似实数项级数的达朗贝尔比值法求或用柯西根值法求.6. 求出下列级数的和函数.（1）； （2）.(1)nn n z∞=+∑11(21)nn n z ∞-=-∑解 先求收敛半径，再求和函数（1），故收敛半径.由逐项积分的性质，得12limlim 11n n n n c n c n +→∞→∞+==+1R =.10(1)d 1z nn n n zn z z z z∞∞+==+==-∑∑⎰所以，，21(1)1(1)nn z n z z z ∞='⎛⎫+== ⎪--⎝⎭∑1z <106（2），收敛半径.1121lim lim 221n n n n nc c ++→∞-==-12R =1111111111(21)22(2)nn n n n n n n n n n n zzzz z ∞∞∞∞∞-----=====-=-=--∑∑∑∑∑.11112121(12)(1)2z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-=⋅< ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭7. 幂级数能否在收敛而在发散？2(2)nn C z ∞=-∑0z =3z =答 不能.由Abel 定理，在收敛的幂级数必在圆域0z =2(2)n n C z ∞=-∑内处处收敛，而在圆域内，所以幂级数不|2||02|2z -<-=3z =|2|2z -<0(2)n n n C z ∞=-∑能在收敛而在发散.0z =3z =8. 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1.0nn C∞=∑0||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑证 级数收敛，相当于幂级数在处收敛. 于是由阿贝尔（Abel ）定nn C∞=∑0nnn C z∞=∑1z =理，对于满足的，级数必绝对收敛.从而该级数的收敛半径.但若||1z <z 0nnn C z∞=∑1R ≥时，幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别地在处也绝对收敛，1R >0n n n C z ∞=∑||z R <1()z R =<即收敛，这显然与已知矛盾. 故幂级数的收敛半径.1||nn C∞=∑0n n n C z ∞=∑1R =复变函数作业13 幂级数的和函数 泰勒级数1. 把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径：z （1）； （2）； （3）（4）；311z+221(1)z +2cos z sinh z （5）； （6）； （7）；（8）.cosh z 22e sin z z 1ez z -1sin1x-107解 （1）由易知，，收敛半径01(1)(||1)1n nn z z z ∞==-<+∑331(1)(||1)1n n n z z z ∞==-<+∑.1R =（2）由两边求导得，所以01(1)1n n n z z ∞==-+∑1211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞-=-=-<+∑，收敛半径.12(1)2211(1)(||1)(1)n n n nz z z ∞--==-<+∑1R =（3）由得，收敛半径20(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑240(1)cos (||)(2)!n n n z z z n ∞=-=<+∞∑.R =+∞（4）由及得1e (||)!zn n z z n ∞==<+∞∑e e sinh 2z zz --=21000111(1)1(1)1sinh 2!!2(!)(21)n n n n n k n n n k z z z z z n n n k ∞∞∞∞-====⎛⎫---=-== ⎪-⎝⎭∑∑∑∑，收敛半径.(||)z <+∞R =+∞（5）同上面（4），，20011(1)1cosh (e e )(||)22(!)(2)!n z z n kn n z z z z n k ∞∞-==+-=+==<+∞∑∑收敛半径.（也可直接由结果4）经过两边求得得到）.R =+∞（6）由得2222222i i (1+i)(1i)11e sin e (e e )(e e )2i 2iz z z z z z z --=⋅-=-222220001(1i)(1i)(1i)(1i)e sin 2i !!2i(!)n n n n z n n nn n n z z z zn n n ∞∞∞===⎡⎤+-+--=-=⎢⎥⎣⎦∑∑∑而(1i)(1i)cos isincos isin 4444n n n n n n n n ππππ⎛⎫⎛⎫+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin4n n π=故g ni r108，收敛半径.220e sin |)z n z z ∞==<+∞R =+∞（7）由两边求导得：两边再求导得：011n n z z ∞==-∑1211(1)n n nz z ∞-==-∑，两边再求导得，... ... (23)22!(1)(1)n n n n z z ∞-==--∑(1)1(1)!(1)(2)[(2)](1)n k k n k k n n n n k z z ∞--=--=-----∑ 即11(1)(2)[(2)](1)(1)!k n k n k z n n n n k z z k ∞+=-----=--∑(1)(2)(3)[(1)](1)!n n k n n n n k z k ∞=-----=-∑ 1 (||1)(1,2,3,)1n n k n z z k k ∞=-⎛⎫=<= ⎪-⎝⎭∑ 故100011(1)(1)e1!1!(1)!kzk k kn z kk k k n k n z z zk k z k z k ∞∞∞∞-====-⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑111(1)1(||1)1!kn nn k n z z k k ∞==⎡-⎤⎛⎫-=+=<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑∑收敛半径.1R =（8）由结合，的1sin sin 1sin1cos cos1sin 1111z z z z z z z ⎛⎫=+=+⋅ ⎪----⎝⎭cos z sin z 展开式，令（）0(1),2 cos ,(2)!0,2 1 kkk j k j k z z k j k αα∞=⎧-=⎪==⎨⎪=+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = （）00,2 sin ,(1),2 1 (21)!k kk j k j k z z j k k ββ∞==⎧⎪==-⎨=+⎪+⎩∑当时;当时,0,1,2,k = 可知1092cos 111kk k z z z z α∞=⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭∑ 2111nk k n k n z k α∞∞==-⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭∑∑22111nn k n k n z k α∞==⎧-⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑而221(1), 0,(0,1,2,)(2)!k kk k k αα+-=== 222111121n nk k k k n n k k αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦==--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑211(1),(2,3,)21(2)!n k k n n k k ⎡⎤⎢⎣⎦=-⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∑ 所以2211(1)cos 1 (||1)211(2)!n k nn k n z z z k z k ⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+<⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑类似地111sin 111kn k k k k n k n z z z k z z ββ∞∞∞===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑1111n n k n k n z k β∞==⎧-⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭∑∑12101(1),(||1)2(21)!n k nn k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑故122211(1)sin sin1sin1211(2)!n k n n k n z k z k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪=+⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑12101(1)cos1,(||1)2(21)!n k n n k n z z k k -⎡⎤⎢⎥∞⎣⎦==⎧⎫-⎛⎫-⎪⎪+<⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑∑收敛半径.1R =2. 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：0z （1）； （2）；01,11z z z -=+0,2(1)(2)zz z z =++110（3）； （4）021,1z z =-01,1i 43z z=+-（5）；（6）.0tan ,4z z π=0arc tan ,0z z =解 （1）11111212z z z z --=⋅-++201(1)(1)22nn n z z ∞=--=-∑，半径.110(1)(1)2n n n n z ∞++=-=-∑11|1|22z z ⎛-⎫<-< ⎪⎝⎭不2R =（2）21(1)(2)21z z z z z =-++++111122231143z z =---++当，即时，214z -<|2|4z -<01(1)(2)2414nnn n z z ∞=-=--+∑当，即时，213z -<|2|3z -<01(1)(2)2313nnn n z z ∞=-=--+∑故当时，上面两展开式同时成立，即有|2|3z -<001(1)1(1)(2)(2)(1)(2)2433n n nnn n n n z z z z z ∞∞==--=---++∑∑ 211021(1)(2)43n n n n z ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑收敛半径.3R =（3）由111111(1)z z z ==-=-+-+0(1) (|1|1)n n z z ∞=-++<∑两边求导得，半径.12111(1) (|1|1)n n n z z z z ∞-='⎛⎫=-=++< ⎪⎝⎭∑1R =（4）1143(13i)3[(1i)]z z =----+11313i 1[(1i)]13iz =⋅---+-111013[(1i)]13i 13i nnn z ∞=⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭∑这里或3[(1i)]113iz -+<-|13i ||(1i)|3z --+<=R =（5）用公式求；()0()!n n f z C n =0:tan 14n C C π==；214(tan )sec 2,24z z C ππ='===；2244(tan )2sec tan4,2442!z z C πππ=''====，；得244(tan )2sec tan sec 16444z z ππππ=⎛⎫'''=+= ⎪⎝⎭31683!3C ==438tan 1224434z z z z πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭函数有距最近的奇点，其距离就是收敛半径，即. 上面sin tan cos z z z =4π2π4πR 4R π=展开式成立的范围为. 注意，由tan z 44z ππ-<sin 44tan cos 44z z z ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin cos 44cos sin 44z z z z ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合与的展开式用幂级数的除法可得到一般展开式，这里从略.sin z cos z （6）由，两边积分即得221(arctan )(1)(||1)1n n n z z z z ∞='==-<+∑，半径21(1)arctan (||1)21n n n z z z n ∞+=-=<+∑1R =3. 将函数展成z 的幂级数（至项）.2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5z112解 （1）用直接展开法，，，，2()3sin 2z f z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)0f =2()sin 3cos 2z f z z z z ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭(0)3f '=，,2()2cos 2sin sin 2z f z z z z z ''=--(0)0f ''=，，2()3sin cos 2z f z z z z '''=--(0)0f '''=，，2(4)()3sin 4cos sin 2z fz z z z z =--+(4)(0)0f =，，2(5)()7cos 5sin cos 2z fz z z z z =-++(5)(0)7f =-所以，=，.()f z 2573sin 325!z z z z ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ z <+∞（2）用间接展开法. 因为，而()f z =23sin sin 2z z +213511sin (1)3!5!(21)!n nz z z z z n +=-+-+-++所以 213511()3(1)3!5!(21)!n nz f z z z z n +⎛⎫=-+--+ ⎪+⎝⎭，.2213511(1)23!5!(21)!n nz z z z z n +⎛⎫+-+-+-+ ⎪+⎝⎭5735!z z =-+ z <+∞4. 求在的泰勒展开式（到项）并指出其收敛半径.()In(1e )zf z -=+0z =4z 解 用直接展开法求，；，；()In(1e )z f z -=+(0)In2f =1()1e z f z -'=+1(0)2f '=-，；，；2e ()(1e )z z f z ''=+21(0)2f ''=3e (1e )()(1e )z z zf z -'''=+(0)0f '''=113，.2(4)4e (14e e )(1e )z z z z f-+=+(4)31(0)2f =-所以.2423111In(1e )In222! 24! 2z z z z -+=-+-+ 由于在时没有定义，所以其奇点为1e ln(1e )ln ezz z-⎛⎫++= ⎪⎝⎭10ze +=.离的最近一个奇点为，其距离为，故收敛半径(21)i(0,1,)k z k k π=+=± 0z =i k z π=π.R π=5. 将函数在中展开为泰勒级数（到项）21()1f z z=+1z -<4(1)z -解 只能用直接展开法，，，，21()1f z z =+1(1)2f =222()(1)z f z z -'=+1(1)2f '=-，，，，22326()(1)z f z z -+''=+1(1)2f ''=3242424()(1)z z f z z -'''=+(1)0f '''=，.4(4)2524240120()(1)z z fz z -+=+(4)(1)3f =-所以 ，.21()1f z z =+241113(1)(1)(1)2244!z z z =--+---+ 1z -<6. 展开为的幂级数.21()(2)f z z =-(1)z -解 因为，所以可利用22211111(2)[3(1)]93z z z --⎡⎤==+⎢⎥++-⎣⎦114式，于是2(1)1(1)(1)(1)2!!nmz z z mz m m m m m n n +=++-++--+ 23223111(1)(1)1223234(2)932! 33! 3z z z z ⎡⎤---=-⋅+⋅-⋅⋅+⎢⎥+⎣⎦，.2312(1)(1)4(1)193327z z z ⎡⎤---=-+-+⎢⎥⎣⎦13z -<7. 求的麦克劳林级数.()e In(1)zf z z =+解 因为2311e 1,(||).2!3!!nzz z z z z n =+++++<+∞ 231In(1)(1),|| 1.23nn z z z z z z n-+=-+++-+< 所以2323()12!3!23z z z z f z z z ⎛⎫⎛⎫=++++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，.2351132340z z z z =++++ 100(1)(1)()!kn n k z k n k ∞∞+==⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭∑∑1z <因为，是奇点，所以确定.1z =-1R =评注 当被积函数可以分解为几个已知展开式的函数地乘积时，可以采用此种方法.乘积项的确定一般用柯西乘积确定.缺点是不易写出幂级数通项，所以一般只写出展开式的前四至五项.8. 分别将和展为的麦克劳林级数.e cos zz e sin zz z 解 用组合法求解. 因为和均在复平面上解析，利用欧拉公式，得e sin zz e cos zz115(1i)e cos ie sin e (cos isin )e z z z zz z z z ++=+=[cos(/4)isin(/4)]ππ+=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭同理(1)e cos ie sin e (cos isin )ezzz i zz z z z --=-=0cos isin44nn n n z ππ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭两式相加除2得 ；e cos cos 4!nz nn n z z n π∞==∑两式相减除2i 得 0e sin sin 4!nznn n z z n π∞==⋅∑复变函数作业14 洛朗级数1. 把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数：（1）；21,1||2(1)(2)z z z <<+-（2）；；21,0||1(1)z z z <<-0|1|1z <-<（3）；；1,0|1|1(1)(2)z z z <-<--1|2|z <-<+∞（4），；11e z-1||z <<+∞（5），在以为中心的圆环域内；21(i)z z -i （6），在的去邻域内；1sin1z-1z =（7）.(1)(2),3||4,4||(3)(4)z z z z z z --<<<<+∞--解 （1）222111121(1)(2)525151z z z z z z =--+--++116222111112111110551112z z z z z =--⋅⋅-⋅⋅-++2220001111(1)21(1)10255n n n n n nn n n z z z z z∞∞∞===--=--⋅-⋅∑∑∑.2122000111(1)2(1),(1||2)10255n nn n n n n n n z z z z∞∞∞++===--=---<<∑∑∑（2）当时，由两边求导得0||1z <<111n n z z ∞==-∑1211(||1)(1)n n nz z z ∞-==<-∑所以.22211111(2)(1)(1)n nn n nz n z z z z z ∞∞-==-=⋅==+--∑∑当时0|1|1z <-<011(1)(1)11n n n z z z ∞===--+-∑从而222111(1)(1)(1)(1)n n n z z z z z ∞-==⋅=--=--∑2(1)(1)nnn z ∞=---∑（3）111(1)(2)21z z z z =-----当时，，所以0|1|1z <-<011(1)21(1)n n z z z ∞=-==-----∑0111(1)(1)(1)(2)1nnn n z z z z z ∞∞==--=--=-----∑∑当时，1|2|z <-<+∞11711111212z z z =⋅=--+-1001(1)(1)2(2)(2)n nnn n n z z z ∞∞+==--=---∑∑从而1110111(1)(1)(1)(2)2(2)(2)n n n n n n z z z z z +∞∞++==--=-=-----∑∑（4）当时，1||z <<+∞.011111111n n z z z z z∞==-⋅=-=--∑12311111n n zz z z ∞+=⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭∑ 于是231123232311111111111e12!3!zz z z z z z z z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭234111111112!3!4!z z z z=---++ （5）此题中，以为中心的圆环域有两个：与.i 0|i |1z <-<1|i |z <-<+∞当时，0|i |1z <-<01111i i (i)i i i i 1in n n z z z z ∞===⋅=----++∑两边求导得，于是11211i (i)n n n n z z ∞+-==-∑12211i (i)(i)n n n n z z z ∞+-==--∑当时，1|i |z <-<+∞111i i 1iz z z =⋅=-+-1001(1)i (1)i (i)(i)n n n n n n n z z z ∞∞+==--=---∑∑两边求导得118，于是2201(1)(1)i (i)n n n n n z z ∞+=-+=-∑2301(1)(1)i (i)(i)n nn n n z z z ∞+=-+=--∑（6）当时，即在的去心邻域内：0|1|z <-<+∞1z =21011(1)1sin sin 11(21)!(1)n n n z z n z ∞+=-=-=---+-∑（7）(1)(2)621(3)(4)43z z z z z z --=+-----当时，3||4z <<(1)(2)612113(3)(4)4114z z z z z z z--=------0031211324n n n n n n z z z ∞∞===--∑∑211311232nnn n n n z z ∞∞++===--∑∑当时，4||z <<+∞(1)(2)6121143(3)(4)11z z z z z z z z--=+-⋅----006121143n n n nn n z z z z ∞∞===+-∑∑211111(3223)n n nn z ∞--==+⋅-⋅∑2. 