湖南省长沙市明达中学2019-2020学年高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析〖含高考模拟卷15套〗

湖南省百所重点名校大联考2020届高三高考冲刺数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若两个正实数,x y满足141x y +=，且不等式2yx m 3m 4+<-有解，则实数m 的取值范围( ) A ．()1,4- B ．()(),14,∞∞--⋃+C ．()4,1-D ．()(),03,∞∞-⋃+2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()()1,,2,A a B b --，且3sin22cos αα=，则a b -=（ ）A ．22B ．24 C ．322D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，(2sin 3cos )3cos a B C A -=，点D 是边BC 的中点，且132AD =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ．3或23 D ．334或34．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112xxx x <恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．eB ．eC ．1eD ．15．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．223B ．20C ．206+D ．2010+ 6．等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知集合22{|log (4)}M x y x x ==--，1{|()4}2xN x =≥，则M N =I （ ）A ．(4,2]--B ．[2,0)-C ．(4,2]-D ．(,4)-∞- 8．若满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．1B ．C ．4D ．29．已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为12e ,e ，则221211e e +=（ ） A ．32 B ．2 C ．52 D ．410．已知ln 0a b -=，1c d -=，则（22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B ．2C ．2D ．2211．已知2()4f x x =-，()2g x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x =是奇函数C ．()()()2f x g x h x x=-是偶函数D ．()()2()f x h x g x =-是奇函数12．函数()24412x f x x -+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长沙市明达中学2020届高三（高复部）第二次模拟考试数学试题（理）一．选择题（每小题5分，满分60分）1.“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』二项式1n x x +（）的通项为2110r r n r r r nr n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（）1nx x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数4n n =⇒为正偶数，n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1nx x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选A ．2.关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数『答案』A『解析』()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ，()23()2f x f x x -==- 函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x →x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选A3.已知向量a 和b 的夹角为3π，且2,3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A. 10- B. 7-C. 4-D.1-『答案』D『解析』()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos 3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D.4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( )A. 16B.C.163D.1283『答案』C『解析』正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ．5.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 『答案』D『解析』画出一个正方体ABCD EFHG -如下图所示.平面ABCD ⊥平面ADHE ，而//EH AD ，即平行于这两个垂直平面的交线，有//EH 平面ABCD ，故A 选项命题是真命题，且D 选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面ADHE 和平面ABFE 同时垂直于平面ABCD ，它们的交线AE 也垂直平面ABCD ，故选项C 命题是真命题.综上所述，本题选D.6.已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ D. (,0)(0,2)-∞『答案』B『解析』令2()()1h x f x x ax =+-=，()()1x g x x ϕ=+-2,121,11,1x x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩转化为()h x 与()x ϕ有两个交点时，求实数a 的取值范围， 如下图，1a =时，()h x 与()x ϕ相切于(1,1)点，当0a <或01a <<时，()h x 与()x ϕ有两个交点，故选B.7.对于函数()y f x =，如果其图象上的任意一点都在平面区域()()(){x,y |y x y x 0}+-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx =①；y =②确的是( )A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数” 『答案』B『解析』由y sinx =，设()g x sinx x =+，导数为cosx 10+≥，即有x 0>，()g x 0>；x 0<时，()g x 0<；设()h x sinx x =-，其导数为cosx 10-≤，x 0>时，()h x 0<，x 0<时，()h x 0>， 可得()()y x y x 0+-≤恒成立，即有y sinx =为“蝶型函数”；由)22xx x 1x 10=--=-<，可得y =为“蝶型函数”．故选B ．8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A. 3B.4 C.5 D. 6『答案』B『解析』在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有： AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选B ．9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．A. ()()22110x y xy --⋅-+=B. ()2210x y -+=C.()10x y --=D.0=『答案』C『解析』因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线， 故错误；B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误； C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=，∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分， 2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误. 故选C.10.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC ＝4，则角C =（ ） A. C ＝15°或C ＝45° B. C ＝15°或C ＝30° C. C ＝60°或C ＝45° D. C ＝30°或C ＝60°『答案』A『解析』因为()()a b c a b c ac ++-+=， 所以222a c b ac +-=-．