哈尔滨工程大学工程数学考试大纲

2020年考试内容范围说明
考试科目名称: 数学分析
考试内容范围:
一、一元函数微分学
1.极限与连续
1）数列极限收敛准则
2）一元函数极限及其运算法则
3）一元函数连续性及其连续函数的性质
2.导数与微分
1）导数与微分的概念
2）常见函数，复合函数及隐函数求导法则
3.一元函数导数应用
1）中值定理，泰勒公式，洛必达法则
2）函数的单调性与极值，凹凸性与拐点
二、不定积分
1. 不定积分的概念
2. 两种换元法与分部积分法
三、定积分
1. 定积分的概念与性质
2. 函数可积的充要条件
3. 变上限定积分的性质与应用
4. 牛顿-莱布尼兹公式
四、多元函数微分学
1. 二元函数的极限（二次极限与二重极限），连续，可导，可微及其关系
2. 多元复合函数与隐函数的求导法则
五、多元函数的极值和条件极值
六、重积分
1. 二重与三重积分的概念及在各种坐标系之下的计算
2. 重积分的应用
六、曲线积分与曲面积分
1. 两类曲线积分与曲面积分的计算
2. 格林公式与高斯公式
七、级数
1. 常数项级数敛散性的各种判别方法
2. 函数序列与函数项级数一致收敛的概念，判别法，性质
3. 幂级数的性质与函数展开成幂级数
4. 傅立叶级数的性质及将函数展开成付立叶级数
考试总分：150分考试时间：3小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（120分）
证明题（30分）。

考试科目名称: 常微分方程
考查要点:
一、一阶微分方程的初等解法
1．要求考生熟练应用变量替换求解变量分离方程.
2．要求考生理解线性方程与常数变易法,并用常数变易法求解伯努利方程.
3．要求考生熟练掌握恰当方程的解法,对于非恰当方程,要求会求积分因子,并熟练求出其解.
4.要求考生了解一阶隐方程与参数表示,并会求解一些一阶隐方程.
二、一阶微分方程的解的存在唯一定理
1．要求考生熟练掌握一阶微分方程的解的存在唯一定理,并会利用解的存在唯一定理解决实际问题.
2．要求考生了解解的延拓,解对初值的连续性与可微性定理,以及奇解和包络.
三、高阶微分方程
1．要求考生理解线性微分方程的一般理论,并熟练用常数变易法求解高阶微分方程.
2．要求考生熟练掌握常系数线性微分方程的解法.
四、线性微分方程组
1．要求考生理解线性微分方程组的一般理论,并熟练用常数变易法求解微分方程组.
2.要求考生熟练掌握常系数线性微分方程组的解法.
五非线性微分方程和稳定性
1. 要求考生了解按线性近似微分方程组的稳定性,并会求方程组奇点的类型.
2. 要求考生熟练掌握李雅普诺夫第二方法判断线性微分方程的稳定性.
考试总分：75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（60分）
证明题（15分）
参考书目：
主要参考书：
1、常微分方程王高雄、周之铭等著，高等教育出版社，1983年。

黑龙江省高等教育自学考试采矿工程（独立本科段）B080109专业工程数学考试大纲(课程代码 10053)黑龙江省高等教育自学考试委员会办公室二○一○年五月工程数学自学考试大纲课程中文名称：工程数学课程英文名称：Engineering Mathematics学时数：100学时一、课程性质与设置目的《工程数学》课程是黑龙江省高等教案自学考试工科各专业开设的公共必修课，主要讲授线性代数、概率论、复变函数、傅里叶变换和拉普拉斯变换等内容。

学习本门课程的目的是使学生掌握工程数学的基本理论、思想和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力。

《工程数学》是一门公共基础课，通过学习本门课程，要使学生具备良好的数学基础，为学生后续的学习、实践及今后的工作与发展打下良好基础。

二、课程内容与考核目标第一章行列式（一）学习目的和要求通过本章的学习，要掌握行列式及其相关概念，会计算低阶行列式。

（二）课程内容第一节行列式的概念本节主要介绍行列式的概念，二阶、三阶行列式以及n阶行列式。

第二节行列式的性质本节主要介绍行列式的性质。

第三节行列式的计算本节主要介绍如何利用行列式的性质计算行列式。

第四节克拉默法则本节主要介绍解线性方程组的克拉默法则。

（三）考核知识点1．行列式的概念；2．行列式的性质；3．利用行列式的性质计算行列式；4．克莱默法则及其推论。

（四）考核要求1. 了解行列式的定义，了解余子式、代数余子式的概念，会求余子式和代数余子式；2. 掌握利用行列式的性质计算二、三阶字母行列式的计算方法及三阶、四阶数字行列式的计算方法；3. 了解克莱默法则的条件、结论，掌握克莱默法则关于齐次线性方程组的推论。

第二章矩阵（一）学习目的和要求通过本章的学习，要掌握矩阵及相关概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。

（二）课程内容第一节矩阵的概念本节主要介绍矩阵以及相关的概念。

第二节矩阵的运算及其性质本节阐述的内容有：矩阵的加法与数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置以及方阵的行列式。