将在内展为洛朗级数.1()e 1zf z z=-01z <-<+∞解 在，内01z <-<+∞1(1)11e e 11z z z z +-=--2e 111(1)(1)(1)12!!nz z z z n ⎡⎤=-+-+-++-+⎢⎥-⎣⎦.1111e 1(1)(1)12!!n z z z n -⎡⎤=-++-++-+⎢⎥-⎣⎦3. 求出使洛朗级数收敛的圆环域.其中(2)nnn c z +∞=-∞-∑119，，，01c =1!n n c n n =111|2n c n-=+++ 1,2,n = 解 要将洛朗级数分为正幂部分和负幂部分和负幂部分两个幂级数，分别求出它们的收敛半径，然后确定使洛朗级数收敛 的圆环域..(2)nn n c z ∞=-∞-∑1111!1(2)12)2n nnn n n z z n n ∞∞-==⎛⎫=+++-++- ⎪⎝⎭∑∑ 其中的收敛半径为1111(2)2nn z n ∞-=⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭∑ .11112lim lim 1111121n n n n c n R c n →∞→∞+++===+++++ 的收敛半径为.1!2)nn n n z n ∞=-∑11lim lim 1e nn n n n c R c n →∞→∞+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以，由，得收敛圆环域为111r R ==12e z <-<4. 在内，将展成洛朗级数.01z <-<+∞()sin 1zf z z =-解 .sinsin 111z z z z ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭11sin1cos cos1sin 11z z =+--而 ,2011cos (1)(1)12!n nn z z n ∞-==---∑(21)011sin (1)(1)1(21)!n n n z z n ∞-+==---+∑故 23cos1sin1cos1sinsin1112! (1)3! (1)z z z z z =+--+---- 2sin1(1)(2)! (1)nn n z +--21cos1(1)(21)! (1)nn n z ++-++-5. 如果为正向圆周，求积分的值. 设为：C ||3z =()d Cf z z ⎰A ()f z （1）；（2）；（3）（4）1(2)z z +2(1)z z z++21(1)z z +(1)(2)zz z ++120解 （1）.当时，1111(2)22z z z z ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭2||z <<+∞.11112(2)221z z z z z=-⋅+=++11320(1)21212n n n n z z z z -∞+=---+=++∑ 由此可见展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z10C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 0Cf z z C π-==⎰A （2）当时，1||z <<+∞221111111(1)11z z z z z z z z z+=+⋅=+⋅=+++2211111z z z z ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭展开式中项的系数，而且圆周在内，所以由公式1z11C -=||3z =1||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A （3）当时，1||z <<+∞.10011(1)(1)1n nn n n n z z z z∞∞+==--==+∑∑两边求导得，于是，2201(1)(1)(1)n n n n z z ∞+=-+=+∑2301(1)(1)(1||)(1)n n n n z z z z ∞+=-+=<<+∞+∑展开式中项的系数，由公式1z10C -=1()d 2i 0C f z z C π-==⎰A （4）（当时）21(1)(2)21z z z z z =-++++2||z <<+∞2222411111z z z z z z ⎛⎫⎛⎫=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 213z z=-+ 展开式中项的系数，而且圆周在内，由公式1z11C -=||3z =2||z <<+∞1()d 2i 2iCf z z C ππ-==⎰A121复变函数作业15 第4章综合练习1.命题“复数项级数与都发散，则级数和也发散”1nn α∞=∑1nn β∞=∑1()nn n aβ∞=±∑1n n n αβ∞=∑是否成立？为什么？解 不成立. 因为运算可以消除使级数发散的因素.例如，，，则和都发散，但21i n n n α=+21in n n β=+-1n n α∞=∑1n n β∞=∑和都收敛.若令，则2112i ()n n n n n αβ∞∞==+=∑∑241111n n n n n n αβ∞∞==⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∑∑21i n n n β=-也收敛.2112i()n n n n n αβ∞∞==-=∑∑2. 下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.（1）；（2）；（3）；（4）.1i 2nn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭1chi n a n n =0i 2kn n k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1i 22en n a π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=解 先化为复数形式，然后考察时，极限是否存在.n →∞（1）因为，.所以cos isin 44nnn a ππ⎤⎫+=⎥⎪⎭⎦cos isin 44n n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭lim 0n n a →∞=数列收敛，极限为0.{}n a （2）因为，所以数列收敛，极限为0i i 1e e 1cos ,lim 02n n n n n a n a n n-→∞+=⋅=={}n a （3）因为，当时,所以数列收敛，极限为.0i 2knn k a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n →∞22i n a →-{}n a 22i -（4）,当时.所以数列收敛，11cos isin 2222n a n n ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n →∞i n a →-{}n a 极限为i-3. 判断下列级是否收敛? 是绝对收敛还是条件收敛?（1）；（2）；（3）；（4）.0(3)!n n i n ∞=∑1!n n n n ∞=∑/1e !i n n n π∞=∑115i 2nn ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑n122解（1）因为，而当，，所以收敛，(3i)3!!n n n n ≤n →∞1133/0(1)!!n n n n ++→+0(3)!nn i n ∞=∑原级绝对收敛.（2）因为，所以原级数收敛.1(1)!!1/1(1)en n n n n n ++=<+（3）因为，,1cos isin n n n n ππα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1111cos i sin n n n n nn n ππα∞∞∞====+∑∑∑两个级数不能保证原级数收敛.所以原级数发散.（4）因为，不趋于零（当时），所以原级发散.nn α=lim n αn →∞4. 求幂级数的收敛半径.21(i)1sin n n n n z n -∞→∞⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭∑解 因为含有幂次，用根值法n c n （等价无穷小）n n 1lim 1sin nn n -→∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，收敛半径.(1)11lim 1e n n n ⋅--→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭e R =5. 证明：如果存在（），下列三个幂级数有相同的收敛半径：1limn n nC C +→∞≠∞11,,.1n n n n n n C C z z nC z n +-+∑∑∑证设，则由，易知，1lim()n n n C l C +→∞=≠∞11||n n n n C C l l C C ++-≤-1lim ||()n n nCl C +→∞=≠∞记.||l ρ=（1）的收敛半径.n n C z ∑11R ρ=（2）一般项系数（项系数），于是11n n C z n ++∑nz 1n nC a n-=123，即，由公式得其收敛半径.11||||11n n nn C n n Cαα+-=⋅→⋅+ρρ=1lim n n nαρα+→∞=21R ρ=（3）一般项系数于是，1n n nC z -∑1(1),n n n C β+=+121||211n n nn C n n C βρρβ++++=⋅→⋅=+即，收敛半径.1limn n nβρβ+→∞=31R ρ=故三个幂级数有相同的收敛半径.6. 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的nnn C z∞=∑0z 闭区域上绝对收敛.证设级数在收敛圆周上一点处绝对收敛（为收敛半径），则nnn C z∞=∑||z R =0z R 收敛且. 于是对收敛圆所围成的闭区域上任一点，都有00||n n n C z∞=∑0||z R =||z R ≤z 0||||||||||n n n nn n n n C z C Z C R C z =≤=由比较判别法得收敛，即在上绝对收敛.0||nn n C z∞=∑0n n n C z ∞=∑||z R ≤7. 求幂级数的收敛半径.[2(1)]n n nn z∞→+-∑解 用比值法和极值法都不能求得R ，故用柯西-哈达玛法，lim[2(1)]3n n →∞+-=所以，收敛半径.13R =8. 求幂级数的收敛半径.10,0)i nn nn z a b a b ∞=>>+∑解 用根值法221/21()n n nn a b +124因为 ,，所以{}{}221/21/2max ,()2max ,nn n n a b ab a b ≤+≤lim 1n →∞=.{}221/2lim()max ,n n n n a b a b →∞+=于是，级数的收敛半径为.{}max ,R a b =9. 求下列级数的和函数（1）;（2）.111(1)n n n nz∞--=-∑20(1)(2)!nnn z n ∞=-∑解 （1），收敛半径.由逐项积分性质，得11limlim 1n n n n c n c n+→∞→∞+==1R =.111(1)d (1)1z nn n n n n z nz z z z∞∞-==-=-=+∑∑⎰所以.1211(1)11(1)nn n z nzz z z ∞-='⎛⎫-==⋅< ⎪++⎝⎭∑（2）. 故收敛半径.11limlim 0(21)(22)n n n c c n n +→∞==++R =∞设级数和函数, 进行逐项求导，得20()(1)(2)!nnn z f z n ∞==-∑，，所以有 ,211()(1)(21)!n nn z f z n -∞='=--∑221()(1)(22)!n nn z f z n -∞=''=--∑()()f z f z ''=-即有微分方程 .解得 待定.()()0f z f z ''+=()cos sin ,,f z A z B z A B =+因为，得，200(0)(1)1(2)!nn n z z f A n ∞==⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦∑1A =得B =0，21010(0)(sin cos )(1)0(21)!n nz n z z f z B z n -∞===⎡⎤'=-+=-=⎢⎥-⎣⎦∑故 .20()(1)cos (2)!nnn z f z z n ∞==-=∑12510. 证明级数，沿实轴绝对收敛.222222221(1)(1)nz z z z z z z ++++++++ 证 若，级数绝对收敛.0z =若，取任意不为零实数时，有. 所以，级数收敛. 由于0z ≠2111z <+201(1)nn z ∞=+∑也是实数，因而也收敛.2z 220(1)nn z z ∞=+∑11. 将分别展为和的泰勒级数.1()23f z z =-z 1z -解 即分别取和.于是00z =01z =（1）222111122123312/3333z z z z ⎡⎤-==-+++⎢⎥--⎣⎦，，即 .232323412223333z z z =----- 1023n n n n z ∞+==-∑213z <32z <（2），, 即 .112312(1)z z =----0[2(1)]n n z ∞==--∑2(1)1z -<112z -<12. 将展为的幂级数，，为不相等的复数.1()f z z b=-()z a -a b 解 先在中构造出的因式再展开()f z ()z a -1111()/()z b b a z a b a -=⋅-----211z a z a b a b a b a ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，.101()()nn n z a b a ∞+==---∑1z a b a -<-13. 将在下列圆环域内展为洛朗级数：1()(1)(2)f z z z =--（1）; （2）; （3）; （4）.12z <<2z <<+∞011z <-<11z <-<+∞解 ,11()21f z z z =---126（1）在内，，，12z <<11z <12z<故 .1111()21/211/f z z z z =-⋅---0011122n nn n z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1100112n n n n n z z∞∞++===--∑∑（2）在内，，，故2z <<+∞11z <21z<.0011121211()12/11/n nn n f z z z z z z z z z ∞∞==⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑1021n n n z ∞+=-=∑（3）在内011z <-<1111()211(1)1f z z z z z -=-=------01(1)1n n z z ∞==----∑ .211(1)(1)(1)1n z z z z =----------- （4）在内，，11z <-<+∞111z <-11111()(1)11111/(1)1f z z z z z z =-=⋅-------- 23111111(1)(1)(1)1n z z z z z =+++++------ 23111(1)(1)(1)nz z z =++++--- 第四章习题课教与学参考例1 证明：0,||1,||1lim 1,1.||1,1nn a a a a a a →∞<⎧⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=≠⎩不不不证 令，其中，则i e(cos isin )r r θαθθ==+||,arg r αθα==127.(cos isin )n n r n n αθθ=+（1）当时，非负实数. 从而，即||1α<1,lim 0nn r r →∞<=|0|0()n nr n α-=→→∞.lim 0n n α→∞=（2）当时，，由1）的结论，从而有.||1α>11α<1lim 0nn α→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭lim n n α→∞=∞（3）当时易知.1α=1,lim 1n nn αα→∞==（4）当时，.因与||1,1αα=≠1,cos isin (0)nr n n αθθθ==+≠lim cos n n θ→∞均不存在，所以不存在.lim sin n n θ→∞lim n n α→∞例2 下列说法是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；（3）每一个在点连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数.0z 0z 答 （1）不正确. 幂级数在收敛圆内的点处收敛而且绝对收敛，而在收敛圆周上可能处处收敛（如），也可能处处发散（如），还可能既有收敛点也有发散点（如211n n z n ∞=∑1nn z ∞=∑）.11nn z n∞=∑（2）不正确. 和函数在收敛圆内是解析函数，在收敛圆周上至少有一个奇点.（3）不正确. 在点解析的函数才一定可以在的邻域内展开成泰勒级数. 在点连0z 0z 0z 续的函数（更进一步在点可导的函数）不一定能在的邻域内展开成泰勒级数，例如0z 0z 在的邻域内就不能展开成泰勒级数.2()||f z z =00z =例3 如果的收敛半径为，证明的收敛半径.[提示：nnn C z∞=∑R 0(Re )n nn C z∞=∑R ≥]|(Re )|||||n n n n C z C z ≤128证 由的收敛半径为可知，对收敛圆内任一点，不但收nnn C z∞=∑R ||z R <0z 0n n n C z∞=∑敛而且绝对收敛，即收敛. 又||nn n C z∞=∑0000|(Re )||Re |||||||||n n n nn n n n C z C z C z C z =≤=结合比较判别法可得收敛，即绝对收敛，因而也是收敛的. 这00|(Re )|nnn C z∞=∑0(Re )nn n C z ∞=∑样幂级数在内任一点收敛（而且是绝对收敛的），它的收敛半径R.(Re )nnn C z∞=∑||z R <≥例4 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂||z R <(,)R R -()f z z 级数时，展开式的系数都是实数？答因为当在上取实数值且可导时其导数()f z (,)R R -在上为实数值（只需让沿实轴趋于零便知），这样()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆(,)R R -z ∆依次下去可知当在内解析（当然在上有各阶导数），在上取实()f z ||z R <(,)R R -(,)R R -数值时在上取实数值，特别地()()(0,1,2,)n fz n = (,)R R -为实数，即展开式的系数都是实数.()(0)/!(0,1,2,)n n f n C n == 例5 函数能否在圆环域内展开成罗朗级数？为什么？1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||(0)z R R <<<<+∞答 不能. 由罗朗定理，能否在内展开成罗朗级数等价于能1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭否在内解析. 而以的点为奇点，0||z R <<1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1cos 0z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,1,2,)2k z k k ππ==±±+且，所以在任何圆环域内都有的奇点. 在lim 0k k z →∞=0||(0)z R R <<<<+∞1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭1tan z ⎛⎫⎪⎝⎭129内不解析，从而在其内不能展开成罗朗级数.0||z R <<例6 若,与都收敛, 证明级数绝对收敛.Re()0n α≥1nn α∞=∑21nn α∞=∑21nn α∞=∑证 因为,若收敛,则也收敛,从而也收敛. 但是i n n n a b α=+na∑21nn α∞=∑221()n n n ab ∞=-∑,22221112()nnnn n n n a a b α∞∞∞===--=∑∑∑所以, 级数收敛.21n n α∞=∑例7 讨论级数的敛散性.1()n n n zz ∞+=-∑解 讨论级数的部分和.11()1n k k n n k S zz z -+==-=-∑当时，，故级数收敛于1；当时，，故级数发散1z <lim 1n n S →∞=--1z =lim 0n n S →∞=0；当时，不唯一，故级数收敛于；1z =-lim n n S →∞当，且时，即时，.1z =1z ≠i e (0)z θθ=≠cos isin nz n n θθ+因为和的极限都不存在，所以不存在，级数发散；cos n θsin n θlim n n S →∞当时，级数显然发散.1z >例8 求下列幂级数的收敛半径：（1）； （2）（p 为正整数）；!1n n z∞=∑0p nn nz ∞=∑（3）； （4），1!n n n n n ∞=∑20(1)n nn q z q ∞=<∑（5）21223211111223232323n nn n n n z z z z z --+++++++⋅⋅ng130解（1）因为，所以，收敛半径.1,!,0,!kk nck n=⎧=⎨≠⎩11R=（2）因为.所以，收敛半径.1/1/lim()lim()1p n n pn n nn n→∞→∞===1R=（3）因为.所以，收敛半径.1(1)!!1lim/lim(1)1enn nn nn n nn n n+→∞→∞+⎛⎫==⎪++⎝⎭eR=（4）因为，所以，收敛半径2(1)21lim lim0nnnn nqqq++→∞→∞==R=+∞（5）因为，，所以2121123n nc--=2123n n nc=⋅，.于是，收敛半/(21)(1)/(21)2lim lim1/(23)n n n nn n---→+∞→∞=⋅=limn→+∞=径.R=例9 求下列级数收敛半径，并写出收敛圆周：（1）（p为正整数）；（2）；1(i)npnzn∞=-∑1(1i)n nnz∞=+∑（3）（4）.[3(1)](1)n n nnz∞=+--∑2(1)(2)!nnnzn∞=-∑解先求收敛半径，再据题写出收敛圆周（1）因为，所以，收敛半径，收敛圆周为.1lim lim11pnn nnc nc n+→∞→∞⎛⎫==⎪+⎝⎭1R=i1z-=（2）因为，所以，收敛半径.写出收敛圆周为1lim lim1inn nncc+→∞→∞=+=R=z=（3）因为是振荡的，所以由柯西-哈达玛法[3(1)]n nnc=+-，收敛半径.收敛圆周为.n n4=14R=114z-=。