由余弦定理得，2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒． 所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++112242=+⨯=， 故30A C -=︒或030A C -=-， 因此，15=︒C 或45C =︒． 故选：A11.设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）A. B. 4C. D. 以上都不对『答案』B『解析』由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=， 即122MF MF MN +-的最小值为4. 故选：B.12.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A.2B.C.D.『答案』C『解析』由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF=，于是sin sin EFP PEFEP PFμ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.二．填空题（每小题分，满分20分）13.设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ． 『答案』32『解析』因为将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以+2,23T n n Z π⋅=∈，由周期公式得：+22=,3n n Z ππω⋅∈，所以3=2n ω，又因为02ω<<，所以3=2ω．14.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年 『答案』戊戌『解析』由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61106÷=余1，则2078年的天干为戊，61125÷=余1，则2078年的天干为戌，所以2078年为戊戌年．15.已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______『答案』1,3]『解析』因为||||2b c ==，且0b c ⋅=,所以可设(2,0)OB b ==,(0,2)OC c ==,OA a =, 设(1)OD d b c λλ==+-,因为01λ≤≤,所以点D 在线段BC 上, 因为||1a =,所以点A 在单位圆221x y +=上, 如图”所以|(1)|a b c λλ---||OA OD =-||DA =,则问题转化为求线段BC 上的动点D 与单位圆上的动点A 之间的距离||DA 的取值范围.由图可知:当ODBC ,且A 为线段OD 与单位圆的交点时, ||DA 1,当D与B (或)C 重合,A 为单位圆与x (或y )轴的负半轴的交点时, ||DA 取得最大值2+1=3.所以|(1)|a b c λλ---的取值范围是1,3].故答案为: 1,3].16.已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____.『答案』ln 34『解析』由22()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以222(ln ln )n m a n m-=-， 令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)t m a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 显然ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，在[1,)m ∈+∞单调递减， ∴ln(1)(1)(2)t a g t t +≤=+（2t ≥）令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)()[(2)](1)t t t t h t t t t +-++'=++，∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则2222(1)ln(1)t t t t +-++，∴令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减，∴ln 3(2)4a h ≤=，∴实数a 的最大值为ln 34． 故答案为：ln 34三:解答题（满分70分）17.如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究CPQ ∆的周长l 是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？ 解：（1）设,1(01)BP t CP t t ==-≤≤，所以()145,ADtan 451tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+， 则：12111t tCQ t t-=-=++，所以211t PQ t +==+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++所以CPQ ∆的周长l 是定值2hm . （2）ABP ADQ S S S S ∆∆=--正方形11121212222121t t t t t -⎛⎫=--⋅=-++- ⎪++⎝⎭，当且仅当1t =-时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为22hm .18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，060,FAC ∠=//,//,3,AB DE BC EF AB BC AF BF ====（1）求证：平面ABC ⊥平面ACDF（2）求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值 （1）证明：设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ， 在ABC ∆中，AB BC =，OB AC ∴⊥， 四边形ACDF 是菱形，60FAC ∠=︒， FAC ∴∆是等边三角形，OF AC ∴⊥， FOB ∴∠是二面角F AC B --的平面角，在Rt FAO ∆中，AF =1122AO AC AF ===3OF ∴===，OB === 又15BF =222OF OB BF ∴+=，90FOB ∴∠=︒，∴平面ABC ⊥平面ACDF ．（2）解：由（1）知OB 、OC 、OF 两两垂直，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A，，0)，B 0，0)，(0C0)，(0F ，0，3)， (0AF =3)，(0AC =，0)，//AB DE ，//AF CD ，又AB ⊂/平面CDE ，AF ⊂/平面CDE ， DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，//AB ∴平面CDE ，//AF 平面CDE ，又ABAF A =，∴平面//ABF 平面CDE ，//EF BC ，B ∴、C 、E 、F 四点共面，又平面ABF平面BCEF BF =，平面CDE ⋂平面BCEF CE =，//BF CE ∴，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴(FE BC ==-0)，∴(AE AF FE =+=-3)，设平面AEF 的法向量(n x =，y ，)z ，则·330·60nAF y z n FE ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取x =(3,6,n =，设平面ACE 的法向量(m a =，b ，)c ，则·630·230m AE c m AC ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩，取a =(3,0,m =，设平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角为θ， 则||cos||||55m n m n θ===．∴平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为55．19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； ()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B 与12RB B 的面积之比为定值．()1解：如图，由112B F B 的边长为4的等边三角形，得4a =，且2b =．∴椭圆的标准方程为221164x y +=； ()2解：直线1PB 的一个方向向量是()1,1，∴直线1PB 所在直线的斜率1k =，则直线1PB 的方程为2y x =+，联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得25160x x +=，解得165P x =-，65P y ∴=-． 