一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式
孟庄中学
（一）教学目标：
知识与技能目标：学生能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程．
过程与方法目标：学生经历用配方法探索求根公式( b2－4ac≥0 ) 的过程，体验用根公式解一元二次方程的方法.培养学生抽象思维能力.
情感与态度目标：学生在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系，培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点。

（二）教学重点：
一元二次方程的求根公式．
（三）教学难点：
求根公式的条件：b -4ac 0
(四)教学方法:自学自悟讲练结合法
（五）教学准备：
课件、多媒体．
（六）教学过程：
教学过程设计思路媒体应用分析
一.复习旧知,激趣导入 1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4 (2)(x-2) 2=7
提问1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。

）
2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。

）
（课件演示）用配方法解方程4x2－12x－1=0
3x2+12x－3=0
(老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
(1)将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±如果q＜0,方程无实根．通过复习旧知,与学生已有的知识经验联系起来,激发学生的学习兴趣,由问题引出课题. 展示课题、复习旧知
的内容、学生活动的
内容、配方法的步骤,为本节课做好铺垫.
二、自学探索活动
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+ x=-
配方，得：x2+ x+（）2=- +（）2
即（x+ ）2 =
∵4a2>0，当b2-4ac≥0时≥0
∴（x+ ）2 =( )2
直接开平方，得：x+ =±即x=
∴x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．教师点拨
由以上研究的结果,得到了一元二次方程的求根公式：（）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：这里为什么要强调? ，如果方程有实数根吗？通过学生自己观察、讨论、交流理解一元二次方程求根公式的推导过程,用配方法探索出求根公式( b2－4ac≥0 )
学生又一次复习了配方法,能更进一步调动学生学习数学的热情.师生共同探讨,归纳出运用求根公式解一元二次方程的方法.
呈现过程，掌握方法，体会数学的美，感受数学的趣，领悟数学的理。

课件展示,快速省时,能为学生快速掌握求根公式提供帮助,突破教学重点和难点.
三.实际运用
(一)解下列方程：
1、；
2、；
3. ；4、
教师点拨：
（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；
（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；
（3）先计算的值，再代入公式。

(二)、（补充）解方程
解：这里，，，
因为负数不能开平方，所以原方程无实数根展示学生活动的内
容、教师点拨内容,
师生互动,鼓励学生
发表自己的见解,共
同分享成功的喜悦,
补充内容是为了拓宽学生的知识面.
课件展示学生练习题,醒目、省时.能调动学生做数学练习题的热情.
四、反思总结
让学生反思以上解题过程，归纳得出：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根。

通过归纳得出的结果有大于零、等于零、小于零三种情况,有利于学生用求根公式( b2－4ac≥0 ) 正确解一元二次方程．课件展示有大于零、等于零、小于零三种情况,眉目清楚,利于对比,有利于学生理解和掌握.
五.知识的升华某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程,m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m= ─1时，m+1= ─1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=1 x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2= ─．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- ．
通过知识的升华,学生明白数学的奥妙,要灵活运用知识点解决数学实际问题.教育学生要认真审题,逻辑推理要严密. 课件合理展示分析过程和解答过程,渗透学法指导,学生能直观感知数学是一门逻辑性极强的学科.
六、谈收获
本节课掌握了：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0. 2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。

3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

(4)初步了解了一元二次方程根的情况．谈收获是为了让学生敢想、敢说,检验学习效果,培养学生能力,老师针对学生的回答,及时疏导,有利于的成长. 用课件展示应用公式法解一元二次方程的步骤,条理清楚,学生掌握本节知识会更加准确、深入.
七、课后作业
（一）P28 练习(1) (2) (3) (4) 习题23.2第3题
（二）预习内容：P28～P30 课后任务是为了让学生熟练运用公式法解一元二次方程,强化所学的知识.。