复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。

为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。

我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。

按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。

复变函数第四版答案详解调和变换的第四版：1. 概念：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种更加复杂的变换法。

它最大的特点是可以有效地处理大数据集中固定和变动变量之间的关系，而且有助于更好地可视化信息。

2. 原理：这种变换主要是利用了调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性。

使用调和变换的第四版，可以根据数据集中的最大值、最小值和其他值的累计概率直方图进行变换，这样就可以更准确地绘制变量间的关系。

3. 公式：基本的形式为T(x) = Log2（x/xmin）。

其中x为变量的原始值，xmin为该变量的最小值，T表示变换后的值。

4. 优势：• 可以对大范围的数据集进行标准化，减轻可视化时数据的拉伸或压缩；• 加强小数据组之间的可视化差别；• 能够有效处理变量之间的关系，更加详细；• 有助于体现更完整的数据，同时保留数据的细节。

5. 应用：• 生物学：调和变换的第四版可以帮助研究人员分析有关基因表达或特定生物标记（如药物效应）的数据；• 地理信息系统：地理信息系统的地图可以更准确地反映由于植被或气候变化而引起的空间变化；• 金融：调和变换的第四版可以用来分析大型财务数据集，并发现有关投资可能波动的信息。

6. 缺点：由于技术复杂，计算成本可能较高，特别是在大数据集合上，同时，由于它的强依赖变量的范围，所以由于变量的范围而出现的误差。

总结：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种复杂的变换法，它的核心是利用调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性，它有助于更准确可视化变量之间的关系，并能够有效处理大数据集中固定和变动变量之间的关系。