则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭，1PB == 则以1PB为直径的圆的半径5r =． ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=；()3证明：方法一、设()00,P x y ，()11,.R x y直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=，由11RB PB ⊥，得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-．于是直线1RB 的方程为：0022x y x y =-+-． 同理，2RB 的方程为：0022x y x y =--+． 联立两直线方程，消去y ，得20104y x x -=．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-． 014x x ∴=-， 121214PB B RB B S x Sx ∴==． 方法二、设直线1PB ，2PB 斜率为k ，，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为12y x k=-+， 将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，00x ∴≠，从而021641kx k -=+．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-． 200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-，得1'4k k=-． 22RB PB ⊥，∴直线2RB 的方程为42y kx =-．联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2441k x k =+，即12441k x k =+． 1212201216414441PB B RB B k S x k k Sx k -+∴===+．21.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n +=+∈N ．的()1若11,2n n a b ==，求4a 的值；()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =． 解：()111n n n a b S +=+，11a =，2n n b =， 121111412a a b ++∴===，146132+++ 232114161S a b +++===， 34311461832S a b ++++===， 证明：()2设()111n n a a qq -=≠，则()111nn a q S q-=-，11n n n a b S +=+，()()111111111111nn n n nnn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-， ()()1111111111111n n n n a a q q a q b q q a q q q a q -+-+-∴+=+=----()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=，(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列， ()3数列{}n b 是公差为d 的等差数列，∴当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=，即()()11n n n n a a b d a +-=-， 数列{}n a 的各项都不为零，10n n a a +∴-≠，10d -≠， ∴当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--， 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--， 两式相减得：当3n ≥时，111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----．先证充分性： 由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--， ∴当3n ≥时，1111n nn n n na a a a a a --++=--，又0n a ≠，11n n n n a a a a +-∴-=-，即2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列； 再证必要性：2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列， ∴当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-，111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----，12d ∴=． 综上所述，2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列的充要条件是12d =请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，曲线222:20C x y y +-=，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l a θρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O )（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02a π<<时，求22OA OB +的取值范围.解：（1）1C 的普通方程为，1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22||16cos OA α=联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=222||412cos OA OB α+=+，02a π<<∴()22||4,16OA OB +∈23.已知函数()12f x x x =-+-，记()f x 的最小值为k . （1）解不等式()1f x x ≤+；（2）是否存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=？并说明理由. 解：（1）不等式()1f x x ≤+化为2110x x x -+---≤ 设函数211y x x x =-+---，则23,1{,124,2x x y x x x x -<=-≤≤->，令0y ≤，解得243x ≤≤， 原不等式的解集是2{|4}3x x ≤≤ （2）()21121f x x x x x =-+-≥-+-=当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时取等号，故1k = 假设存在符合条件的正数,a b ，则21a b +=，高中数学月考/段考试题21 ()121242448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4,21b a a b a b =+=，即11,42a b 时取等号， 12a b ∴+的最小值为8，即124a b+> 不存在正数,a b ，使得1221,4a b a b +=+=同时成立.。

2020年湖南省百所名校大联考高考数学冲刺试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U=R，A={x|y=log2018（x-1）}，，则A∩（∁U B）=（）A. [1，2]B. [1，2）C. （1，2]D. （1，2）2.若x,y为共轭复数,且,则等于( )A. B. 2 C. D. 43.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（-1）=（）A. -2B. 0C. 1D. 24.北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度5.已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件6.已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x-y+1≤0；；；其中真命题的是（）A. P1，P2B. P2，P3C. P3，P4D. P2，P47.已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A. 函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B. 函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C. 函数y=f（x+π）在区间[-π，]上单调递增D. 