【全国百强名校】长沙市一中2020届高三第4次月考高考冲刺试卷-理科数学(附答案)

长沙市一中2023届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}38A x x =∈<<N ，{}6,7,8B =，全集U A B =⋃，则()U A B ⋂ð的所有子集个数（）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数z 满足i 3i 4z =+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC △中，点N 满足2AN NC = ，记BN a = ，NC b = ，那么BA = （）A ．2a b- B ．2a b + C ．a b - D ．a b +4．已知1lg 2a =，0.12b =，sin 3c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运—20专机在两架歼—20战斗机护航下抵达沈阳国际机场。

歼—20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼—20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形则机身头部空间大约（）立方米A B ．33πC D ．22π6．已知函数()1cos 32πf x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（0ω>），将()f x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，已知()g x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的取值范围是（）A ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．82,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（）A ．518B ．49C ．59D ．13188．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，BC =，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（）A ．2821π27B ．32π3C ．205π3D ．287π9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（）A ．B．C．D ．10．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（）A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1111．已知数列{}n a 中，11a =，若11n n n na a n a --=+（2n ≥，n *∈N ），则下列结论中正确的是（）A ．3611a =B ．11112n n a a +-≤C ．ln(1)1n a n ⋅+<D ．21112n n a a -≤12．已知偶函数()f x 在R 上可导，()01f =-，()()g x f x '=，若()()112f x f x x +--=，则（）A ．()00g =B ．()20232023g =C ．()33f =D ．()2221f n n -=-（n ∈N ）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆C ：()22116x y -+=，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则ABC △的面积最大值为______．14．若(3nx +的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中3x 项的系数是______．15．已知点1F 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于A ，B 两点，M ，N分别是1AF ，1BF 的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______．16．设函数()2322f x x ax =-（0a >）的图象与()2ln g x a x b =+的图象有公共点，且在公共点处切线方程相同，则实数b 的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()231n n S a =-，*n ∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠．（1）若2π3BAC ∠=，4AB =，2AC =，求AD 的值；（2）若ABC △为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求BDDC的取值范围．条件①：)2224b c a S +-=；条件②：224sin 8sin102BB --=；条件③：222sin cos cos sin B C A A B +-=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本题满分12分）如图，点E 在ABC △内，DE 是三棱锥D ABC -的高，且2DE =．ABC △是边长为6的正三角形，5DB DC ==，F 为BC 的中点．（1）证明：点E 在AF 上；（2）点G 是棱AC 上的一点（不含端点），求平面DEG 与平面BCD 所成夹角余弦值的最大值．20．（本题满分12分）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3-，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线C 于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为a （00.4a <<）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为ξ．（1）证明：在的概率分布中，()1P ξ=最大．（2）对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为()i t P i ξ==（1i =，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．22．（本小题满分12分）已知函数()sin ln f x x x m x =-+，0m ≠．（1）若函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求m 的取值范围；（2）设3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足cos 1sin ααα=+，证明：当20sin m a α<<-时，函数()f x 在()0,2π上恰有两个极值点．长沙市一中2023届高三月考试卷（四）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CAABBDCC1．C【解析】依题意，{}4,5,6,7A =，而{}6,7,8B =，则{}4,5,6,7,8U =，{}6,7A B ⋂=，因此(){}4,5,8U A B ⋂=ð，所以()U A B ⋂ð的所有子集个数是328=．故选：C ．2．A 【解析】由题得3i 434i iz +==-，所以34i z =+．所以z 在复平面内对应点在第一象限．故选：A ．3．A 【解析】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-．故选：A ．4．B 【解析】1lg lg102a =<=，0.10221b =>=，0sin31<<，∴b c a >>．故选：B ．5．B 【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，米，根据圆雉体积公式得213π1π33V =⨯=．故选：B ．6．