但它也有计算成本高、与变量范围相关的误差等缺点。

p178第四章习题(一)[ 3, 4, 6, 7(4), 10, 12, 13, 14 ]3. 如果lim n→∞ (c n + 1/c n)存在( ≠∞ )，试证下列三个幂级数有相同的收敛半径：(1) ∑n≥ 0c n z n；(2) ∑n≥ 0 (c n/(n + 1))z n + 1；(3) ∑n≥ 0 (n c n)z n– 1．【解】事实上，我们只要证明下面的命题：若∑n≥ 0c n z n的收敛半径为R，则∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径也为R．从这个命题，就可以得到幂级数(1)的收敛半径与幂级数(2)的收敛半径相同，幂级数(3)的收敛半径与幂级数(1)的收敛半径相同．step1. 当R是正实数或+∞时．若| z | < R，则存在r∈ 使得| z | < r < R．因∑n≥ 0c n z n的收敛半径为R，根据收敛半径定义及Abel定理，知∑n≥ 0 | c n r n |收敛．因| (n c n)z n– 1 | = ( | n/r | · ( | z |/r)n – 1 ) · | c n r n |；而lim n→∞ ( | n/r | · ( | z |/r)n – 1 ) = 0，故∃M > 0使得0 ≤ | n/r | · ( | z |/r)n – 1≤M．所以| (n c n)z n– 1 | ≤M · | c n r n |．由Weierstrass判别法知∑n≥ 0 | (n c n)z n– 1 |收敛，所以∑n≥ 0 (n c n)z n– 1收敛．因此∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径R1≥R．特别地，若∑n≥ 0c n z n的收敛半径为+∞，则∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径也为+∞．step2. 当R是非负实数时．对任意的满足R < r < | z |的实数r，根据收敛半径定义，∑n≥ 0c n r n发散．从而∑n≥ 0 | c n r n |发散．当n > r + 1时，| c n r n | = | r/n | · | (n c n)r n– 1 | ≤ | (n c n)r n– 1 |；因此，∑n≥ 0 | (n c n)r n– 1 |发散．由Abel定理，∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径R1≤r．由r的任意性，得R1≤R．特别地，若∑n≥ 0c n z n的收敛半径为0，则∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径也为0．step3. 综合step1和step2的结论，当R为正实数时，也有R1 = R．即若∑n≥ 0c n z n的收敛半径为R，则∑n≥ 0 (n c n)z n– 1的收敛半径也为R．[这个证明中，我们没有用到条件lim n→∞ (c n + 1/c n)存在( ≠∞ )，说明该条件是可以去掉的．因为一般的幂级数并不一定满足这个条件，因此去掉这个条件来证明结论是有意义的．]4. 设∑n≥ 0c n z n的收敛半径为R (0 < R < +∞)，并且在收敛圆周上一点绝对收敛，试证明这个级数对所有的点z : | z | ≤R为绝对收敛且一致收敛．【解】设z0在收敛圆周上，且∑n≥ 0 | c n z0 n |绝对收敛．那么对于点z : | z | ≤R，都有| z | ≤ | z0|．因此级数∑n≥ 0 | c n z n |收敛，即∑n≥ 0c n z n绝对收敛．而由Weierstrass判别法知知级数∑n≥ 0c n z n对所有的在闭圆| z | ≤R上一致收敛．6. 写出e z ln(1 + z)的幂级数展式至含z5项为止，其中ln(1 + z)|z = 0 = 0．【解】在割去射线L = { z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤-1}的z平面上，能分出Ln(1 + z)的无穷多个单值解析分支(Ln(1 + z))k = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z) + 2kπi ，k∈ ．由条件ln(1 + z)|z = 0 = 0，知arg(1) + 2kπ = 0，即k = 0．所以，满足条件的分支为ln(1 + z) = ln| (1 + z) | + i arg(1 + z)．因为(ln(1 + z))’= 1/(1 + z) = ∑n≥ 0 (-1)n z n，| z | < 1．∀z : | z | < 1，从沿0到z的曲线逐项积分得ln(1 + z) - ln(1 + z)|z = 0 = ∑n≥ 0 ((-1)n/(n + 1)) z n + 1，| z | < 1；即ln(1 + z)= ∑n≥ 0 ((-1)n/(n + 1)) z n + 1，| z | < 1．因e z= ∑n≥ 0 (1/n!) z n，z∈ ，故∀z : | z | < 1，幂级数∑n≥ 0 (1/n!) z n，∑n≥ 0 ((-1)n/(n + 1)) z n都绝对收敛．故它们的Cauchy乘积收敛于它们的和函数的乘积，所以e z ln(1 + z) = z · (∑n≥ 0 (1/n!) z n)(∑n≥ 0 ((-1)n/(n + 1)) z n)，| z | < 1．设e z ln(1 + z) = z ·∑n≥ 0 c n z n，| z | < 1．则c n = ∑0 ≤k≤n(1/k!) · (-1)n -k/(n -k + 1)，n∈ ．故c0 = 1，c1 = 1/2，c2 = 1/3，c3 = 0，c4 = 3/40，...．所以e z ln(1 + z) = z+ (1/2)z2 + (1/3) z3 + (3/40) z5 + ...，| z | < 1．7. 将下列函数按z– 1的幂展开，并指出其收敛范围．(4) z1/3 ( 11/3 = (– 1 + √3 i )/2 )．【解】在割去射线L = { z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤-1}的z平面上，能分出z1/3的三个单值解析分支( z1/3)k = | z |1/3 · exp((arg(z) + 2kπ)i/3)，k = 0, 1, 2．设要展开的分支为z1/3 = | z |1/3 · exp((arg(z) + 2k0π)i/3)，0 ≤k0 ≤ 2．因为| 1|1/3 = 1，arg(1) = 0，故exp(2πi/3) = (– 1 + √3 i )/2 = exp(2k0πi/3)，所以k0 = 1．即要展开的分支为z1/3 = | z |1/3 · exp((arg(z) + 2π)i/3)．因为z1/3 = exp(2πi/3) · | z |1/3 · exp(arg(z)/3 ·i)，而主值支(1 + (z– 1))1/3 = | z |1/3 · exp(arg(z)/3 ·i)的展式为(1 + (z– 1))1/3 = ∑n≥ 0 C(1/3, n)(z– 1)n，| z– 1| < 1．所以，要展开的分支z1/3 = exp(arg(z)/3 ·i) ·∑n≥ 0 C(1/3, n)(z– 1)n= ∑n≥ 0 (– 1 + √3 i )/2 ·C(1/3, n)(z– 1)n，| z– 1| < 1．10. 设a为解析函数f(z)的至少n阶零点，又为解析函数ϕ(z)的n阶零点，试证：lim x→a f(z)/ϕ(z) = f(n)(a)/ϕ(n)(a)．【解】设f(z)与ϕ(z)在a的某邻域U= { z∈ | | z–a | < R}内的Taylor展式分别为f(z) = ∑k≥ 0 c k (z–a) k，ϕ(z) = ∑k≥ 0 d n (z–a) k，z∈U，因a为f(z)的至少n阶零点，又为ϕ(z)的n阶零点，故当k≤n – 1时，f(k)(a) = ϕ(k)(a) = 0，且ϕ(n)(a) ≠ 0．因∀k∈ ，c k = f(k)(a)/k!，d k = ϕ(k)(a)/k!；故当k≤n – 1时，c k = d k = 0，且d n≠ 0．因此，f(z) = ∑k≥n c k (z–a) k，ϕ(z) = ∑k≥n d k (z–a) k．注意到幂级数c n + c n + 1 z+ c n + 2 z2 + ...以及幂级数d n + d n + 1 z+ d n + 2 z2 + ...都在U 内收敛，设它们的和函数分别为f1(z), ϕ1(z)．则f(z) = (z–a)m f1(z)，ϕ(z) = (z–a)nϕ1(z) ( z∈U )，且f1(a) = c n，ϕ1(a) = d n ≠ 0．所以，lim x→a f(z)/ϕ(z) = lim x→a f1(z)/ϕ1(z) = f1(a)/ϕ1(a) = c n/d n = f(n)(a)/ϕ(n)(a)．12. 设f(z)在区域D内解析；在某一点z0∈D有f(n)(z0) = 0，n = 1, 2, ...．试证f(z)在D内必为常数．【解】设U = { z∈ | | z–z0| < R}⊆D，则f(z)在U内能展成(z–z0)的幂级数f(z) = ∑k≥ 0 c k (z–z0) k，其中c k = f(k)(z0)/k!．因为f(k)(z0) = 0，k = 1, 2, ...．故c k = 0，k = 1, 2, ...．因此f(z)在U内恒为常数c0．由唯一性定理，f(z)在区域D内恒为常数c0．13. (最小模原理)若区域D内不恒为常数的解析函数f(z)在D内的点z0有f(z0) ≠ 0，则| f(z0) |不可能是| f(z) |在区域D内的最小值，试证之．【解】存在z0的邻域U = { z∈ | | z–z0| < R}⊆D，使得f(z)在U内恒不为零．倘若| f(z0) |是| f(z) |在区域D内的最小值，则| f(z0) |是| f(z) |在U内的最小值．那么，| 1/f(z0) |是| 1/f(z) |在U内的最大值．而1/f(z)在U内解析，由最大模原理，1/f(z)在U内恒为常数．故f(z)在U内也恒为常数．由唯一性定理，f(z)在区域D内也恒为常数，这与题目的条件相矛盾．所以| f(z0) |不可能是| f(z) |在区域D内的最小值．14. 设D是周线C的内部，函数f(z)在区域D内解析，在闭域cl(D) = D⋂C上连续，其模| f(z) |在C上为常数．试证：若f(z)不恒等于一个常数，则f(z)在D内至少有一个零点．【解】因f(z)在cl(D)上连续，故| f(z) |在cl(D)有最大值，即存在z0∈cl(D)，使得| f(z0) | = max z∈cl(D) | f(z) |．因连续函数f(z)在闭域cl(D)上不恒为常数，故f(z)在D上也不恒为常数．由最大模原理，∀z∈D，有| f(z) | < | f(z0) |．因此z0∈∂D = C．设| f(z) |在C上为常数m，则m = | f(z0) | > 0．(反证法)若f(z)在D内恒不为零，则1/f(z)在D内解析．而在周线C上，| f(z) | = m > 0．故1/f(z)在cl(D)上连续．因1/f(z)在D内不恒为常数，因此1/f(z)也满足f(z)所满足的条件．由最大模原理，对∀z∈D，| 1/f(z) | < 1/m．由此得到m < | f(z) | < m，矛盾．[从本题的证明中可以看出，用最大模原理，可以得到如下结论：设f(z)在区域D 内解析，在cl(D)连续且不恒为常数，若| f(z) |在cl(D)上有最大值，那么| f(z) |在cl(D)上的最大值M必然在D的某个边界点取到，并且在D内总有| f(z) | < M．这时也必然有∂D ≠∅，max z∈cl(D) | f(z) | = max z∈∂D| f(z) |．我们特别强调的是条件“| f(z) |在cl(D)上有最大值”．这点对有界区域D来说，因| f(z) |是紧集cl(D)上的连续函数，因此| f(z) |在cl(D)上总是有最大值的．例如本题中的区域D是周线C的内部，当然就是有界集．但当D是无界区域时，有可能| f(z) |在cl(D)上没有最大值，也有可能∂D = ∅．另外，我们还用到了一个从分析的角度看来是很明显的结论：若f(z)在闭域cl(D)连续且不恒为常数，则f(z)在D上也不恒为常数．]p178第四章习题(二)[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ]1. 设级数∑n≥ 1f n(z)在点集E上一致收敛于f(z)，且在E上| g(z) | < M ( M < +∞)，则级数∑n≥ 1g(z)f n(z)在E上一致收敛于g(z) ·f(z)．试证之．【解】∀ε > 0，∃N∈ +，使得当n > N时，∀z∈E，| ∑ 1 ≤k≤n f k(z) -f(z) | < ε/M．此时，| ∑ 1 ≤k≤n g(z)f k(z) -g(z) ·f(z) | = | g(z) | · | ∑ 1 ≤k≤n f k(z) -f(z) | < M ·ε/M = ε．所以级数∑n≥ 1g(z)f n(z)在E上一致收敛于g(z) ·f(z)．2. 试证：在单位圆| z | < 1内，级数z + (z 2–z) + (z 3–z 2) + ... + (z n–z n– 1) + ... 收敛于函数f(z) ≡ 0，但它并不是一致收敛的．【解】当| z | < 1时，| S n(z) | = | ∑ 1 ≤k≤n (z k–z k– 1) | = | z |n → 0 ( n→∞ )．故级数在单位圆| z | < 1内收敛于函数f(z) ≡ 0．而∀n∈ +，在z = (1/2)1/n处，有| ∑n + 1 ≤k≤ 2n (z k–z k– 1) | = | z 2n–z n | = | ( z n)2–z n | = | 1/4 – 1/2 | = 1/4．因此级数在| z | < 1内不是一致收敛的．或取z n= 1 – 1/n，则| S n(z n) – 0 | = ( 1 – 1/n )n→ 1/e ( n→∞ )．因此级数在| z | < 1内不是一致收敛的．3. 试证(1) 如果∑n≥ 1v n(z) = δ绝对收敛，则| δ| ≤∑n≥ 1 | v n(z) |．(2) 对任一复数z，| e z– 1 | ≤ e | z |– 1 ≤ | z | e | z |．(3) 当0 < | z | < 1时，| z |/4 < | e z– 1 | < 7| z |/4．【解】(1) | ∑ 1 ≤k≤n v k(z) | ≤∑ 1 ≤k≤n | v k(z) | ≤∑k≥ 1 | v k(z) |．令n →∞得| δ| ≤∑k≥ 1 | v k(z) |．(2) 对任一复数z，e z– 1 = ∑n≥ 1z n/n!，其中右边的级数绝对收敛．根据(1)我们有| e z– 1| ≤∑n≥ 1 | z n/n! | = ∑n≥ 1 | z | n/n! = e | z |– 1．而e | z | = ∑n≥ 0 | z | n/n! = 1 + ∑n≥ 1 | z | n/n! = 1 + | z | ∑n≥ 1 | z | n – 1/n!≤ 1 + | z | ∑n≥ 1 | z | n – 1/(n – 1)! = 1 + e | z |，即e | z |– 1 ≤ | z | e | z |．(3) 当0 < | z | < 1时，注意到∑n≥ 1 | z | n – 1/n! ≤∑n≥ 1 1/n! = e - 1 < 7/4，因此有e | z |– 1 = | z | ∑n≥ 1 | z | n – 1/n! < 7| z |/4．因e z– 1 = ∑n≥ 1z n/n!，故(e z– 1)/z = ∑n≥ 0z n/(n + 1)! = 1 + ∑n≥ 1z n/(n + 1)!，而| ∑n≥ 1z n/(n + 1)! | ≤∑n≥ 1 | z |n/(n + 1)! ≤∑n≥ 1 1/(n + 1)! = e - 2．所以，| (e z– 1)/z | ≥ 1 - | ∑n≥ 1z n/(n + 1)! | ≥ 1 – (e - 2) = 3 - e > 1/4．故| z |/4 < | e z– 1 |．[注意(2)中e | z |– 1 ≤ | z | e | z |实际上是关于实数| z |的不等式，用数学分析容易得到∀t∈ ，e t≥ 1 + t．令t = – | z |，则e– | z |≥ 1 – | z |，即e | z |– 1 ≤ | z | e | z |．]4. 设f(z) = ∑n≥ 0a n z n (a0≠ 0)的收敛半径R > 0，且M = max | z | ≤ρ| f(z)| ( ρ< R )．试证：在圆| z | < | a0 |ρ/(| a0 | + M)内，f(z)无零点．【解】在Cauchy不等式，| f(n)(0) | ≤n! M/ρ n，故| a n| ≤M/ρ n．若| z | < ρ，| f(z) -a0 | = | ∑n≥ 1a n z n | ≤∑n≥ 1 | a n | | z | n≤∑n≥ 1M/ρ n · | z | n= M ∑n≥ 1 (| z |/ρ)n = M | z |/ρ· 1/(1 - | z |/ρ) = M | z |/(ρ- | z |)．当| z | < | a0 |ρ/(| a0 | + M)时，有| z | < ρ，并注意到函数g(t) = t/(ρ-t) = ρ/(ρ-t) - 1在区间(0, ρ)上是严格单调增的，就得到，| f(z) -a0 | ≤M | z |/(ρ- | z |)< M | a0 |ρ/(| a0 | + M) · 1/(ρ- | a0 |ρ/(| a0 | + M))= M | a0 |ρ · 1/(ρM) = | a0 |．故| f(z) | ≥ | a0 | - | f(z) -a0 | > 0，所以，f(z)在圆| z | < | a0 |ρ/(| a0 | + M)内无零点．5. 设在| z | < R内解析的函数f(z)有Taylor展式∑n≥ 0a n z n．试证：当0 ≤ r < R时，(1/(2π))⎰[0, 2π] | f(r e iθ)|2dθ= ∑n≥ 0 | a n |2r2n．【解】当| z | = r时，因为∑n≥ 0a n z n绝对收敛，故∑n≥ 0 | a n | · | z | n收敛．即∑n≥ 0 | a n | ·r n收敛，．故∑n≥ 0a n*(z*) n也绝对收敛．由Cauchy乘积定理，∑n≥ 0 | a n | ·r n与∑n≥ 0 | a n | ·r n的Cauchy乘积∑n≥ 0d n绝对收敛，其中d n = ∑ 0 ≤k≤n | a k | · | a n – k | r n．设∑n≥ 0a n z n的部分和为S n(z)，则∑n≥ 0a n*(z*) n的部分和为(S n(z))*，所以∑n≥ 0a n*(z*) n和为( f(z))*，即( f(z))*= ∑n≥ 0a n*(z*) n．由Cauchy乘积定理，∑n≥ 0a n z n与∑n≥ 0a n (z*) n的Cauchy乘积∑n≥ 0c n(z)绝对收敛于f(z) · ( f(z))* = | f(z)|2，其中c n(z) = ∑ 0 ≤k≤n a k z k·a n – k*(z*)n – k．因| c n(z) | = | ∑ 0 ≤k≤n a k z k·a n – k*(z*)n – k | ≤∑ 0 ≤k≤n | a k z k·a n – k*(z*)n – k | = d n，故∑n≥ 0c n(z)在| z | = r上一致收敛于| f(z)|2．设z = r e iθ，把| f(z)|2，c n(z)等都看成θ的函数(θ∈[0, 2π])，那么它们都是连续的．并且，∑n≥ 0c n(z(θ))在[0, 2π]上一致收敛于| f(z(θ))|2．故⎰[0, 2π] | f(z(θ))|2dθ= ∑n≥ 0⎰[0, 2π]c n(z(θ))dθ．因为在| z | = r上有z ·z* = r2，故c n(z) = ∑ 0 ≤k≤n a k z k·a n – k*(z*)n – k = ∑ 0 ≤k≤n a k z k·a n – k*(r2/z)n – k= ∑ 0 ≤k≤n a k z k·a n – k*r2(n – k) ·z k – n = ∑ 0 ≤k≤n (a k a n – k* ·r2(n – k))·z2k – n．故⎰[0, 2π] c n(z(θ)) dθ = ⎰[0, 2π] c n(z(θ)) d(z(θ))/z’(θ)= ⎰[0, 2π] c n(z(θ)) · 1/(r i e iθ)·d(z(θ)) = (1/i)⎰[0, 2π] c n(z(θ)) ·z(θ) –1·d(z(θ))= (1/i)⎰| z | = r c n(z) ·z –1·dz = (1/i)⎰| z | = r(∑ 0 ≤k≤n (a k a n – k* ·r2(n – k))·z2k – n – 1·dz．若n为奇数，则∑ 0 ≤k≤n (a k a n – k* ·r2(n – k))·z2k – n – 1中没有z–1项，因此⎰[0, 2π] c n(z(θ)) dθ = 0．若n为偶数2m，则⎰[0, 2π] c n(z(θ)) dθ= (1/i)⎰| z | = r(∑ 0 ≤k≤ 2m (a k a2m – k* ·r2(2m – k))·z2k –2m – 1·dz= (1/i)⎰| z | = r(a m a2m – m* ·r2(2m – m))·z– 1·dz= (1/i) (2πi) (a m a m*)·r2m = (2π) | a m |2 ·r2m，所以，⎰[0, 2π] | f(r e iθ)|2dθ= (2π) ∑m≥ 0 | a m |2 ·r2m．[这里我们用到了一个想法，把对实变量θ的积分，转化为对复数z的积分，是通过把θ作为积分变量z所在的曲线的参数来实现的．这种办法在后面的章节将会系统地给出．]6. 设f(z)是一个整函数，且假定存在着一个非负整数n，以及两个正数R与M，使当| z | ≥R时，| f(z) | ≤M | z |n．证明：f(z)是一个至多n次的多项式或一常数．【解】取r > R，考虑圆周| z | = r，由Cauchy不等式，当m > n时，| f(m)(0)/m! | ≤M r n/r m，令r → +∞，得f(m)(0) = 0．故f(z)在原点的Taylor展式为f(z) = ∑0 ≤k≤n f(k)(0)/k! ·z k．因此f(z)是一个至多n次的多项式或一常数．7. 设(1)f(z)在邻域K : | z–a | < R内解析，a是f(z)的m阶零点；(2)b≠a，b∈K．问函数F(z) = ⎰[a, z] f(ζ)dζ及函数Φ(z) = ⎰[b, z] f(ζ)dζ在点a的性质如何？(这里的积分路径都假定在K内．)【解】∀z∈K，我们有F’(z) = f(z)，Φ’(z) = f(z)．因此，F’(a) = ... = F(m )(a) = 0，F(m + 1)(a) ≠ 0，且F(a) = 0，故a是F(z)的m + 1阶零点．也有Φ’(a) = ... = Φ(m )(a) = 0，Φ(m + 1)(a) ≠ 0，但不一定有Φ(a) = 0．因此，a是Φ’(z)的m阶零点．[此题题意不够明确，可能是属于所谓的开放性问题或探究性问题．似乎放在积分部分更合适，当然在这里也可以用幂级数来作．]8. 设(1) 区域D含有实轴的一段L；(2) 函数u(x, y) + i v(x, y)及u(z, 0) + i v(z, 0) (z = x + i y )都在区域D内解析．试证在D内u(x, y) + i v(x, y) ≡u(z, 0) + i v(z, 0)．【解】这两个函数在L上的限制都是u(x, 0) + i v(x, 0)，因此它们在L上的限制相同．由唯一性定理，这两个函数在区域D内是完全相同的．[思考：究竟u, v是定义那个集合上的函数？]9. 设(1) 函数f(z)在区域D内解析，且不恒为常数；(2) 设C为D内任一周线，cl(I(C)) ⊆D；(3) A为任一复数．试证f(z) = A在C的内部I(C)内只有有限个根．【解】设g(z) = f(z) -A，则g(z)在区域D内解析，且不恒为常数；我们来证明g(z)在I(C)内只有有限个零点．注意到I(C)是有界集，因此cl(I(C))也是有界集，且cl(I(C))是闭集．倘若g(z)在I(C)内有无穷多个零点，那么，根据聚点原理，这些零点构成的集合Z必有聚点．而cl(I(C))是闭集，故Z的聚点仍在cl(I(C))内，因此也在D内．由唯一性定理，g(z)在区域D内为常数，矛盾．故g(z)在I(C)内只有有限个零点，即f(z) = A在C的内部I(C)内只有有限个根．10. 问| e z |在闭圆| z–z0 | ≤ 1上的何处达到最大？并求出最大值．【解】因e z 在圆| z–z0 | < 1内不恒为常数，故| e z |在圆| z–z0 | < 1内无最大值．因此，| e z |在闭圆| z–z0 | ≤ 1上最大值必然在边界| z–z0 | = 1上达到．设z0 = a + i b，a, b∈ ．设z–z0 = x + i y，x, y∈ ．在| z–z0 | = 1上，x, y满足x2 + y2 = 1．| e z | = | e a + i b · e x + i y | = | e a + i b | · | e x + i y | = e a · e x．故当x = 1时(此时y = 0)，| e z |最大，且最大值为e a + 1．因此，| e z |在点z0 + 1处达到最大值，且最大值为e a + 1．11. 设函数f(z)在| z | < R内解析，令M(r) = max | z | = r | f(z) | ( 0 ≤r < R)．试证：M(r)在区间[0, R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2 (0 ≤r1 < r2 < R)，使得M(r1) = M(r2)，则f(z)在| z | < R内是常数．【解】只要证明若f(z)在| z | < R内不恒为常数，则M(r)在[0, R)上严格单调增．∀r, s∈[0, R)，r < s．若r = 0，则M(r) = | f(0) |．因f(z)在| z | < s内不恒为常数(否则f(z)在| z | < R内恒为常数)，由最大模原理，满足| a | < s的点a不是| f(z) |在| z | < s内的最大值点．因此| f(a) |更不是| f(z) |在| z | ≤s上的最大值点．| f(z) |在| z | ≤s上的最大值必然在边界| z | = s上达到．所以M(s) = max | z | = s | f(z) | > | f(a) |．特别地，取a = 0，就有M(s) > | f(a) | = M(r)．若r > 0，设a满足| z | = r，| f(a) | = M(r)．与前面同样的论证，知M(s) = max | z | = s | f(z) | > | f(a) | = M(r)．故M(r)在[0, R)上严格单调增．。

