高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案无答案新人教A版选修2_12

2.4.1 抛物线及其标准方程教学目标：1. 理解抛物线线的定义,2. 掌握抛物线的四种标准方程，及其特征.3. 强化坐标法求轨迹方程的步骤..一、新课引入1. 二次函数y=x2的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为 .2. 二次函数y=−x2+4x+3的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.3. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，拖动点H，你能发现点M的轨迹满足的几何条件是什么？答：点M的轨迹满足的几何条件是.二、新知讲授1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（）的点的轨迹叫做抛物线.规定：点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.2. 抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴上，y2=（p>0）；（2）焦点在y轴上，x2=（p>0）.特征：当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.三、典型例题例1. 概念辨析：若直线l经过点F，则点M的轨迹为.例3. 已知抛物线的标准方程为y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0，−2)，求它的标准方程.例2. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，求点M的轨迹方程.（记点F到直线l的距离为p（p>0））四、课堂练习练1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F(3，0)的抛物线的标准方程是.（2）准线方程是x=−1的抛物线的标准方程是.4（3）焦点到准线的距离是2，且焦点在x轴上的抛物线的标准方程是.练2. 求下列抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程：（1）抛物线y2=20x开口向，焦点坐标是，准线方程是；y开口向，焦点坐标是，准线方程是；（2）抛物线x2=12（3）抛物线2y2+5x=0开口向，焦点坐标是，准线方程是；（4）抛物线x2+8y=0开口向，焦点坐标是，准线方程是.练3. 已知二次函数y=ax2（a≠0）。

2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．( )(2)抛物线是双曲线的一支．( )(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)B [抛物线y 2＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.] 4．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( )【导学号：46342105】A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116.][合 作 探 究·攻 重 难](1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． [思路探究] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . ．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 把握开口方向与方程间的对应关系．当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况1．根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x －2y －4＝0上．[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程， 得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .(2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.【导学号：46342106】(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离．(3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解．[解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±2 6.(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|PA |＋|PF | ＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．172B ．3C ． 5D ．92A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为 |AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172.] (2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0).[已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．3．如图2­4­1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )图2­4­1A ．2.2米B ．4.4米C ．2.4米D ．4米 B [如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ， 将A (2，－2)代入x 2＝my ， 得m ＝－2∴x 2＝－2y ，代入B (x 0，－2.42)得x 0＝2.2， 故水面宽为4.4 m ，故选B ．][当 堂 达 标·固 双 基]1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83xB [由准线方程为y ＝23知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .]2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 C ．(0,1)D ．(1,0)C [抛物线的标准方程为x 2＝4y ，从而焦点坐标为(0,1)．]3．抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20xA [由题意知6a ＋3＝5，解得a ＝13，因此抛物线方程为y 2＝8x .]4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________.【导学号：46342107】4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.]5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．[解] 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x ＝p2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y2＝－4x .由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

)
解析：由 y2＝8x，得 p＝4，即焦点到准线的距离．
答案：C
3．若直线 ax－y＋1＝0 经过抛物线 y2＝4x 的焦点，则实数 a＝________.
解析：由 y2＝4x 知 F(1,0)，代入 ax－y＋1＝0， ∴a＋1＝0，即 a＝－1.
答案：－1
探究一 [典例 1]
抛物线的标准方程
2
p 0，－ 2
[双基自测] 1．抛物线 x＝4y2 的准线方程是( 1 A． y ＝ 2
2
) 1 C．x＝－16 1 D．x＝8
B．y＝－1
2
Байду номын сангаас
1 解析：由 x＝4y ，知 y ＝4x， 1 ∴准线方程 x＝－16.
答案：C
2．抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( A．1 B．2 C．4 D．8
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上， 设其方程为 x2＝2py(p>0)， 将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
(2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)， p ∴抛物线的焦点是 F(2,0)，∴2＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是 y2＝8x. ②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0，－3)， p 即抛物线的焦点是 F(0，－3)，∴2＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是 x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8x 或 x2＝－12y.
解析：因为抛物线的方程为 y2＝4x，所以焦点坐标 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.所以 设 P 到准线的距离为|PB|，则|PB|＝|PF|.P 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离为 PA， 所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PF|≥FD，其中|FD|为焦点到直线 4x－3y＋6＝0 的距离，所 |4－0＋6| 10 以|FD|＝ 2 2 ＝ 5 ＝2，所以距离之和最小值是 3 ＋4 2，选 B.

变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程⑴焦点坐标是（0,4）； ⑵准线方程是x = -~；4⑶焦点到准线的距离是2.新知1：抛物线平面內与一个定点F 和一条定直线/的 距离 ______ 的点的轨迹叫做抛物线• 点F 叫做抛物线的 ________ ；直线/叫做抛物线的 .§2.4.1抛物线及其标准方程心学习目标掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.心学习过程—、课前准备（预习教材理P 64-卩67，文卩56~几9找出疑惑之处）复习1：函数y = 2.r -6.r + l 的图象是 __________ , 它的顶点坐标是（ ），对称轴是■抛物线y 2 = 2O.r 的焦点处标是（）,准线方程是 __________ ;抛物线/= 一丄y 的焦点坐标是（ ），2 一准线方程是 _________ 探典型例题例1 （1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x,求它 的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F （0,-2）,求它的标准方 程.复习2：点M 与定点F （2,0）的距离和它到定直线 x = 8的距离的比是1:2 ,则点M 的轨迹是什么图 形？二、新课导学 探学习探究探究1：若一个动点p （x,y ）到一个定点F 和一条定 直线/的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的 呢？ 新知2：抛物线的标准方程定点F 到定直线/的距离为p （ p>0）.建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式: 图形标准方程焦点坐标准线方程/j 2 =2pxP例2 —种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8/77 ,深度为0.5/77 ,试建立适当的坐标系，求抛物线的\MF\ = x o+_|※自我评价你完成本节导学案的情况为( ). 很好 B.较好 C. 一般 D.较差A. x = 2C・ y =2B. x = -2D. y = -2探动手试试练1.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是F(-5,0 ):⑵焦点在直线x-2y-4 = 0±.抛物线/ = lOx的焦点到准线的距离是().A. -B. 5C. —D. 102 24.抛物线y2 =12%上与焦点的距离等于9的点的坐标是•探知识拓展焦半径公式：设M是抛物线上一点，焦点为F ,则线段MF 叫做抛物线的焦半径.若M(x0,y0)在抛物线y-=2px ± -则探当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分:1.对抛物线y = 4/,下列描述正确的是().A.开口向上，焦点为(0,1)B.开口向上，焦点为(0,—)C.开口向右，焦点为(1,0)D.开口向右，焦点为(0,—)2.抛物线x2+8y = 0的准线方程式是().5. _________________________ 抛物线x2 =4y上一点A的纵坐标为4,贝I点A与抛物线焦点的距离为_____________________________ -课后作业1.点M到F(0,8)的距离比它到直线y = -7的距离大1,求M点的轨迹方程.练2 .抛物线y2=2px (p>0)上一点M到焦点距离是a (a > -|),则点M到准线的距离是—，点M 的横坐标是•三、总结提升2.抛物线y2 =2px (p>0)上一点M到焦点F 探学习小结1.抛物线的定义；2.抛物线的标准方程、几何图形.距离|MF| = 2p,求点M的坐标.。