《工程数学》考试大纲一、基本信息：《工程数学》考试内容主要包括高等数学和线性代数两部分，主要题型为选择题和计算题。

答题方式为笔试、闭卷。

考试时间为120分钟，试卷总分为100分，其中高等数学约70%，线性代数约30%。

二、考试内容1.函数、极限、连续（1）分段函数概念；函数的有界性、（严格）单调性、奇偶性、周期性以及他们各自反映在函数图形上的特点；反函数与隐函数的概念；函数极限的唯一性，有界性，保号性；无穷小，无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念；函数的左连续与右连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。

（2）函数、区间及邻域等概念；复合函数及初等函数的概念；极限的概念；函数的左、右极限及其与函数极限的关系；函数在一点连续的概念；函数在一个区间上连续的概念。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

2.导数、微分及应用（1）函数的可导性与连续性的关系；高阶导数概念；微分的几何意义及函数的可微性与可导性的关系。

导数的几何意义；微分的概念。

初等函数的一阶、二阶导数的求法。

求隐函数和参数式所确定的函数的一阶导数以及比较简单的二阶导数。

（2）罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理、罗必达法则；函数插值的思想和一些方法。

函数的极值概念。

用导数判断函数的单调性和求极值的方法；函数图形的凹凸性及其判定法。

（3）基本初等函数的性质及其图形；极限的四则运算法则。

3.不定积分、定积分及应用（1）简单的有理函数、三角函数有理式和简单的无理函数的积分法。

原函数和不定积分的概念。

不定积分基本公式和不定积分换元法和分部积分法。

（2）定积分的性质、定积分的中值定理；两种广义积分的概念，用定义求解较简单的广义积分，定积分数值计算的思想和一些方法。

定积分的概念和几何意义；变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。

牛顿-莱布尼兹公式；定积分的换元法和分部积分法。

（3）元素法的思想，用定积分求一些几何量和物理量的方法，建立一些几何量与物理量的积分表达式（如面积、体积、弧长、功、水压力等）。

考试科目名称:实变函数
考查要点:
一、实数集的勒贝格测度
1．要求考生掌握集合的定义及其运算
2．要求考生掌握一维开集,闭集的定义和结构
3．要求考生掌握有界集的外测度,内测度和测度的定义及其性质
二、勒贝格可测函数
1．要求考生掌握可测函数的性质
2．要求考生掌握可测函数的收敛性,包括近一致收敛,依测度收敛及几乎处处收敛3．要求考生会用叶果洛夫定理,黎兹定理
三、勒贝格积分
1．要求考生掌握勒贝格积分的定义及其简单性质
2．要求考生掌握积分序列的收敛性(勒维定理,法都定理,控制收敛定理)
3．要求考生掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系，并会用黎曼积分计算勒贝格积分
考试总分： 75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（30分）
证明题（45分）
主要参考书：
1、简明实变函数,杨海欧著,哈尔滨工程大学出版社,2003。

附件7：
2020年考试内容范围说明
考试科目名称:数学物理方法
考查要点:
一、数学物理方程的定解问题
1．要求考生熟悉数学物理方程定解问题的相关概念，掌握数学物理方程的导出过程；
2．要求考生熟练运用达朗贝尔公式求解相关的定解问题。

二、分离变数法
1．要求考生熟练掌握用分离变数法求解齐次方程；
2．要求考生掌握用傅立叶级数法和冲量定理法求解非齐次振动方程和输运方程；
3．要求考生熟练掌握非齐次边界条件的处理方法；掌握用特解法求解泊松方程；
4．要求考生熟练掌握运用叠加原理处理非齐次方程，非齐次边界条件的定解问题。

三、球函数
1．要求考生熟练掌握勒让德多项式及勒让德函数的性质，掌握任意函数的勒让德多项式展开；2．要求考生熟练掌握拉普拉斯方程的轴对称定解问题；
3．要求考生掌握一般的球坐标系下的拉普拉斯方程的定解问题；
四、柱函数
1．要求考生熟练掌握三类柱函数的相关性质，递推公式及积分运算；
2．要求考生熟练掌握用三类柱函数表示贝塞尔方程的通解形式；
3．要求考生掌握柱坐标系下用贝塞尔函数求解定解问题。

五、格林函数解的积分公式
1．要求考生掌握用格林函数表示泊松方程及其边界条件下的通解形式；
2．要求考生掌握用电像法求解格林函数。

考试总分：150分（初试）考试时间：3小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（100分）
简答题（50分）。

附件7：2014年考试内容范围说明自动控制原理知识要点与习题解析P32 (自动控制原理p23)2-17 知控制系统的方框图如题2-17图所示，试用方框图简化方法求取系统的传递函数。

P33解： 方框图简化要点，将回路中的求和点等效移出回路，避免求和点与分支点交换位置。

(d) 31313322113211)(H H G G H G H G H G G G G s ++++=Φ；P37 (p73)2-21 试绘制与题2-21图中系统方框图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数C (s )/R (s ) 和误差传递函数E (s )/R (s )注：P21(2) 依据系统方框图绘制信号流图首先确定信号流图中应画出的信号节点，再根据方框图表明的信号流向，用支路及响应的传输连接信号节点。