!第一章复数与复变函数内容提要!一!复数及其代数运算和几何表示!"复数的概念定义!设!!"都是实数!我们把形如##!$$"的表达式称为复数%其中$称为虚数单位!且具有性质$&#’!!!和"分别称为复数#的实部和虚部!记为!#()"##!"#*+"##%"!#当!#,!"",时!##$"称为纯虚数%"&#当"#,时!##!$,$$视为实数!%"-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!##&!当且仅当!!#!&!"!#"&%".#当!#"#,时!称##,%&"复数的运算"!#加"减#法两个复数的加"减#法!定义为实部与实部相加"减#及虚部与虚部相加"减#!即$!$!!复变函数同步辅导及习题全解"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!/!&#$$""!/"&#%"&#乘法两个复数相乘按多项式乘法法则相乘并注意$&#’!!即"!!$$"!#$"!&$$"&##"!!!&’"!"&#$$"!!"&$!&"!#%"-#除法若#&",!将满足#&$###!的复数#定义为#!除以#&的商!记为###!#&!即#!#&#!!$$"!!&$$"&#!!!&$"!"&!&&$"&&$$!&"!’!!"&!&&$"&&%".#复数的共轭及性质设##!$$"!称!’$"为复数#的共轭复数!记为#或##!即##!’$"!它有如下性质%!#!/#&##!/#&!#!#&##!!#&!#!#"#&##!#&"#&",#&"###!###’()"##(&$’*+"##(&&#()"###!&"#$##!*+"###!&$"#’##%-"复数的几种表示方法"!#复数的坐标表示每一个复数##!$$"确定平面上一个坐标为"!!"#的点!反之亦然!这意味着复数集与平面上的点之间存在一一对应%由于这个特殊的一一对应存在!我们常把以!为实轴!"为虚轴的平面称之为复平面%"!!"#为复数##!$$"的坐标表示形式!称为点#%"&#复数的向量表示记复数##!$$"在平面上确定的点为&!原点为’%设复数#对应向量$%’&%这也是一个特别的一一对应%为此我们称向量$%’&为复数#的向量表示式%$"$第一章!复数与复变函数向量$%’&的长度称为复数#的模或绝对值!记为&#&!我们有结论%!!###&#&&#&#&&%当#",时!以正实轴为始边!向量$%’&为终边所确定的角!称为复数#的辐角!记为!!012##!%当##,时!辐角不确定%012#是一个多值函数%称满足条件’$’!($的!为幅角的主值!记为312#%从而有!!012##312#$&($!!"(#,!/!!/&!)#利用复数的向量表示法对任意复数#!!#&!三角不等式!!&#!$#&&(&#!&$&#&&的意义为三角形的一边不大于两边之和!不等式!!&#!’#&&)&&#!&’&#&&&表示三角形的一边不小于两边之差的绝对值% "-#复数的三角表示设#",!)是#的模!!是#的任意一个辐角%则##)"456!$$678!#%".#复数的指数表示在三角表式示中!利用欧拉公式%)$!#456!$$678!可得##))$!!称为复数#的指数表示式%以上复数的不同表示法仅是形式上的差异!它们各有其特点%复数及其运算的几何解释可以从向量表示法得到!复数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法得到%."复数的乘幂与方根"!#积与商设#!#)!)$!!!#&#)&)$!&则$#$!!复变函数同步辅导及习题全解#!#&#)!)&)$"!!$!&#!#!#&#)!)&)$"!!’!&#!")&",#%即!&#!#&&#&#!&&#&&!#!#&#&#!&&#&&!"#&",#&"012"#!#&##012#!$012#&!012#!#"#&#012#!’012#&%注意%"%#正确理解等式"的含义&"&#乘积与商的几何解释%"&#乘幂设##))$!!则#*#)*)7*!#)*"456*!$$678*!#%棣莫弗"9):;5$+1)#公式%"456!$$678!#*#456*!$$678*!及其应用%"-#方根设##))$!!则*!##*!))$!$&($*#*!)"456!$&($*$$678!$&($*#!"(#,!!!&!)!*’!#%注意%*!#的*值性及几何解释%二!复变函数及其极限与连续!%复变函数的概念复变函数是高等数学中一元实变函数概念的推广!二者定义的表述形式几乎完全一样!只要将定义中的*实数"或实数集#+换为*复数"或复数集#+就行了%但对下面几点应多加注意%"!#实变函数是单值函数!而复变函数有单值函数和多值函数之分%"&#复变函数,#-"##是从#平面上的点集.到,平面上的点集.#的一个映射!因此!它不但可以把#平面上的点映射"或变换#为,平面上的点!而且可以把#平面上的曲线或图形映射为,平面上的曲线或图形!实现两个不同复平面上的图形之间的有趣的变换!为简化或研究某些问题提$$$第一章!复数与复变函数供了可能%"-#由于一个复变函数,#-"##对应着两个二元实变函数%/#/"!!"#!!+#+"!!"#!所以!可以将对复变函数的研究转化为对两个二元实变函数的研究%这是研究复变函数的常用思想方式之一%&"平面点集"!##,的"’邻域%满足关系&#’#,&’"的点#的全体称为点#,的一个"’邻域!而满足,’&#’#,&’"的点#的全体称为点#,的一个去心"’邻域%"&#内点%设.是一平面点集!#,*.!若存在#,的某个邻域也包含于.!则称#,为.的内点%"-#开集%若.的每个点都是内点!则称.为开集%".#连通集%对.+!"即复平面#!.非空!若存在一对,中不交的开集.!!.&!满足.!-."#!.&-."#!且.+".!..&#则称.为连通集%"<#区域%连通的开集叫区域%应该注意的是!可以证明!对于开集!连通性等价于另一种更直观的属性!即道路连通!也即.内任意两点都可以用一条.中的折线连接%"=#边界%若#,点的任意一个邻域内既有区域.中的点!又有不属于.中的点!则#,称为区域.的一个边界点%由.的全体边界点组成的集合称为.的边界%">#闭区域%区域.及其边界一起构成闭区域!记为/.%"#简单闭曲线%设曲线0%###"1##!"1#$$""1#!2(1(3%当!"1#与""1#连续时!称0为连续曲线%对1!!1&*’2!3#!当1!"1&而有#"1!###"1&#时!点#"1!#称为曲线0的重点%没有重点的连续曲线0!称为简单"或@51A 38#曲线%如果简单曲线0的两个端点重合!则0称为简单闭曲线%由以上定义知!简单曲线自身不相交!简单闭曲线则只有起点与终点重合%"B #光滑曲线%曲线###"1##!"1#$$""1#!2(1(3!当!4"1#$%$!!复变函数同步辅导及习题全解与"4"1#连续且’!4"1#(&$’"4"1#(&",时!称为光滑曲线!由几条光滑曲线依次连接而成的曲线!称为按段光滑曲线%"!,#单连通域%若属于区域.的任何简单闭曲线0的内部也属于.!则称.为单连通域%否则称为多连通域%-"复变函数的极限与连续性"!#定义%设函数,#-"##在#,点的去心领域,’&#’#,&’$内有定义!若任给%0,!存在"0,",’"($#!当,’&#’#,&’"时!有&-"##’5&’%成立!则称常数5为-"##当#趋于#,时的极限!记为%C 7+#$#,-"###5%若-"##在#,点有定义!且-"#,##5!则称-"##在点#,连续%若-"##在区域.内每一点都连续!我们称-"##在.内连续%"&#设-"###/"!!"#$$+"!!"#!5#/,$$+,!#,#!,$$",!那么C 7+#$#,-"###51C 7+!$!,"$",/"!!"##/,C 7+!$!,"$",+"!!"##+234,!由此可见!复变函数极限的定义虽在形式上与一元实函数的极限定义相似!但实质上却相当于二元实函数的极限%这导致了第二章用极限定义的复变函数的导数的概念!较之一元实变函数的导数概念!其要求要苛刻得多%"-#如果C 7+#$#,-"###5!C 7+#$#,6"###7!那么C 7+#$#,’-"##/6"##(#5/7!C 7+#$#,’-"##$6"##(#57!C 7+#$#,-"##6"###57!"7",#%$&$第一章!复数与复变函数".#由定义及式!易得连续的充要条件%C 7+#$#,-"###-"#,#1C 7+!$!,"$",/"!!"##/"!,!",#C 7+!$!,"$",+"!!"##+"!,!",234#两个连续函数8#6"##!,#-"8#复合所得的函数,#-’6"##(仍是连续函数%典型例题与解题技巧"例!#!将复数##"!-$$#"&’&$#"!-’$#"&$&$#化为三角形式与指数形式%解题分析!将一个复数#化为三角形式与指数形式的关键在于求出该复数的模与辐角的主值%通常的方式是先将#化成代数形式##!$$"!再利用&#&#!&$"!&与反正切公式分别求出它的模与主辐角%本题中由于#的分子与分母互为共轭复数!而复数与其共轭复数的模相等!因此!容易利用复数商的模公式求出&#&%至于主辐角除可反正切公式求得外%也可以利用关于乘积与商的辐角公式来求%下面给出两种解法!便于读者比较%解题过程!将#的分子与分母同乘以"!-$$#"&’&$#!得##"!-$$#&&!-$$&&$"&’&$#&&&’&$&&#"!&$!-&$#"’$##!-&’!&$!所以&#&#!!312##314D 2"’!--##’$=%从而得到#的三角形式与指数形式%##456$=’$678$=#)’$=$%另一种解法是!由于分子与分母恰为一对共轭复数!故其模相同!于是$’$!!复变函数同步辅导及习题全解&#&#&"!-$$#"&’&$#&&"!-’$#"&’&$#&#!012##&’012"!-$7#$012"&’&$#(#’$=$&E $%"例&#!设#!!#&为复平面上任意两点!证明不等式!!&#!’#&&)&#!&’&#&&%分析!这个不等式的几何意义为以#!!#&!#!’#&为边的三角形!一边的长度"&#!’#&&#不小于两边的长度之差的绝对值"&&#!&’&#&&&#%证明这个不等式可利用书中已证的三角不等式%证明!&#!$#&&(&#!&$&#&&F &#!&#&#!’#&$#&&(&#!’#&&$&#&&G &#!&’&#&&(&#!’#&&!F &#&&#&#&’#!$#!&(&#&’#!&$&#!&G &#&&’&#!&(&#&’#!&#&#!’#&&"利用!与"得&#!’#&&)&&#!&’&#&&&%"例-#!设复数’满足&’&’!!试证#’&!’5&##!!当&#&#!’!!当&#&’!0!!当&#&0234!分析!比较复数#!#&的模#!#&与!的大小等价于比较#!#&&与!的大小!也相当于比较&#!&&与&#&&&的大小%此时常用公式#&###!#!/#&&##!&$#&&/&()"#!#&#以及三角不等式%证明!由等式#’&&##&$&&’&()"5&##!’5&#&#!$&&#&’&()"5&##可知#’&&’!’5&#&#"#&’!#"!’&&#$($第一章!复数与复变函数注意到&’!!便有#’&&’!’5&#&#,!当##!’,!当#’!0,!当#0234!从而#’&!’5&#&##’&&!’5&#&#!!当##!’!!当#’!0!!当#0234!由此即得要证明的结论%"例.#!函数,#!#$!将#平面上的下列曲线变成,平面上的什么曲线,"!#!&$"&#!&!"&#"#!$!&!"-#"#!%解题分析!解此题的要点是利用公式!#!&"#$##!!!"#!&$"#’##及题中映射!!,#!#$!!!##!,’!%解题过程!令,#/$$+"!#由!&$"&#!有!!!."#$##&’!."#’##&#!即!!###!!!!,"#’!!’"#’!#!!!"!’,#$"!’’#’’#!!!"!’,#"!’’##,’!!,$’#!$)$!!复变函数同步辅导及习题全解即!!/#!&即圆!&$"&#!映成了直线/#!&%"&#由"#!$!知!!!&$"#’###!&"#$##$!代入##!,’!得!&$!,’!,3467’#!&!,$!,"#’&$!两边乘以&7,,得,’,#$",$,#由前设,/#’7+知,’,#’&$+,$,#&/代入上式则有/#’+即直线"#!$!被映成了直线/#’+%"-#由"#!知!!!&$"#’###!!!#’##&$!!!,’!’!,"#’!#&$!!!,’!,#&$!!,’,#&7,,即!!&$"/&$+&##’&$+$*!$!!/&$+&$+#,所以直线"#!映成了圆/&$+&$+#,%"例<#!判断下列函数在给定点处的极限是否存在%若存在!试求出极限的值%"!#-"####()"###!!#$,&"&#-"###()"#&##&!!#$,&"-#-"####’$#"#&$!#!!#$$%解题分析!判断一个复变函数在给定点处的极限是否存在有三种方法%一是用函数极限的定义!类似于实变函数!定义多用于验证某函数的极限等式!本书对这处方法不作更多的要求%但是!读者应当会用极限定义来判定某函数的极限不存在&第二种方法是利用教材第&=页中的定理一!讨论函数的实部/#/"!!"#与+#+"!!"#的极限是否存在!这是判断极限是否存在的常用方法&第三种方法是利用教材中第&>页的定理二!直接利用极限的有理运算法则求函数的极限%与实变函数一样!应用时必须满足这些法则成立的条件%下面给出的解法都基于以上三种方法!其中有的小题给出了多种解法%解题过程!"!#由于-"####()"###(#!所以!对于任给的%0,!取9#%!则当,’&#&’9时!恒有!!-"##’,#-"##(#’%根据极限定义!当#$,时!-"##的极限存在!并且其值为,%"&#令##!$$"!则-"###!&’"&!&$"&!从而有/"!!"##!&’"&!&$"&!!+"!!"##,%$!!$令#沿直线"#(!趋于,!则C 7+"!!"#$",!,#/"!!"##C 7+"!$,!&’(&!&!&$(&!&#!’(&!$(&%由于它随(的不同而不同!因此!当"!!"#$",!,#时/"!!"#的极限不存在!故#$,时!-"##的极限不存在%"-#由于-"##的分子与分母中含有极限为零的因子!消去后得-"####’$#"#&$!##!#"#$$#"#"$#!所以C 7+#$7-"###C 7+#$7!#"#$$##’!&%历年考研真题评析!"题!#!把复数##!$678&$$456&!’$’&’’$&化为三角表示式与指数表示式!并求#的辐角的主值%"山东大学&,,<年#解题分析!本题主要考察复数的三角表示法和指数表示法!以及辐角和主值的求法%解题过程!##!$678&$$456&#!$456$&’"#&$$678$&’"#&#&456&$.’&"#&$$&678$.’&"#&456$.’&"#&#&456$.’&"#&456$.’&"#&$$678$.’&"#’(&所以’$’&’’$&!所以$&’$.’&&’-$.%因此456$.’&"#&’,故$"!$)#&#&#’&456$.’&"#&%由于!!’456$.’&"#&#456$$$.’&"#&#456<$.’&"#&!!!’678$.’&"#&#678$$$.’&"#&#678<$.’&"#&!从而得#的三角表示式%##’&456$.’&"#&456<$.’’"#&$$678<$.’&"#’(&!及指数表示式%##’&456$.’&"#&)$"<$.’&&#%注意!这里的辐角!#<$.’’&不是主值!因为-$&’<$.’&&’>.$!但它只能与主值相差一个&$的整数倍!从上式容易看出!如果不等式的每项各加"’&$#!得’$&’’-$.’&&’’$.%这个’-$.’&&就符合关于主值的要求了%因此312##’-$.$’"#&%如果!取主值!那么#的三角表示式与指数表示式分别为##’&456$.’&"#&456-$.$&"#&’$678-$.$&"#’(&!##’&456$.’&"#&)’$"-$.$&&#%"题&#!设*为自然数!证明等式!$678!$$456!!$678!’$456"#!*#456*$&’"#!$$678*$&’"#!%$#!$"北京大学&,,<年#分析!上面涉及到复数*次幂的等式!通常需要先将复数化为三角形式!然后再用9):5$H 1)公式"456($$678(#*#456*($$678*(证明%证明!令!#$&’(!可知!$678!$$456!!$678!’$456!#!$456($$678(!$456(’$678(#&456&(&$&$678(&456(&&456&(&’&$678(&456(&#456(&$$678(&456(&’$678(&#456(&$$678("#&&#456($$678(!故!!!$678!$$456!!$678!’$456"#!*#456*($$678*(#456*$&’"#!$$678*$&’"#!%"题-#!求满足关系式456!’)’-456!"’$&’!’$&#的点##)"456!$$678!#的集合.%若.为一区域!则指明它是单连通域还是多连通域%"中山大学&,,=年#解题分析!此题考察知识点*单连通域+和*多连通域+%解题过程!由##)"456!$$678!#!’$&’!’$&!可知)#!&$"!&!456!#!!&$"!&于是所给的关系式456!’)’-456!变为$$!$!!&$"!&’!&$"!&’-!!&$"!&或!’!&$"&’-!于是可见此区域是单连通的%"题.#!在映射’##&下!求下列平面点集在’平面上的象%"!#线段,’)’&!!#$.&"&#双曲线!&’"&#.&"-#扇形区域,’!’$.!,’)’&%"山东大学&,,<年#解题分析!