在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8.在直角坐标系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|x cosθ+（y-4）sinθ=1，0≤θ≤2π}，已知集合A的补集∁U A所对应区域的对称中心为M，点P是线段x+y=8（x＞0，y＞0）上的动点，点Q是x轴上的动点，则△MPQ周长的最小值为（）A. 24B. 4C. 14D. 8+49.已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||=，则）的取值范围是（）A. [0，12]B. [0，]C. [0，6]D. [0，3]10.已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点与的夹角为θ，且|tanθ|=3，则b=（）A. 1B.C.D.11.定义“有增有减”数列{a n}如下：∃t∈N*，满足a t＜a t+1，且∃s∈N*，满足a S＞a S+1．已知“有增有减”数列{a n}共4项，若a i∈{x，y，z}（i=1，2，3，4），且x＜y＜z，则数列{a n}共有（）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个12.已知函数f(x)＝e x-ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（）A. x1+x2＜2B. a＜eC. x1x2＞1D. 有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图的程序框图，若，则输出n的值为______．14.已知P为抛物线C：y=x2上一动点，直线l：y=2x-4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，-4）且=+，则λ+μ的最小值为______．15.锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为______．16.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1-AA1-B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图:（1）根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2,表2：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．x i y i x i u i100.5466 1.54 2.71150.12 3.47其中20.已知抛物线C：的焦点到准线的距离为,直线l：与抛物线C交于A,B两点,过这两点分别作抛物线C的切线,且这两条切线相交于点D．若D的坐标为,求a的值；设线段AB的中点为N,点D的坐标为,过的直线与线段DN为直径的圆相切,切点为G,且直线与抛物线C交于P,Q两点,求的取值范围．21.已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=e x+mx2-2e2-3，当a=e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．23.已知函数f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行计算即可．【解答】解：A={x|y=log2018（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，，={y|y≥2}，则∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={x|1＜x＜2}，故选：D．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义，属于基础题．x，y为共轭复数，可设x=a+bi，y=a-bi（a，b∈R）．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：x，y为共轭复数，可设x=a+bi，y=a-bi（a，b∈R）．∵（x+y）2-3xyi=4-6i，∴4a2-3（a2+b2）i=4-6i，∴，解得a2=b2=1．∴|x|+|y|=2=2．故选：C．3.答案：A解析：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（-1）=-f（1）=-2，故选：A．利用奇函数的性质，f（-1）=-f（1），即可求得答案．本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．根据方差是描述数据波动性大小的量，由图得出第二季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小．本题考查了方差的概念与应用问题，是基础题．5.答案：A解析：解：若P（ξ＞a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式T k+1==•a3-k•x3-3k，由3-3k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=-1，即“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及正态分布，二项展开式的应用，综合性较强．6.答案：D解析：【分析】作出平面区域，举反例或根据命题表示的几何意义判断．本题考查了线性规划的应用，属于中档题．【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（-2，0）时，x+y=-2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x-y+1=0，由图象可知△ABC在直线2x-y+1=0的上方，故而对于任意一点P，都有2x-y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，-1），连结MB，MC，则k MB=-，k MC=-3，∴-3≤≤-，故命题p3错误；联立方程组，解得A（-1，3），故OA2=10，故命题p4正确．故选：D．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（x+），令x=，求得f（x）=，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x=对称，故A正确；令x=，求得f（x）=0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y=f（x+π）=sin（x+π+）=-sin（x+），在区间[-π，]上，x+∈[-，]，故f （x+π）单调递减，故C错误；令f（x）=1，求得sin（x+）=，∴x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，故在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8.答案：B解析：解：∵点（0，4）到直线x cosθ+（y-4）sinθ=1的距离d==1，∴直线x cosθ+（y-4）sinθ=1为圆x2+（y-4）2=1的切线，∴集合A的补集∁U A所对应的区域为圆x2+（y-4）2=1的内部，故M（0，4），过直线x+y=8及x轴作点M的对称点A，B，则A（0，-4），B（4，8），故所求值为线段AB的长度，由两点间距离公式可知|AB|==4，故选：B．利用点到直线的距离公式计算可知集合A表示的图形即为以（0，4）为圆心、1为半径的单位圆的外部，从而可得M（0，4），通过作出图象，问题转化为求点M关于x轴和x+y=8对称的两点之间的距离，计算即得结论．本题考查函数的最值及几何意义，考查数形结合能力，考查转化思想，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．9.答案：A解析：【分析】本题考查向量的数量积，辅助角公式，三角函数图像与性质，考查数形结合的数学思想，化归与转化思想，属于中档题.根据要求画出草图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，写出A，B，C三点的坐标；设出P的坐标，显然P在以C为圆心，半径为的圆上，用三角函数表示P点坐标，再写出的坐标，利用坐标运算，借助辅助角公式，三角函数图像与性质写出范围．【解答】解：如图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，故A(1，)，C(2，0）,设P(x，y)，因为||=，所以,令,则,,,所以）,因为，所以，即）的取值范围为[0，12]，故选A.10.答案：B解析：【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，正切函数两角和与差的公式，考查运算求解能力，属于中档题．