输出反馈镇定问题

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7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态：系统运动信息的集合。 状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数，则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于 该值，又不足以描述系统的运动状态。 状态向量：n个状态变量x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量，记作X(t)=[x1 (t)，x2 (t)，…， xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见，邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题，转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中，有一组输入函数u (t)作用在受控系统上，其 相应状态变量是x (t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t)， 此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指 标）。 2.最优估计 图7-1所示系统中，输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰，如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差，也称动态噪声，则从y (t)中，克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来，称为最优状态估计问题。

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。

状态变量个数是2。

…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。

（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。

若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。

…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。

维普资讯
第 ｌ ２卷 第 ６期 ２０ 年 １ 月 ０７ ２
文 章 编 号 ： １０ ．２ ９（０ ７ ０ —１３０ ０ ７０ ４ ２ ０ ） ６０ ４ —５
电 路 与 系 统 学 报
Ｊ Ｉ ＲＮ Ａ Ｌ Ｆ ＲＣＵ Ｉ ０ Ｊ Ｏ ＣＩ ＴＳ ＡＮ Ｄ Ｓ ＳＹ ＴＥＭ Ｓ
性 条件 ， 以及 系 统状 态反馈 镇 定 、输 出反馈 镇 定 的控制 器设 计 。并通 过 两个仿 真 实例 验证 所设 计控 制方案 的有 效性 。
关 键 词 ； 切 换 系 统 ； 多 时 滞 ； 线 性 矩 阵 不 等 式 ；镇 定
中 图分 类号 ；Ｔ １ Ｐ３
文献 标识码 ；Ａ
ＶＯ１１ ．２
ＮＯ． ６
Ｄ ｅ ｍｂｅ ， ２ ７ ｃｅ ｒ ００
多 时滞离 散切换 系统反 馈镇 定
卢 建 宁 ， 赵 光 宙
（ 江 人 学 系统 科 学 与 工 程 系 ， 浙 江 杭 州 ３ ０ ２ ） 浙 １０ ７
摘 要 ；研 究 一类具 有多 时滞 子 系统 的离散 切 换系 统 的稳定 性 分析和 反馈 镇 定 问题 。通 过状 态变量 的转 换 ，将 时滞 切换 系 统变 为不 含时 滞项 的切 换系 统 。 Ｌ 形 式给 出了在 任意 切换 信 号作用 下 多时滞 离散 切 换系 统渐近 稳定 的充 分 以 ＭＩ
上 较 为 简 单 但 又 比较 典 型 的一 类 系 统 。 包 含 几 个 子 系 统 和 一 个 决 定 某 一 时 刻 活 动 子 系 统 的切 换 规 则 。 它
当系统 的状 态 或 时 间满 足 某 种 条 件 时 ，子 系 统 就 发 生 变 化 ， 由一个 子 系 统 切 换 到 另 一 个 子 系 统 。 近 年 来 ，线 性 矩 阵不 等 式 （ ＭＩ Ｌ ）方 法 引起 了 控 制 理 论 学 者 的广 泛 重 视 ，许 多 控 制 理 论 问题 ，可 以转 换 为 相 应 的 Ｌ ＭＩ问题 Ｊ ＭＩ已经 成 为 了一 种 重 要 的分 析 方 法 。 目前 ，Ｌ 在 切 换 系统 理 论 中也 ，Ｌ ＭＩ

第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
一．极点可配置条件
1．利用状态反馈的极点可配置条件
定理 （P505）利用状态反馈任意配置闭环 极点的充分必要条件是被控系统可控。 证明：以单输入—多输出系统来证明该定理。 1）充分性：若系统完全可控，则通过非奇异线 性变换 其中： 可变换为可控标准型:
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
引入状态反馈：
其中：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为：
闭环特征方程为：
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
闭环特征方程为：
该n阶特征方程中的n个系数，可通过
来独立设置，也就是说
的特征值可以任意
选择，即系统的极点可以任意配置。 2）必要性：如果系统（A, b）不可控，说明系统 的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时 就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。
即控制作用的规律。通常，这种控制作用规律
常取为反馈的形式。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
在控制理论中，反馈结构是系统设计的
主要方式。对输入输出模型，只能采用
输出反馈；而状态空间模型由于能够提
供系统内部的状态信息，所以不仅能够
采用输出反馈，还能够采用状态反馈对
系统进行控制。
第6章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器
利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极 点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状 态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。 状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但 能够任意配置可控部分的极点。 输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但 不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能 将极点配置到系统的零点处。