此题是关于映射的复习%解题过程!"!#设##))$(!,#$)$(!则$#)&!(#&!!故线段,’)’&!!#$.映射为,’$’.!(#$&!也是线段’见图!’!"3#(%图!’!"3#"&#设##!$$"!,#/$$+!则#&#!&’"&$$&!"故/#!&’"&!+#&!"所以!&’"&#.1/#.!为平行于+轴的直线’见图!’!"I #(%"-#设##))$!!,#$)$(!则$#)&!(#&!$%!$图!’!"I#故扇形域,’!’$.!,’)’&映射为,’(’$&!,’$’.!也是扇形域’见图!’!"4#(%图!’!"4#"题<#!试证函数-"###!&$##’#"##当#$,时的极限不存在%"天津大学&,,<年#分析!这又是一道关于复变函数的极限问题%证明!-"###!&$$#&’#’&###"#$##"#’##&$#&#&()"##$&$*+"##&$#&#&()"##*+"###&令##!$$"!则有-"###&!"!&$"&%由此得/"!!"##&!"!&$"&!!+"!!"##,$&!$让#沿直线"#:!趋于零!我们有C 7+!$,"#:!$,/"!!"##C 7+!$,"#:!$,&!"!&$"&#C 7+!$,&:!&!&$:&!&#&:!$:&%可见沿不同斜率的直线!/"!!"#趋于不同的值!所以C 7+!$,"$,/"!!"#不存在%虽然C 7+!$,"$,+"!!"##,!但根据前述结论!C 7+!$#,-"##不存在%课后习题全解8!"求下列复数#的实部和虚部-共轭复数-模与辐角%!#!-$&$&&#!$’-$!’$&-#"-$.$#"&’<$#&$&.#$’.$&!$$%解!!#!-$&$#-’&$"-$&$#"-’&$##-’&$!-#-!-’&!-$()"###-!-&*+"###’&!-&##-!-$&!-$&&#&#-"#!-&$’&"#!-!&#!!!-&312##’314D 2&-&012##’314D 2&-$&($"(#,!/!!/&!)#%&#!$’-$!’$#’$’-$"!$$#"!’$#"!$$##’$’-$’-&#-&’<&$()"###-&&*+"###’<&&##-&$<&7&&#&#"#-&&$’<"#&!&#!-.&&312##’314D 2<-&012##’314D 2<-$&($"(#,!/!!/&!)#%-#"-$.$#"&’<$#&$#&=’>$&$#’>&’!-$$’!$()"###’>&&*+"###’!-&##’>&$!-$&&#&#’"#>&&$!-!&#<&!&B &312##314D 2&=>’$&012##314D 2&=>’$$&($"(#,!/!!/&!)#%.#$’.$&!$$#$.$.’.$.J <$!$$#!’.$$$#!’-$()"###!&*+"###’-&##!$-$&&#&#!&$"’-#!&#!!,&312##’314D 2-&012##’314D 2-$&($"(#,!/!!/&!)#%8&"当!!"等于什么实数时!等式!$!$$""’-#<$-$#!$$成立,解!由所给等式可得!$!$$""’-##"!$$#"<$-$##&$?$利用复数相等的概念!$!#&".’-#?9!#!"#!!.!即!#!!"#!!时等式成立%8-"证明虚单位$有这样的性质%’$#$’!#$%证明!因’$#’$$$$#’’$&$#!$#$’!!$#’$!所以’$#$’!#$%8."证明%!#&#&&###&&##!/#&##!/#&&-##!#&##!!#&&.##!#"#&##!#&!"#&",#&<####&=#()"###!&"#$##!*+"###!&$"#’##%证明!!#设##!$$"!则&#&&#!&$"&!###"!$$"#"!’$"##!&$"&!从而有&#&&###%$(!$&#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!/!&#$""!/"&#$#"!!/!&#’""!/"&#$#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!’$"!#/"!&’$"&##"!!/!&#’""!/"&#$从而有!#!/#&##!/#&%-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!#&#"!!$$"!#"!&$$"&##"!!!&’"!"&#$$"!!"&$!&"!##"!!!&’"!"&#’$"!!"&$!&"!##!!#&#!!$$"!!&$$"&#"!!’$"!#"!&’$"&##"!!!&’"!"&#’$"!!"&$!&"!#从而有!#!#&##!!#&%.#由#!#"#&#!!$$"!!&$$""#&#"!!!&$"!"&#$"!&"!’!!"&#$!&&$"&&#"!!!&$"!"&#’"!&"!’!!"&#$!&&$"&&#!#&#!!’$"!!&’$"&#"!!’$"!#"!&$$"&#!&&$"&&#"!!!&$"!"&#’"!&"!’!!"&#$!&&$"&&可知!#!#"#&##!#&!"#&",#%<#设##!$$"!则##!’$"!##"###!$$"##%即!###%=#设##!$$"!则##!’$"!从而!!&"#$###!&"!$$"$!’$"##!#()"##!!&$"#’###!&$"!$$"’!$$"##!&$"&$"##"#*+"##$)!$结论得证%:<"对任何#!#&#&#&&是否成立,如果是!就给出证明!如果不是!对哪些#值才成立,分析!考查复数性质%解!对于任何复数##!$$"!易知#&#!&’"&$&!"$!&#&&#!&$"&%于是!由#&#&#&&可得!&’"&$&!"$#!&$"&比较两边的实虚部!等价地有&!"#,!!&’"&#!&$"&9"&#,即"#,%故对任何虚数#!#&#&#&&不成立!只有当#为实数"虚部为零#时!等式#&#&#&&才成立%:="当&#&(!时!求&#*$2&的最大值!其中*为正整数!2为复数%分析!主要考查最大值问题%解!由三角不等式及&#&(!可知&#*$2&(&#&*$&2&(!$&2&而且当#,#)73)62*时!&#*,$2&#&)73)62$&2&)73)62&#!$&2&!故其最大值为!$&2&%:>"判定下列命题的真假%!#若;为实常数!则;#;&&#若#为纯虚数!则#"#&-#7/&7&.#零的辐角是零&<#仅存在一个数#!使得!##’#&=#&#!$#&&#&#!&$&#&&&>#!$##$#%分析!一些命题的真假!要求有比较好的掌握基础知识%解!!#真&&#真&-#假"复数不能比较大小#&.#假"复数零的辐角是$*"$不确定的#&<#假"由!##’#得#&#’!!从而#可取/$两个值#&=#一般不真"由三角不等式&#!$#&&(&#!&$&#&&!等号仅当312#!’312#&#&()"(#,!/!!/&!)#时成立#&>#真%8"将下列复数化为三角表示式和指数表示式%!#$&&#’!&-#!$$!-&.#!’456($$678(!",((($#&<#&$’!$$&=#"456<($$678<(#&"456-(’$678-(#-%解!!#$#456$&$$678$&!"三角表示式#$#)$$&!"指数表示式#&#’!#456$$$678$#)$$-#&!$$!-&#!$"!-#!&#&!312"!!$-$##314D 2!-!#$-!故!$$!-#&"456$-$$678$-#"三角表示式#!$$!-#&)$-$!"指数表示式#.#&!’456($$678(&#"!’456(#&$678&!(#&’&456!(#&678(&"注意,((($#!312"!’456($$678(##314D 2678(!’456(#314D 2&678(&456(&&678&(&#314D 2"45D (&##314D 2"D 2$’(&##$’(&!故!’456($$678(#&678(&"456$’(&$$678$’(&#!"三角表示$!"$式#!’456($$678(#&678(&)$$’(&!"指数表示式#<#&$’!$$#&$"’!’$#"’!$$#"’!’$##&’&$&#!’$!其模为!&!其辐角312&$’!$$#312"!’$##314D 2’!"#!#’$.!故&$’!$$!#&456"’$.#$$678"’$.’(#!&"456$.’$678$.#"三角表示式#!&$’!$$!#&)"’$.#$"指数表示式#=#"456<($$678<(#&"456-(’$678-(#-#")$<(#&")’-$(#-#)$!,()’$B (#)$!B ("指数式##456"!B (#$$678"!B (#!"三角式#8B"将下列坐标变换公式写成复数形式%!#平移公式%!#!!$2!!"#"!$3!.&&#旋转公式%!#!!456&’"!678&!"#!!678&$"!456&.%解!!#令##!$$"!#!#!!$$"!!;!#2!$$3!!则平移公式的复数形式为###!$;!%&#令##!$$"!#!#!!$$"!!;#456&$7678&!;又可写成;#)$’!从而旋转公式!#!!456&’"!678&"#!!678&$"!456.&可写成!!##"!!456&’"!678&#$$"!!678&$"!456&##"!!$$"!#"456&$7678&###!)$&8!,"一个复数乘以’7!它的模与辐角有何改变,解!由于复数##&#&)7312#!’7#)’$&7!所以复数#乘以’7为’7##$""$&#&)7312#%)’$&7#&#&)7"312#’$&#!即模不变!辐角减小$&%8!!"证明%&#!$#&&&$&#!’#&&&#&"&#!&&$&#&&&#!并说明其几何意义%证明!&#!$#&&&$&#!’#&&&#"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&##"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&##&#!&&$#!#&$#&#!$&#&&&!$&#!&&’#!#&’#&#!$&#&&&#&"&#!&&$&#&&&#几何意义为%以#!!#&为边构成的平行四边形的两条对角线长度的平方和等于四边长的平方和%;!&"证明下列各题%!#任何有理分式函数<"###&"##="##可以化为>$$?的形式!其中>与?为具有实系数的!与"的有理分式函数&&#如果<"##为!#中的有理函数!但具有实系数!那么<"###>’$?&-#如果复数2$$3是实系数方程2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#,的根!那么2’$3也是它的根%分析!要明确有理分式的形式%证明!!#设##!$$"!&"###&!"!!"#$$&&"!!"#!="###=!"!!"#$$=&"!!"#则&$"!!"#!=$"!!"#"$#!!&#是!!"的实多项式!而且<"###!=&!$=&&’"&!=!$&&=&#$$"’&!=&$&&=!#(令!!>#&!=!$&&=&=&!$=&&!?#’&!=&$&&=!=&!$=&&易知>与?都为具有实系数的!与"的有理分式函数!并$#"$且<"###>$$?%&#如果&"##!="##是实系数多项式!则有关系式&"###&"##!="###="##%事实上!对任一实系数多项式&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*"2,!2!!)!2*为实数!即2@#2@!"@#,!!!&!)!*##&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#&"##从而<"###&"##="###&"##="###&"##="#"###">$$?##>’$?-#令&"###2,#*$2!#*’!$2!#*’!$)$2*’!#$2*!由&#中的事实有&"###&"##%如果2$$3是所给实系数方程的根!则&"2$$3##,%于是&"2’$3##&"2$$3##&"2$$3##,!这说明2’$3也是它的根%小结!有理分式函数可以化为复数形式!其中虚-实部全为实系数有理分式函数&实系数方程的根的共轭也是根%:!-"如果##)71!证明%!##*$!#*#&456*1&!!&##*’!#*#&$678*1%分析!复数的幂性质要掌握%证明!由##)$1易知#*#")$1#*#)$*1#456*1$$678*1!!#*#)’$*1#456*1’7678*1!所以!##*$!#*#456*1$7678*1$456*1’7678*1#&456*1&##*’!#*#456*1$$678*1’"456*1’$678*1##&$678*18!."求下列各式的值%!#"!-’$#<&&#"!$$#=&$$"$-#=!’!&.#"!’$#!-%解!!#"!-’$#<#&!-&’!&"#’($<#&456’$"#=$$678’$"#’(.0=<#&<456’<$=$$678’<$"#=#-&’!-&’!&"#$!#’!=-’!=$&#"!$$#=!#&456$.$$678$"#’(.=#?456-$&$$678-$"#&#’?$-#由’!#)$$#456$$$678$得=!’!#)$$&($=$#456$$&($=$$678$$&($=!"(#,!!!&!-!.!<#%即=个值分别为!-&$!&$!$!’!-&$!&$!’!-&’!&$!’$!!-&’!&$%.#由!’$!#&456’$"#.$$678’$"#’(.得"!’$#!-#=!&456’$.$&($-$$678’$.$&($3467-"(#,!!!&#即-个值分别为=!&456$!&’$678$"#!&!=!&456>!&$$$678>!&"#$!!=!&456<.$$$678<."#$%:!<"若"!$$#*#"!’$#*!试求*的值%分析!化为三角表示式计算%$%"$解!由"!$$#*#"!’$#*可得!&456$.$$678$"#’(.*!#&456’$.$$678’$"#’(.*&*&456*$.$$678*$"#.#&*&456*$.$$678’*$"#.即有!678*$.#678’*$.#’678*$.!9678*$.#,!*$.#($!*#.(!"(#,!/!!/&!)#%8!="!#求方程#-$?#,的所有根&&#求微分方程"*$?"#,的一般解%解!!#方程#-$?#,等价于#-#’?!其根为##-!’?#-!?"456$$&($-$$678$$&($-#!"(#,!!!&#即!#,!#!$-$!#!#’&!#-!#!’-$为所求的根%&#因微分方程"*$?"#,的特征方程为)-$?#,由!#得其特征值为’&!!!/-$!故方程的通解为"#0!)’&!$)!"0&!456-!$0-!678-!#其中0!!0&!0-为任意常数%:!>"在平面上任意选一点#!然后在复平面上画出下列各点的位置%’#!#!’#!!#!’!#分析!考查复数的基本知识%解!取##!’$得’##’!$$!##!$$!’##’!’$!!##!&$!&$!!##!&’!&$!’!##’!&$!&$各点位置如图!A &"3#所示%一般地!如图!A &"I #所示!’#与#关于原点对称&#与#关于$&"$图!!A &实轴对称&’#与#关于虚轴对称%又由!#######&#&&得!#与#的辐角相同!且!##!&#&!即!#与#是关于单位圆周的对称点%如图!A !"I #中!设&#&’!!则!#在单位圆外!且使,!#和!#共一条射线!而且&#&$!##!%’!#是!#关于原点的对称点%:!?"已知两点#!与#&"或已知三点#!!#&!#-#!问下列各点#位于何处,!###!&"#!$#&#&&###+#!$"!’+##&!其中+为实数&-###!-"#!$#&$#-#%分析!做好图!就能看出来%解!!#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&则##!&"#!$#&##!!$!&&$$"!$"&&位于#!与#&连线的中点%&###+#!$"!’+##&#’+!!$"!’+#!&($$’+"!$"!’+#$’"$"&(!当+为实数时!#位于#!与#&的连线上!其中+#&#’#&&&#!’#&&%特别地!若,(+(!!则#是在以#!!#&为端点的线段上的点%-#再设#-#!-$$"-!则当#!!#&!#-不共线时##!-"#!$#&$#-##!!$!&$!--$$"!$"&$"--位于三角形#!#&#-的重心&若#!!#&!#-共线时!则#在此直线上!物理意义仍是重心所在点%:!B "设#!!#&!#-三点适合条件%#!$#&$#-#,!&#!&#&#&&#&#-&#!%证明%#!!#&!#-是内接于单位圆周&#&#!的一个正三角形的顶点%分析!要掌握三角形的性质%证明!由!!题的结论及题设条件可知&#!$#&&&$&#!’#&&&#&"&#!&&$&#&&&##&"!$!##.&’#-&&$&#!’#&&&#.9&#!’#&&&#-!&#!’#&&!#-类似地&#&’#-&&#&"&#&&&$&#-&&#’&#&$#-&&#.’&’#!&&#-&#!’#-&&#&"&#!&&$&#-&&#’&#!$#-&&#.’&’#&&&#-即&#!’#&&#&#&’#-&#&#!’#-&!#-%#!!#&!#-是内接于单位圆周&#&#!的一个正三角形的顶点%;&,"如果复数#!!#&!#-满足等式#&’#!#-’#!##!’#-#&’#-!证明&#&’#!&#&#-’#!&#&#&’#-&!并说明这些等式的几何意义%分析!思维灵活!掌握各种三角形的性质%$("$。

