函数单调性判断方法

1.单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2.常见基本函数的单调性

函数 函数表达式 单调区间 特殊函数图像

一次函数 )0(kbkxy

当0k时，y在R上是增函数；

当0k时，y在R上是减函数。

二次函数

cbxaxy2),,,0(Rcbaa

当0a时，abx2时y单调减,

abx2时y单调增；

当0a时，abx2时y单调增，

abx2时y单调减。

反比例函数

xky

Rk(且0k) 当0k时,y在0x时单调减，在0x时单调减； 当0k时,y在0x时单调增，在

0x

时单调增。

指数函数

xay

)1,0(aa

当1a时，y在R上是增函数；

当10a，时y在R上是减函数。

对数函数

xyalog

)1,0(aa

当1a时，y在),0(上是增函数；

当10a时，y在),0(上是减函数。 典例分析 题型一、复合函数单调性判断及应用 使用情景：简单的复合函数类型 解题模板：第一步 先求函数的定义域； 第二步 分解复合函数，分别判断外层函数的单调性； 第三步 根据同增异减，确定原函数的增减区间. 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．

【例1】 求函数20.7log(32)yxx的单调区间；

【变式练习1】已知定义在R上的函数)(xfy是偶函数，且0x时，)22ln()(2xxxf. （1）当0x时，求)(xf解析式； （2）写出)(xf的单调递增区间.

【变式练习2】已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为( ) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) [小结] (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接． (3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间的任意两个自变量．

题型二、分段函数单调性判断及应用 使用情景：分段函数的单调性问题 解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类； 第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性； 第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）； 第四步 得出结论.

【例1】 已知函数232,0,32,,0xxfxxaax在区间,上是增函数,则常数a的取值围是 （ ） A．1,2 B．,12, C．1,2 D．,12, 【变式练习1】函数4,log4,422xxxxxxf，若函数xfy在区间（a，a+1）上单调递增，则实数a的取值围是（ ） A.（-，1] B.[1, 4] C.[4, +） D.(-,1]∪[4, +）

【变式练习2】已知函数1,log1,4)13()(xxxaxaxfa在R是单调函数，则实数a的取值围是 ．

【例2】 设函数2()4,()()2(),()(),()gxxxgxgxxxRfxgxxxgx，则()fx的值域是（ ） A．[0,) B．9[,)4 C．9[,0](1,)4 D．9[,0](2,)4

【例3】 ,0,1,0,)()(2xaxxxaxxf若)0(f是)(xf的最小值，则a的取值围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1xxfxxxx，则((3))ff ，()fx的最小值是 [小结] 1、最值问题 使用情景：分段函数的最值问题 解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类； 第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值； 第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值； 第四步 得出结论. 2、单调性问题 其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.

题型三、抽象函数的单调性 【例1】已知奇函数()fx的定义域为2,2，且在2,0递减，求满足：2(1)(1)0fmfm的实数m的取值围． 【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．

【变式练习1】设奇函数()fx在区间[1,1]上是增函数，且(1)1f.当[1,1]x时，函数2()21fxtat

，对一切[1,1]a恒成立，则实数t的取值围为（ ）

A.22t B.2t或2t C.0t或2t D.2t或2t或0t

【变式练习2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a足 1(2)(2)aff，则a的取值围是______ [小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．

题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用 函数单调性的性质： (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)在公共定义域，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1fx单调性相反； (4)在公共定义域，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝fx单调性相同； (5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．

【常见判断方法】 方法一 定义法 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 取值定大小：设任意12,xxD，且12xx； 第二步 作差：12()()fxfx； 第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1fxx在(,0)上的单调性． 【变式演练1】已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，21()fxxx. （1）求()fx的表达式； （2）判断并证明函数()fx在区间(0,)上的单调性.

方法二 导数法 使用情景：较复杂的函数类型 解题模板：第一步 求函数()fx的定义域； 第二步 求导()fx； 第三步 在定义域围解不等式()0fx或()0fx； 第四步 得出函数()fx的增减区间. 【例2】 已知函数1ln)1()(2axxaxf，讨论函数)(xf的单调性； 【变式练习2】已知函数32()39fxxxxa．求的单调递减区间； 【应用】 应用(一) 比较函数值或自变量的大小 [例3] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a

＝f－12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c

应用(二) 解函数不等式 [例4] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值围是( ) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) [方法技巧] 用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略 (1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)

应用(三) 求参数的取值围 [例5] (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值围是( )

A.－14，＋∞ B.－14，＋∞ C.－14，0 D.－14，0

(2)设函数f(x)＝ －x2＋4x，x≤4，log2x，x>4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，1] B．[1,4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)