根据题意，设出A、B、M的坐标，由于A、B两点在椭圆上，则，运用点差法分析可得，进而可得，变形可得；设直线OM的倾斜角为α，由正切的和角公式可得，综合可得，解可得b的值，即可得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由于A、B两点在椭圆上，则，两式作差得．因为直线AB的倾斜角为，则有，所以，即；设直线OM的倾斜角为α，则或，．又，由，解得b2=2，即．故选：B．11.答案：D解析：解：由题意可知4个数值的数列中，有2个相同，例如：x，x，y，y类型，共有=12种．只有2个数值相同，利用：x，x，y，z类型．共有：×10=30种；有3个数值相同，例如x，x，x，y类型，共有：=12种．满足题目的数列类型共有：54种．故选：D．分析题目条件，数列的4个数，有2个相同，3个相同，两种类型，求出数列的数目即可．本题考查排列组合的实际应用，合理分类与分步是解题的关键．12.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目．对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e；对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，对于D：f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增即可得出结论．【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2ln a+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，A不正确；∵f（x）=e x-ax，∴f′（x）=e x-a，令f′（x）=e x-a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x-a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增，f（x）只有一个零点，不符合题意．②当a＞0时，∵f′（x）=e x-a＞0，∴e x-a＞0，解得x＞ln a，∴f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x-ax有两个零点x1＜x2，∴f（ln a）＜0，a＞0，∴e ln a-a lna＜0，∴a＞e，B不正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=ln a，且x1+x2＜2x0=2ln a，D正确．故选：D．13.答案：5解析：解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n=5．故答案为：5．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的只并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.答案：解析：解：由题意得M（2，0），N（0，-4），由=+，得（x-2，y+4）=λ（0，4）+μ（-2，0），∴x-2=-2μ，y+4=4λ，因此．故答案为：．推出M（2，0），N（0，-4），利用=+，转化求解λ+μ的最小值．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：解析：解：∵∠A=30°，BC=1，可得：，∴AB=2sin C，AC=2sin B=2sin（150°-C）=2（cos C+sin C）=cos C+sin C，∴S△ABC=AB•AC，∵C∈（，），可得：2C-∈（0，），∴sin（2C-）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．由正弦定理可求AB=2sin C，AC=cos C+sin C，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC=sin（2C-）+，由范围C∈（60°，90°），利用正弦函数的性质可求S△ABC的范围本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，当SC=或SC=4时，四棱锥S-ABCD的高最小，当SA⊥平面ABCD，则四棱锥高最大，分别求出对应的高，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】解：AD AB，AD SA，∴AD平面SAB，则平面SAB⊥平面ABCD，当SC=时，过S作SO⊥AB，垂足为O，连接AC，OC，设OA=x，在△OAC中，由余弦定理可得，在Rt△SOA中，有OS2=SA2-x2=4-x2，在Rt△SOC中，有OS2+OC2=SC2，即4-x2+x2-4x+8=8，求得x=1．∴．此时；当SC=4时，可得∠BAS为钝角，同理求得．此时；∴当SA⊥平面ABCD时，．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：．故答案为：．17.答案：（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，①a1+a2+a3+…+a n+1=n+1-a n+1，②②-①可得2a n+1-a n=1 …..（3分）即：a n+1-1=（a n-1），又a1-1=-…..（5分）所以数列{a n-1是以-为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n=1-，…（7分）∴b n=（2-n）（a n-1）=…（8分）由b n+1-b n=-=＞0可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3=b4=所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立…（13分）所以t2-t-≥0解得t≥或t≤-所以，实数t的取值范围是（-∞，]∪[，+∞）…（14分）解析：（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+a n=n-a n，再写一式，两式相减，整理可得数列{a n-1是以-为首项，以为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定b n=（2-n）（a n-1）=，再利用b n+1-b n，确定b n有最大值b3=b4=，从而对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立，由此可求实数t的取值范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．18.答案：（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵，即CD=2DA1∴AC1∩A1C=D，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1-AA1-B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A1（0，0，1），C（0，4，0），．所以,,,设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．（Ⅰ）连接AC1，BC1，由已知可得，则，又，可得DE∥BC1，然后利用线面平行的判定得DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）由侧面A1C1CA是梯形，且A1A⊥A1C1，可得AA1⊥AC，结合A1A⊥AB，得∠BAC为二面角C1-AA1-B的平面角，则∠BAC=，可得△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，分别求出平面A1B1BA与平面C1B1BC的法向量，由两法向量所成角的余弦值得平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：（1）根据散点图判断，y=c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵y=c•d x，两边同时取常用对数得：lg y=lg（c•d x）=lg c+lg d•x，设lg y=u，∴u=lg c+lg d•x，又∵=4，=1.54，，∴lg=，=,把样本中心点（4，1.54）代入u=lg c+lg d•x，得：，∴=0.54+0.25x，∴lg=0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程式为：，把x=8代入上式得，，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4，则P（Z=2）=0.1，，P（Z=1.6）=，,分布列为：Z2 1.8 1.6 1.4P0.10.150.70.05所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66（元）．解析：本题考查了线性回归方程与应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，属于中档题．