二、填空题1.设C 是0z =到1z i =+的直线段,则z ce dz =⎰____1(1)i i e --_____________.2.方程1ze -+=0的全部解是_______(2)i k k Z ππ+∈_______________；3.幂级数1in nn ez π+∞=∑的收敛半径是__________1____________；4.函数21()(1)z f z z e =-的全部奇点是_______2kik Z π∈_______________.三、证明：若iv u z f +=)(在区域D 内解析，并且2v u =，则)(z f 在D 内为常数.（8分）证： 因为 ()f z u iv =+ 在区域D 内解析，且2u v =从而yv v y u x v y vx u x v v∂∂-=∂∂-=∂∂∂∂=∂∂=∂∂2,2 (50)所以 2020v v v x y v v v xy ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩系数行列式 22141012v v v-=+≠所以0v v x y∂∂==∂∂，同理 0u u x y ∂∂==∂∂1()0v vf z x i y∂∂'=+=∂∂ 即 在D 内()f z 为常数．四、已知调和函数(,)(1)u x y x y =+，求解析函数iv u z f +=)(，且满足条件0)1(=f .（8分） 解()()u v u u f z i i x x x y ∂∂∂∂'=+=+-∂∂∂∂ (1)y x i xi i y =+--=--+()x yi i i zi i =-+-=--2()()2if z z i i d z z z i c ∴=--=--+⎰由 3(1)022i f i c i c =--+=-+= 得 32c i =23()22i f z z zi i ∴=--+五、求函数231)(2++=z z z f 在20=z 处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径.（10分） 解 ： 21111()32(1)(2)12f z z z z z z z ===-++++++ 而,)2(31)1(321131)2(311101n n n n z z z z --=-+=-+=+∑∞=+ 3|2|<-z4|2|,)2(41)1(421141211<---=-+=+∑+z z z z n n n所以nnn n n nnn nnn n nz z z z f )2)(4131()1()2(41)1()2(31)1()(010---=-----=∑∑∑∞=∞=+∞=级数的收敛半径为3=R六、将函数2)1(1)(z z z f -=在圆环域：011z <-<内展开成洛朗级数.（10分） 解： 因为 011(1)(1)(|1|1),11n nn z z z z +∞===---<+-∑所以 22011()(1)(1)(|1|1),(1)(1)n nn f z z z z z z +∞===---<--∑2(1)(1)(|1|1),n n n z z +∞-==---<∑七、计算下列各积分.（圆周均取正向）（每小题6分，共24分）（1）23cos3(2)z z dz z z =-⎰ ； （2）32(1)(2)zz e dz z z =-+⎰（3）2523()14z z dz z z i =+++⎰； （4）222(1)z z ze dz z =-⎰ （1） 解 ： 在||3z =内，10z =是二级极点，22z =是一级极点220cos3Re [(),0]lim[](2)z zs f z z z z →'=-203(2)sin 3cos31lim(2)4z z z z z →---==--22c o s 3c o s 6R e [(),2]l i m 2z z s f z z→== 23cos3cos612()(cos61)(2)442z z idz i z z =π=π-=--⎰ （2）解： 13322222(1)(2)123zzzz z z e e e z dz dz i e i z z z z ===+==π⋅=π-+-+⎰⎰（3） 解 ： 在||5z =内，,4z i z i =±=-均为函数的一级极点225552323()1414z z z z z dz dz dz z z iz z i ===+=+++++⎰⎰⎰ 22222[]32(1)(1)z i z izz i i z z ==-=π++⋅π''++10i =π（4）解：2211 222()2()(1)zzz zzzedz if z i zez== =''=π=π-⎰22212(2)6z zzi e ze ie==π+=π。