得
(5) xk=zk+ak +… -,.,二 十 ak 一k 一 -1Pk ' k=2,...,n, -I,k ，-，G(k ) -1 Z 这里，ak =1 ,l,k ,...,n,I=1 ,...,k 都是与L无关的实
数，对经变换式(5)得到的新系统 ( 产
1
二 石= :
.t;(xl十"' ,xi+Z f (z,，， :1 i)一 …z,)l<
Lv+L凤 :十 乙 。 +L凡 ,l艺 …十 戊， 牙 、 e,
(6)
这里用卜 !表示向量的 Euclidean 范数或实数的绝对
存在线性反馈 v ，使得闭环系统满足
只< - 2L(郭+…+ z--1+素 :_, n )+LM ， (7) e矛
-6 2 4 -
海 军筑 空 工租 学 院 学报
2006 年 第 6 期
其中: V l， .) =针+ 二 _， .(Z ...,Z . +狱 +兹，M是一与L
无关的实数。 证明: 我们用递归设计方法证明结论。
么1‘ , +… )+L ;e + + -2L(Z +钉 M
第 步: 记x, 二 一 0.
作变换元二, +x, ， z " 系统变为 !
l s e J 、 万 ‘ e e s 口 t
吕世 良
( 鲁东大学数学与信息学院，山东烟台， 264025 ) 摘 要: 研究一类非线性系统的输出反馈输出追踪控制问题。利用高增益观测器和反传设计方法，在非线性系
统满足 Lipschit: 条件下， 对任意给定的 常数参考信号， 一动态 反馈控制器， 设计了 输出 使得闭环系 输出 统的 指数

6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：

现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+&&&&&&&，试求其状态空间最小实现。

扇形区域极点配置静态输出反馈可靠控制徐艺超;王福忠【摘要】Considering the continuous fault model in a linear system,we propose problem of a static output feedback reliable control of pole placement with actor faults in sector region. First,we study the system without any faults . We can get a feedback reliable controller ,the poles in the sector region ,but the controller will lose efficacy with the system with actor faults. Then under the actor faults,use the theory of Lyapunoy deduced the sufficient condition that make all the poles still in the same sector region . A static output feedback reliable con-troller can be obtained by using linear matrix inequality. A simulation example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of the results.%针对线性系统，考虑连续增益故障模型，研究了具有执行器故障的扇形区域极点配置的静态输出反馈可靠控制问题。

首先，在执行器无故障的前提下，给出使极点能够配置在扇形区域内的充分条件，进而得出系统的静态输出反馈可靠控制率。

定理12.3.1 非线性摄动系统 为大范围一致渐近稳定的充分条件是： 1.其名义系统 xt At xt 一致渐近稳定。 2.对于满足Lypunov方程
t P t A t AT t P t 2 I P 的一致有界，一致正定的实对称时变矩阵 P (t )有下式成立 f x t , t x t 2
问题12.2.2 [第二类分析问题]
x Ax Bu 已知系统 y Cx 渐近稳定,它所受的
扰动满足 d x , d x x ，其中 已知，试分析系统 x Ax x 是否渐近稳定。
12.2.2鲁棒控制系统设计
，
，
B N B, B , B, B R 则称系统 x Ax Bu 为一区间系统。
n r
A N A, A ,


A, A R
nn
区间系统的同时镇定问题可以描述如下 给定矩阵 A, A R
, B, B R 求取一实矩阵 K Rrn ，使得对于任何
A N A, A , B N B, B
nn
nr