D【解析】()π1cos 232g x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令π23t x ω=-，由题意()g x 在[]0,π上恰有5个零点，即1cos 2t =在ππ,2π33t ω⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恰有5个不相等的实根，由cos y t =的性质可得11ππ13π2π333ω≤-<，解得723ω≤<．故选：D ．7．C【解析】将3个偶数排成一排有33A 种，再将3个奇数分两种情况揷空有332A 种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有33332A A 72=种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有2222A A 4=种；2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有11122222C C C A 16=种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻的数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是405729=．故选：C ．8．C 【解析】解法一：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，所以要使三棱柱的体积最大，则ABC △面积最大，因为1sin 2ABC S BC AC ACB =⋅⋅∠△，令AC x =，因为BC =，所以23sin 2ABC S x ACB =⋅∠△，在ABC △中，2222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，所以()224224416143216sin 11212x x x ACB x x--+-∠=-=，所以()()22422424123384sin 34434ABC x x x S x ACB ∠--+-+-=⋅=⋅=△，所以当24x =，即2AC =时，()2ABC S △取得最大值3，所以当2AC =时，ABC S △，此时ABC △为等腰三角形，2AB AC ==，BC =，所以22244121cos 22222AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，()0,πBAC ∠∈，所以2π3BAC ∠=，由正弦定理得ABC △外接圆的半径r 满足23422πsin3r ==，即2r =，所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径222152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为34π205π33R =．故选：C ．解法二：在平面ABC 中，由2AB =，BC =知，平面ABC 中C 点的轨迹是阿氏圆，建立坐标系．要使三棱柱的体积最大，则ABC △面积最大，此时可计算出外接圆半径为2．所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径2221252AA R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为34π33R π=．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案ADBCABCABD9．AD【解析】对于A 选项，由图1可知MN DE AC ∥∥，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，A 正确；对于B 选项，设H 是EG 的中点，由图2，结合正方体的性质可知，AB NH ∥，MN AH BC ∥∥，AM CH ∥，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误；对于C 选项，如图3所示，根据正方体的性质可知MN AD ∥，由于AD 与平面ABC 相交，所以MN 与平面ABC 相交．所以C 错误；对于D 选项，如图4，设AC NE D ⋂=，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，，所以MN BD ∥，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以MN ∥平面ABC ，D正确．故选：AD ．10．BCD 【解析】拋物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，故A 错误；由21,41,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩即2440x x -+=，解得()24440∆=--⨯=，所以直线1y x =-与C 相切，故B 正确；点(),P x y ，所以()()22222441621212PM x y y y y =+-=-+=-+≥，所以minPM=，故C 正确；如图过点P 作PN ⊥准线，交于点N ，NP PF =，5MF ==，所以周长5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=△，当且仅当M 、P 、N 三点共线时取等号，故D 正确；故选：BCD ．11．ABC【解析】因为11n n n na a n a --=+，故可得1111n n a a n --=，11221111111111111112n n n n n a a a a a a a a n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对A ：当3n =时，3111111236a =++=，故可得3611a =，故A 正确；对B ：因为1111n n a a n --=，则11111n n a a n +-=+对1n =也成立，又当1n ≥，*n ∈N 时，1112n ≤+，则11112n n a a +-≤，故B 正确；对C ：令()()ln 1f x x x =+-（0x >），则()01xf x x -=<+'，故()f x 在()0,+∞上单调递减，则()()00f x f <=，则当0x >时，()ln 1x x +<，11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭；则当1n ≥，*n ∈N 时，11ln 1n n⎛⎫+<⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n +-<；则()()()()11ln 1ln 1ln ln ln 1ln2ln111n n n n n n n +=+-+--+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-，即()1ln 1nn a +<，又0n a >，()ln 11n a n ⋅+<，故C 正确；对D ：2111111112222n n n a a n n n n -=++⋅⋅⋅+≥⨯=++，故D 错误．故选：ABC ．12．ABD 【解析】因为函数()f x 为偶函数，所以()f x 的图象在0x =处的斜率为0，即()()000g f ='=，故A 正确；函数()f x 为偶函数，所以()g x 为奇函数，()()112f x f x x +--=，所以()()112g x g x ++-=，令0x =，得()11g =，又()g x 为奇函数，所以()()112g x g x +--=，()()()()()()()()202320232021202120193112101112023g g g g g g g g =-+-+⋅⋅⋅+-+=⨯+=，故B 正确；假设()2112f x x =-，满足()f x 为偶函数，()01f =-，()()()()22111111222f x f x x x x +--=+--=，符合题目的要求，此时，()732f =，故C 错；()f x 为偶函数，所以()()112f x f x x +--=，即()()112f x f x x --+=-，()()()()()()()()22222224200f n f n f n f n f n f f f -=---++-+--++⋅⋅⋅+--+()()()()221222122322111212n n n n n --+⎡⎤⎣⎦=-----⋅⋅⋅-⋅--=-=-（n ∈N ），故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8【解析】圆C ：()22116x y -+=的圆心为()1,0，半径为4，设线段AB 的中点为M ，由垂径定理得：2216AM MC +=，由基本不等式可得：22162AM MC AM MC +=≥⋅，所以8AM MC ⋅≤，当且仅当AM MC =时，等号成立，则182ABC S AB CM AM CM =⋅=⋅≤△，故答案为：8．