复变函数习题答案第4章习题详解第四章习题详解1． 下列数列{}na 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：1) mi nia n -+=11；2) nn i a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21；3) ()11++-=n ia n n ；4) 2in n e a π-=；5) 21in n e n a π-=。

2． 证明：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在，3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：1) ∑∞=1n n ni ；2)∑∞=2n n n i ln ；3) ()∑∞=+0856n n n i ；4) ∑∞=02n n in cos 。

4． 下列说法是否正确？为什么？1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。

5． 幂级数()∑∞=-02n n n z c能否在0=z 收敛而在3=z 发散？6． 求下列幂级数的收敛半径：1)∑∞=1n p n n z （p 为正整数）；2) ()∑∞=12n n n z n n !；3) ()∑∞=+01n n n z i ；4) ∑∞=1n n n i z eπ；5) ()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛11n nz n i ch ；6)∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n n in z ln 。

7． 如果∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n nnz c Re 的收敛半径R ≥。

[提示：()n n n n z c z c <Re ]8． 证明：如果n n n c c1+∞→lim 存在∞≠，下列三个幂级数有相同的收敛半径∑n n z c ；∑+++111n n z n c ；∑-1n nz nc 。

9． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而∑∞=0n n c 发散，证明∑∞=0n nnz c 的收敛半径为1。

习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。

（3）(3 + 4i )(2 − 5i ) ； 1（2）1 − ； 3i （4）i 8 − 4i 21 + i（1）； 3 + 2ii 1 − i 2i 1 = 3 − 2i = 1（1） (3 3 + 2i (3 + 2i )(3 − 2i ) 13− 2i )解 所以3 1 2 Re ⎧ 1 ⎫ ⎬ = ， Im ⎧ ⎫ = − , ⎨⎨ ⎬ ⎩3 + 2 i ⎭ 13 ⎩3 + 2i ⎭ 132 21 = 1 (3 + 2i ) ， 3 3 ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ 13 ， ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = 3 + 2i 13 3 2i 13 13 ⎠ 13 ⎝⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Arg ⎜ ⎟ = arg ⎜ ⎟ + 2k π⎝ 3 + 2 i ⎠ ⎝ 3 + 2 i ⎠= − arctan 2+ 2k π , k = 0,±1,±2,31 3i − i 3i (1 + i ) 1 3 5（2） − = − = −i − (− 3 + 3i ) = − i,i 1 − i i (− i ) (1 − i )(1 + i) 2 2 2所以Re ⎧1 3i⎬ = ,⎫ ⎨ i − 1 − i ⎭ 2 ⎩ Im ⎧1 − ⎬ = − 53i ⎫ ⎨ ⎩i 1 − i ⎭ 2 ⎛ 3 ⎞2⎛ 5 ⎞2⎛ 1 3 5 ⎜ − ⎟= + i ， 3i ⎞ 1 34 ， − = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟= ⎝ i 1 − i ⎠ 2 2 i ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2 Arg ⎜ 1 − = arg ⎜ 1 − ⎟ + 2k π3 i 3 i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ i 1 − i ⎠ ⎝ i 1 − i ⎠= − arctan 5+ 2k π, k = 0,±1,±2, .3 （3） (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) =(26 − 7i )(− 2i ) (2i )(− 2i ) 2i 4= −7 − 26i = − 7 − 13i2 2所以⎧ (3 + 4i )(2 − 5i )⎫ 7 ⎬ = − ，Re ⎨ 2i 2 ⎩ ⎭ ⎧(3 + 4i )(2 − 5i )⎫ ⎬ = −13 ，⎭Im ⎨ ⎩ 2i 3i 1 − i 1 +⎡(3 + 4i )(2 −5i )⎤7⎥= −+ l3i ⎢⎣2i 2⎦，=2⎡(3+ 4i)(2−5i)⎤⎡(3+ 4i)(2−5i)⎤26 Arg⎢⎥= arg⎢⎥+ 2kπ= 2 arctan −π+ 2kπ2i 2i 7⎣⎦⎣⎦= arctan26+(2k−1)π, k = 0,±1,±2,.7（4）i8 −4i21 +i = (i 2 )4 −4(i2 )10 i +i = (−1)4 −4(−1)10 i +i=1 −4i +i =1 −3i所以Re{i8 −4i21 +i}=1,Im{i8 −4i21 +i}=−3⎜⎛i8 −4i21 +i ⎟=1 +3i ，| i8 −4i21 +i |=10⎝⎠Arg(i8−4i21 +i)=arg(i8−4i21 +i)+2kπ = arg(1−3i)+ 2kπ= −arctan3+ 2kπk = 0,±1,±2,.2．如果等式x +1+i(y−3)=1+i 成立，试求实数x, y 为何值。

习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。