步骤如下，(a)系统的输入为源点，输出为阱点；(b)在方框图的主前向通路上选取信号节点，即相加点后的信号和有分支点的信号点后的信号，两信号是同一个信号时只作为一个节点；(c)其它通路上，仅反馈结构求和点后的信号选作节点； (d)最后，依据信号关系，用支路连接这些节点。

解：图(a)信号流图如题2-21解图(a)所示。

计算C (s )/R (s )和E (s )/R (s )过程中，关于回路和特征式的计算是完全相同，可统一计算。

回路111H G L -=，232H G L -=，213213H H G G G L -=；特征式 21312132123111H H G G H H G G G H G H G ++++=∆。

计算C (s )/R (s )：题2-1 7图 控制系统方框图题2-21图 系统方框图题2-21解图 系统信号流图前向通路 3211G G G P =，342G G P =； 特征子式11=∆，1121H G +=∆； 2131223111134321)1(1)1()()(H H G G G H G H G H G G G G G G s R s C ++++++=； 计算E (s )/R (s )：前向通路 11=P ；21342H H G G P -=； 特征子式2311H G +=∆，12=∆； 213122311213423)1(11)()(H H G G G H G H G H H G G H G s R s E ++++-+=；P62 (p136)3-16 知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求静态位置误差系数p K ，静态速度误差系数v K ，静态加速度误差系数a K(1) )12)(11.0(50)(++=s s s G ；｛ )(lim 0s G K s p →= ｝(2) )2004()(2++=s s s Ks G ； ｛ )(lim 0s G s K s v →= ｝(3) )102()14)(12(10)(22++++=s s s s s s G 。

《工程数学》课程考试大纲第一部分考试说明一、考试性质工程数学（线性代数、概率统计）课程在高等工业学校的教学计划中是一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学考试的必考课程。

工程数学课程考试的性质是学生课程学习的终结性评价。

二、考试目标工程数学课程考试的目的在于检查学生的学习质量，引导学生复习、巩固所学知识,使学生获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组等理论及其有关基本知识、研究随机现象客观规律性的概率统计方法等，提高分析问题和解决问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

同时，也便于了解学生学习情况，是教学相长的需要。

三、考试形式与试卷结构（一）答题方式: 开卷笔试。

答案必须全部答在答题纸上，答在试卷上无效。

（二）答题时间: 90分钟。

（三）基本题型:判断题（或填空题）、选择题、计算题。

第二部分考查的知识范围与要求线性代数第一章矩阵矩阵的定义，特殊矩阵及其性质，矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律，逆矩阵的概念、性质及求逆方法，矩阵的初等变换、初等矩阵及其与初等变换、逆矩阵的关系，分块矩阵及其运算。

第二章行列式行列式的定义、性质和计算及应用。

第三章矩阵的秩与线性方程组矩阵秩的概念、性质及计算，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的求解。

第四章向量空间向量组的线性相关、线性无关的定义、性质及有关结论，最大无关组与秩的概念及求法，非齐次线性方程组解的结构。

概率统计第一章随机事件及其概率随机事件的概念、事件之间的关系及基本运算，事件的频率、概率的定义及性质，理解古典概型及计算，条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，事件独立性概念及计算，贝努里概型的概率计算。

第二章一维随机变量随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布、分布函数的概念和性质，连续型随机变量概率密度、分布函数的概念和性质，重要分布（二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布），随机变量的函数的分布。

2020年数学学院硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：高等代数考试科目代码：[831]一、考试内容及要求（一）多项式1.理解数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约，重因式等概念。

了解多项式环，微商，本原多项式，字典排序法，对称多项式，初等对称多项式，齐次多项式，多项式函数等概念。

2.掌握整除，带余除法定理，最大公因式定理，互素多项式及不可约多项式的判别与性质，多项式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代数基本定理，Vieta定理，高斯引理，Eisenstein判别定理，对称多项式基本定理。

3.掌握多项式无重因式、多项式相等的判别条件，Lagrange插值公式，复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论，有理多项式的有理根范围。

4.掌握辗转相除法，化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

(二)行列式1.了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代数余子式的概念。

2.掌握行列式的性质，Cramer法则，Laplace定理，行列式乘法公式。

3.掌握行列式的计算，并且能运用行列式理论解决相关问题。

（三）线性方程组1.理解向量线性相关，向量组等价，极大无关组，向量组的秩，矩阵的秩，基础解系，解空间等概念。

2.掌握线性方程组有解判别定理，解的结构，以及求解线性方程组的方法。

(四)矩阵1.理解矩阵的基本概念及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律。

2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。

掌握伴随矩阵的概念与性质。

理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。

3.理解分块矩阵，掌握分块阵的运算及初等变换。

（五）二次型1.掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示，二次型秩的概念，二次型的标准形、规范形及慣性定律，掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

2.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

(六)线性空间1.理解线性空间，子空间，生成子空间，基底，维数，坐标，过渡矩阵，子空间的和与直和，线性空间同构等概念。