直线与平面的关系

b'
a
b
α
B
A
B
由于点的选取具有任意性, 由于点的选取具有任意性 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离 点到直线的距离来表示 我们用点到直线的距离来表示两条平行线间的距离
A'
c
B'
b
M
两条相交直线的位置关系我们使用角度而非距离 来刻画
a
平行直线到平面的的距离如何刻画? 平行直线到平面的的距离如何刻画?
C
课堂练习 1,书 P99/1,2 2, 如图在正方体
ABCD A1 B1C1 D1
D1 A1
中,求A1B与平面A1DCB1的交角 C1
B1 O
D A B
C
�
距离来刻画它们的位置关系吗
距离计算的典型例题: 距离计算的典型例题 例2,如图在长方体
ABCD A1 B1C1 D1
中,
AB = 4, BC = 4, AA1 = 3
求直线B1C1和平面A1BCD1的距离
D1
C1
A1 D E A
B1 C
B
例3,已知在平面 α 内有直角BAC,在它的两条边上取AB=3cm,AC=12cm,若线段 PB=4cm,且 PB ⊥ α 求:
l
α
M
过一点有多少条直线和已知直线垂直?无数条 过一点有多少条直线和已知直线垂直?
专题二:平行 垂直与距离 专题二 平行,垂直与距离 平行
我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系 我们一般用"距离"来刻画两个元素间的相对位置关系: A A
B
A
l
l
d =| AB |
点到平面的的距离如何刻画? 点到平面的的距离如何刻画? B C A B'

直线与平面平行第1页共6页直线与平面的位置关系知识点：1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定定理与性质定理； 3．线面平行的应用； 教学过程：1．直线与平面的位置关系；（1）直线在平面上：l α⊂---直线与平面有无数个交点；（2）直线在平面外：①l P α= ---直线与平面相交，只有一个交点；②//l α---直线与平面平行，没有交点；2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行； （线线平行⇒线面平行） 已知：,,//a b a a b α⊄⊂ 求证：//a α 证明：（反证法）说明：用符号表示为：////a b a a a b αα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭例1.（1）直线α//,//111l l l ，则2l 与面α的位置关系是 ；（2）下列说法中正确的是 ①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则α//l ；②若直线l 在平面α外，则α//l；直线与平面平行第2页共6页BDFEAml βα③若α⊂221,//l l l ，则α//l ；④若α⊂221,//l l l ，则l 平行于α内无数条直线；(3).下列命题不正确的是 ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；②若直线α//l，则l 与平面α内任意一条直线平行；③若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行； ④若一条直线l 和平面α内的一条直线m 平行，则α//l；例2.如图，已知,E F 分别是三棱锥A B C D -的侧棱,AB AD 的中点. 求证：//E F 平面BC D ．例3．在正方体ABCD D C B A -1111中，O 为底面A B C D 的中心。

求证：111//OC AB D .例4．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；已知：//l α，l β⊂，m αβ= ，求证：//l m ． （线面平行⇒线线平行）----线面平行的性质定理；说明：用符号表示为：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒ 。

(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO

直线与平面的垂直与平行关系直线与平面的相交关系是几何学中重要的一部分，而直线与平面的垂直与平行关系是其中最为基础、常见且重要的一种情况。

本文就直线与平面的垂直与平行关系进行详细探讨。

一、直线与平面的垂直关系当一条直线与一个平面相交且与该平面上的任意一条直线都垂直时，我们说该直线与该平面垂直。

下面我们介绍几种常见的直线与平面垂直关系。

1.1 直线垂直于平面的一个向量对于一个平面，我们可以找到一条直线，使得该直线垂直于该平面上的任意一个向量。

这种情况下，我们说该直线与该平面垂直。

1.2 直线垂直于平面的法线在平面上可以找到一条唯一的直线，与平面上的任意一个向量都垂直。

这条直线被称为该平面的法线。

直线与一个平面垂直的充要条件是该直线与该平面的法线平行。

1.3 平面上两条相交直线的垂线平面上的两条直线如果相交，并且这两条直线到平面的距离都为0，则称这两条直线垂直于平面。

二、直线与平面的平行关系当一条直线与一个平面上的所有直线都平行时，我们说该线与该平面平行。

直线与平面的平行关系有以下几种情况。

2.1 直线平行于平面上的一条直线如果一条直线与一个平面上的一条直线平行，并且它不在该平面上，则该直线与该平面平行。

2.2 平面上两条平行直线的垂线如果平面上的两条直线相互平行且垂直于该平面，则称这两条直线与该平面平行。

2.3 平面上的两个相交直线的平行线如果平面上的两个直线相互相交，且与该平面的另一条直线平行，则这两条直线与该平面平行。

三、直线与平面关系实例以下是一些直线与平面的垂直与平行关系的实例。

3.1 垂直关系实例我们考虑一条通过平面内某一点并垂直于该平面的直线，这条直线与该平面的任意两条相交直线都垂直于该平面。

因此，我们可以得出结论：通过平面内一点，并与平面上两条相交直线垂直的直线与该平面平行。

3.2 平行关系实例我们考虑一个平行于该平面的直线，这条直线与该平面上的任意两条直线都平行。

因此，我们可以得出结论：与平面上两条相交直线平行的直线与该平面平行。