均有 Re i A BK 0 , i 1,2,, n
（2）不确定系统的指标确保控制 定义12.2.2 对于系统
x Aqt , t x Bqt , t u 及其指标 J ，如果存在一个定义在 t 0 , t f 上的控制 u t 和一个实数 J ，使得该 系统在 t 0 , t f 作用下从 t 0 出发以 x 0 为初 值的解满足
J u , q J , qt



则称 J 为一个指标保证值，而 t 称为 u 该系统的一个在点 x 0 , t 0 处的以J 为指

e 输出—状态微分 ⎧x& = (A − HC)x + Bv
反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
ca u(t) B
x& (t )
x(t )
y(t )
∫
C
y A
输出
tc H
输入
定理9-3：输出至参考输入反馈的引入不改变 系统的可控性与可观测性。
ae 输出至参考输入反馈系统可控（可观测）
的充分必要件是被控系统可控（可观测）。
12
输出—状态微分反馈 x& = (A − HC)x + Bu
u(t )
e B
x& (t )
x(t )
y(t )
∫
C
aA
cH
三种反馈的共同点
前页
y 不增加新的状态变量，系统开环、闭环同维； tc 反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性变换。
二、反馈结构对系统性能的影响
1，可控可观性
e状态反馈 定理 9-1 a输出—状态微分反馈 定理 9-2 c 输出—参考输入反馈 定理 9-3
ap×1 参考输入 c控制量： u = v − Fy
q ×1 输出
p ×1
p × q 实反馈增益矩阵
y 输出—参考输入 ⎧x& = (A − BFC)x + Bv
tc 反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
例题
9
控制量： u = v − Fy
e 输出—参考输入 ⎧x& = (A − BFC)x + Bv
反馈闭环系统 ⎩⎨y = Cx
c⎡ 0 1 0 ⎤
A
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
y ⎢⎣− 20 − 29 −10⎥⎦

非线性控制系统的状态反馈全局镇定问题
蒋丹墀
【期刊名称】《贵州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1994(011)004
【摘要】本文对于由部分线性化递推算法所获得的结构研究其全局渐近稳定性问题,证明了"不受控制"的非线性部分的全局渐近稳定性可以导出整个系统能用状态反馈使之全局渐近稳定,该结论不同于Sussmann对与"零动态"有关的部分线性化结构所得出的结论且能导出他的结论。

【总页数】4页(P199-202)
【作者】蒋丹墀
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O231
【相关文献】
1.一类非线性控制系统的输出反馈半局镇定 [J], 李彪;翟景春;张勇
2.系统的增速依赖于不可测状态非线性系统全局输出反馈渐近镇定 [J], 尚芳;刘允刚;张承慧
3.非线性控制系统的全局可镇定 [J], 王连圭;田太心
4.非线性控制系统的全局镇定 [J], 王连圭
5.一类非线性控制系统的局部反馈镇定问题 [J], 陈贤峰;李杰;张伟江
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高超声速飞行器控制方法概述经过近三十年的努力，人们对非线性系统控制问题的研究取得突破性的进展，形成一系列有效的设计方法。

对于高超声速飞行器机身发动机一体化结构所具有的高非线性、强藕合性以及复杂的飞行环境所带来的不确定性，几乎所有的先进控制方法都或多或少的在高超声速器的飞行控制系统设计中有所应用。

通常采用的控制方法主要包括增益预置、反馈线性化方法、变结构控制、鲁棒自适应控制、模糊自适应控制等方法。

(1) 增益预置。

增益预置（Gain Scheduling）作为一种有效且经济的非线性控制方法被广泛的运用于各种工程实践中，它的核心思想是用线性控制器的设计方法来解决非线性控制问题，其理论基础在于光滑非线性系统可在局部点由一个线性系统逼近，因此利用方法设计控制器要求被控对象的动力学特性随着某些操作条件的变化而改变，并且两者之间的关系可知。

目前，国内外常规飞行器飞行控制系统控制律的设计大多数采用传统的增益预置控制方法，它是一种开环自适应控制，通过监测过程的运行条件来改变控制器的参数，在补偿参数变化或对象已知非线性方面，增益预置控制是一种行之有效的方法。