14．15【解析】令1x =，得所有项的系数和为4n，二项式系数和为2n，所以42322n nn ==，即5n =，(53x +的第1r +项为()15552255C 3C 3rrr r r r x x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令532r -=，得4r =，所以3x 项的系数是45C 315⨯=，故答案为：15．15．22⎫⎪⎪⎣⎭【解析】如图所示，当点M ，N 分别是1AF ，1BF 的中点时，OM ，ON 是1ABF △的两条中位线，若以MN 为直径的圆过原点，则有OM ON ⊥，11AF BF ⊥，解法一：所以在直角1ABF △中，122AB OF c ==，即A 、B 为以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆的交点，所以b c ≤，即22b c ≤，所以222a c ≤，故22e ≤，又1e <，所以212e ≤<．解法二：由上可知，11AF BF ⊥，设点()00,A x y ，则点()00,B x y --，又点()1,0F c -，所以()100,AF c x y =--- ，()100,BF c x y =-+，则22211000AF BF c x y ⋅=--= ，又2200221x y a b +=，所以2222020c x b c a +-=，得()222202a cb xc -=，即只需()222220a c b a c -≤<，整理得：222c a ≥，解得22e ≤，又1e <，所以212e ≤<．故答案为：2,12⎫⎪⎪⎣⎭．16．212e【解析】设公共点坐标为()00,x y ，则()32f x x a =-'，()2a g x x'=（0x >），所以有()()00f x g x =''，即20032a x a x -=，解得0x a =（03ax =-舍去），又()()000y f x g x ==，所以有2200032ln 2x ax a x b -=+，故2200032ln 2b x ax a x =--，所以有221ln 2b a a a =--，对b 求导有()21ln b a a =-+'，故b 关于a 的函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数，所以当1ea =时b 有最大值212e ．故答案为：212e ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由已知()231n n S a =-，*n ∈N ，当1n =时，()11231S a =-，解得113a S ==，当2n ≥时，()11231n n S a --=-，则()()123131n n n a a a -=---，即13n n a a -=，所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1333n n n a -=⨯=；（2）由（1）得3n n a =，则3nn n b na n ==⋅，所以()231132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①，()23413132333133n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②，①－②得()()1231131332132333333132n n nn n n n T n n +++-----=+++⋅⋅⋅+-⨯=⨯=-，所以()132134n n n T ++-=．18．【解析】（1）依题意可得ABD ACD S S S =+△△，可得111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC DAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，又因为AD 平分BAC ∠，且2π3BAC ∠=，所以1π3BAD DAC ∠=∠=，则1114242222222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，整理可得43AD =．（2）选条件①：)22214sin 2b c abc A +-=⨯，222sin 2b c a A bc+-=sin A A =，即tan A =∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3A =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin sin AB BAD BD ADB ⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴2πsin 31sin cos sin sin 313sin 22sin sin sin sin 2tan 2sin AB BAD B B BBD AB c C ADB AC CAD DC AC b BB B B ADC⎛⎫⋅∠-+ ⎪⎝⎭∠=======+⋅∠∠．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ62B <<，∴tan 3B >，∴131222tan 2B <+<，即BD DC 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．选条件②：∵21cos 4sin 8102BB --⨯-=，∴24sin 4cos 50B B +-=，∴()241cos 4cos 50B B -+-=，∴()22cos 10B -=，∴1cos 2B =，∵π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，∴sin sin AB BAD BD ADB ⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴sin sin sin 23sin sin sin πsin 3sin sin 3AB BAD BD AB c C C ADB C AC CAD DC AC b B ADC ⋅∠∠======⋅∠∠．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ62C <<，∴1sin 12C <<，∴32323sin 333C <<，∴BDDC 的取值范围为323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．选条件③：∵()()222sin 1sin 1sin sin B C A A B +---=，∴222sin sin sin sin B A C A B +-=，由正弦定理得222a b c +-=，∴根据余弦定理得22233cos 222a b c C ab ab +-===，∵π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π6C =，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，∴sin sin AB BADBD ADB⋅∠=∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，∴sin sin AC CAD CD ADC ⋅∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，ADB ∠与ADC ∠互补，∴sin 1sin 1sin 2sin sin sin 2sin sin AB BAD BD AB c CADB AC CAD DC AC b B B BADC∠∠∠∠⋅======⋅．