（1）根据散点图判断y=c•d x适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）利用两边同时取常用对数，求出线性回归方程，再化为y关于x的回归方程，把x=8代入回归方程求得对应y的值；（3）记乘车支付费用为Z，知Z的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．20.答案：解：（1）由抛物线C：x2=-2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p=，则抛物线C的方程为x2=-y．设切线AD的方程为y=kx+2，代入x2=-y得x2+kx+2=0，由△=k2-8=0得k=±2．当k=2时，A的横坐标为-=-，则a=-（-）2=-2，当k=-2时，同理可得a=-2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，-a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2=a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG==，所以∠MOG=，所以|MG|=|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y=x+2a，代入x2=-y得x2+x+2a=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2=-，x1x2=2a，△=3-8a＞0，所以|PQ|=•=2，所以==•=•，设t=-，因为a＜-1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以=•=•∈（0，）．解析：本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．（1）由抛物线C：x2=-2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，求出p，然后求解抛物线C的方程．设切线AD的方程为y=kx+2，代入x2=-y，通过△=0，求出k，然后求解a;（2）N（0，a），则以线段DN为直径的圆为圆O：x2+y2=a2．根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l'即可，设P（x1，y1），Q（x2，y2）利用弦长公式，转化求解即可．21.答案：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）=0，得x=1或x=a-1．当a≤1，则a-1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a-1＜1，由f'（x）＜0得a-1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a-1或x＞1，函数f（x）在（a-1，1）上单调递减，在（0，a-1）和（1，+∞）上单调递增．当a=2，则a-1=1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a-1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a-1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a-1，函数f（x）在（1，a-1）上单调递减，在（0，1）和（a-1，+∞）上单调递增．（II）当a=e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）=-e2-3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值-e2-3．由e x+mx2-2e2-3≤-e2-3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．=，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2-e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2-e x）＞e x x-2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（-∞，e2-e]．解析：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，得x=1或x=a-1．对a分类讨论即可得出单调性．（II）当a=e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）=-e2-3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g （x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值-e2-3．由e x+mx2-2e2-3≤-e2-3得e x+mx2≤e2，．记，当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y-1）2=1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y-2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y-1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．解析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y-1）2=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题．23.答案：解：（1）∵函数f（x）=+=+=|x-3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤-5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤-5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）=|x-3|+|x+4|=．由于函数g（x）=k（x-3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图，其中，K PB=2，A（-4，7），∴K PA=-1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（-1，2]．解析：（1）函数f（x）=|x-3|+|x+4|，不等式f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图，由K PB=2，A（-4，7），可得K PA=-1，数形结合求得实数k的取值范围．本题主要考查对由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．。

2019-2020年高三数学最后一卷试题 理本试卷分选择题和非选择题两部分，第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -2．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 3．某程序的框图如图所示，输入N=5，则输出的数等于( ) A ．45 B ．65 C ．56 D ．54 4. 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是A ．(－∞，2] B.[－2,2] C ．(－2,2] D.(－∞，－2) 5．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,1]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[－1,1] 6．已知函数()cos6xf x π=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =，现从M 中任取两个不同的元素,m n ，则()()0f m f n ⋅=的概率为( ) A ．512B ．712C ．718D ．797. 已知点B 是半径为1的圆O 上的点，A 是平面内一点，线段AB 的垂直平分线 交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹不可能是（ ） A.一个点 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线8. 如图，点P 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶点，则AP →·AB →的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．任意实数9．已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤ ⎥⎝⎦ 10．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分。