飞行器处在低动压飞行环境下，系统对控制器的鲁棒性能要求不是特别高的时候，可以采用增益预置的方法。

因为该方法技术比较成熟，且不受计算机速度的限制，在工程上已被广泛采用。

该方法的设计思路为采用多个线性控制器来近似替代所要求的非线性控制器，在需要设计增益预置控制器的飞行包络线内选取多个设计点，采用小扰动原理，在每一个设计点上，将其非线性模型转化成近似的线性模型，然后在每一个设计点上采用传统的控制器设计方法分别设计出一个线性控制器，于是非线性的影响可以通过在这些线性控制器间的切换来克服。

最终通过预定程序在这些线性控制器之间插值，得到一个完整的非线性控制律。

增益预置控制方法的局限性在于控制器参数是按开环方式改变的，没有来自闭环系统性能的反馈作用，当过程动态特性和扰动特性过于显著，此方法就得不到满意的控制效果。

¾ 应该指出：在一般场合,如果公称对象在虚轴上具有 极点和零点, 则很难满足G的假设条件。 ¾ 为了保证存在最优的H∞的控制器K, 使得w到z的闭环 传递函数矩阵的H∞范数最小化。对于次优的H∞控制 问题，条件(2)和(3)以及条件(5)和(6)未必是必要的。
由假定条件(2)和(3)可得： ¾ G12 ( jω ) = C1 ( jω I − A)−1 B2 + D12 在包含ω= ∞的所有ω处是列 满秩的; ¾ rank ⎢
T −1 T R = I + D11 (γ 2 I − D11 ) D11
Ξ F = ∑T (∑ ∑T )−1 (U T RU )−1 (∑ ∑ T )−1 ∑
T T AF = A + B1 (γ 2 I − D11 D11 ) −1 D11 C1 T T BF = B2 + B1 (γ 2 I − D11 D11 ) −1 D11 D12
2011年4月18日
鲁棒控制理论及应用课程
信息科学与工程学院
何 勇
H∞状态反馈控制器的一般形式(2)
Ｈ∞状态反馈控制可解的充分必要条件是
T D11 > 0 ,而且 1） γ 2 I − D11
2） 黎卡提方程
( A −B Ξ F C )
F F
T T F F F
T X + X ( AF − BF ΞF FF CF )
(1) (A, B1)是可镇定的，(A, B2)是可镇定的； (2) rank D12= m2，即矩阵D12是列满秩的； (3)
⎡ A − jω I rank ⎢ ⎣ C1 B2 ⎤ = n + m2 , ∀ω ∈ R ; ⎥ D12 ⎦
(4) (C1 , A)是可检测的，(C2 , A)是可检测的； (5) rank D21= p2，即D21是行满秩的； (6)

《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
设 K 镇定标称对象 P0 ，则： K ( s) 1 + P0 (s ) K ( s ) ∈ RH ∞
−1
−
∆
K (1 + P0 K )
−1
由 Ｎｙｑｕｉｓｔ 判据或小增益定理知，对于摄动后受控对象 P = P0 + ∆ ，闭环系 统内稳定的充分条件是：
∞
≤γ
该系统鲁棒稳定 iff A0 稳定，且
γ < C0 ( sI − A0 ) B0
−1
∞
−1
即 C0 ( sI − A0 ) B0
−1 ∞
<
1 γ
（５）状态反馈鲁棒镇定问题
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
考虑不确定系统
& ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) x
即
2 2 2 min ∫0 ( r − y ) + ρ u dt ∞
令 r − y z = ρu 则 1 − C1 P 1− C P 2 r = Tzr r z = C1P ρ 1− C P 2 性能指标等价为： min ∫ z T zdt = min z 2
第三章 H 无穷控制理论
３．１ H ∞ 问题的提出
（１）干扰抑制问题 考虑下图所示系统的干扰抑制问题。 K P y = 1 + P ( s ) K ( s ) d = Tyd ( s ) d 设 d ( t ) = A sin ( ω0 t ) ，当闭环系统内稳定时，
< 1 －－ H∞ 次优问题
（６） 跟踪问题 r u C1 + u = C1r + C2 y 考虑控制性能指标：