∵ABC △是锐角三角形，∴ππ32B <<，∴sin 12B <<，∴11sin B <<，∴1122sin 3B <<，∴BDDC 的取值范围为13,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．19．【解析】（1）证明：连接EF ，DF ．因为DE 是三棱锥D ABC -的高，即DE ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为5DB DC ==，BC 的中点为F ，所以DF BC ⊥，因为DE DFD ⋂=，DE ，DF ⊂平面DEF ，所以BC ⊥平面DEF ，因为EF⊂平面DEF，所以BC EF⊥．又因为ABC△是边长为6的正三角形，BC的中点为F，所以BC AF⊥，即点E在AF上．（2）结合（1）得，AF=4DF==，EF==，AE AF EF=-=．过点E作EH BC∥，交AC于H，结合（1）可知EF，EH，ED两两垂直，所以以E为坐标原点，EF，EH，ED的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()A，()3,0B-，()C，()0,0,2D所以()2BD=-，()0,6,0BC=．设平面BCD的法向量为()111,,m x y z=，则0,0,BD mBC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111320,60,y zy⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取11x=，则(m=．又()AC=，设AG ACλ=，()0,1λ∈．所以()()(),0EG EA ACλλλ=+=+=-．设平面DEG的法向量为()222,,u x y z=，则0,0,ED uEG u⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即(22220,30,zx yλ=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2x=，则13,0uλ⎫=-⎪⎭．所以1cos,2u mu mu m⋅==≤，当且仅当13λ=时，等号成立．所以平面DEG与平面BCD所成夹角余弦值的最大值为12．20．【解析】（1）∵两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率ba±=或33±，即b=或33b a=；当b =时，由22491a b-=得：21a =，23b =，∴双曲线C 的方程为：2213y x -=；当33b a =时，方程22491a b-=无解；综上所述，双曲线C 的方程为：2213y x -=．（2）由题意得：()22,0F ，假设存在定点(),0M m 满足题意，则0MA MB ⋅=恒成立；方法一：①当直线l 斜率存在时，设l ：()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ∴212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，∴()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ⋅=--+=-+++-++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2222222222121222431421244033k k k k m k x x k m x x m k m k k k +++=+-++++=-++=--，∴()()()()()222222243142430k k k k m m k k++-+++-=，整理可得：()()22245330k m m m --+-=，由22450,330m m m ⎧--=⎨-=⎩得：1m =-；∴当1m =-时，0MA MB ⋅=恒成立；②当直线l 斜率不存在时，l ：2x =，则()2,3A ，()2,3B -，当()1,0M -时，()3,3MA = ，()3,3MB =-，∴0MA MB ⋅= 成立；综上所述，存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点．方法二：①当直线l 斜率为0时，l ：0y =，则()1,0A -，()1,0B ，∵(),0M m ，∴()1,0MA m =-- ，()1,0MB m =-，∴210MA MB m ⋅=-= ，解得1m =±；②当直线l 斜率不为0时，设l ：2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y 由222,13x ty y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，()22311290t y ty -++=，∴()22310,12330,t t ⎧-≠⎪⎨∆=+>⎪⎩∴1221231t y y t +=--，122931y y t =-，∴()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++ ()()()()()()222121212121222221244ty ty m ty ty m y y t y y t mt y y m m =++-+++++=++-++-+()()()()222222291122121594420313131t t t mt m t m m m t t t +--+=-+-+=+-=---；当1215931m -=-，即1m =-时，0MA MB ⋅= 成立；综上所述，存在()1,0M -，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点．21．【解析】（1）由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()()()()22010.610.41P a a ξ==-⋅-=-，()()()()()()21210.6110.6C 10.213P a a a a a ξ==-+-⋅-=-+，()()()()12220.6110.60.432P C a a a a a ξ==⋅-+-=-()230.6P a ξ==∵00.4a <<，∴()()()()100.21130P P a a ξξ=-==-+>，()()()2120.23830P P a a ξξ=-==-+>()()()2130.24230P P a a ξξ=-==-+->所以概率()1P ξ=最大．（2）由（1）知，当00.4a <<时，有()11t P ξ==的值最大，且()()()23230.2670t t P P a a ξξ-==-==->，123t t t >>，所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．证明如下：假设1p ，2p ，3p 为1t ，2t ，3t 的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成项目的概率为1p ，2p ，3p ，记在比赛时所需派出的小组个数为η，则1η=，2，3，且η的分布列为：η123P1p ()121p p -()()1211p p --数学期望()()()()1121212122131132E p p p p p p p p p η=+-+--=--+，∵123t t t >>，∴11p t ≤，()()()()12121111p p t t --≥--，∴()()()()121212112112123221121132p p p p p p p t t t t t t t --+=+---≥+---=--+，所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．22．【解析】（1）()cos 1mf x x x=-+'，因为函数()f x 在()0,+∞上是减函数，所以()cos 10mf x x x=-+≤'在()0,+∞上恒成立，当0m <时，()cos 10mf x x x=-+≤'在()0,+∞上恒成立，满足题意；当0m >时，当0,2m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由2m x >，故()cos 1cos 12cos 10m f x x x x x =-+>'-+=+≥，与()0f x '≤在()0,+∞上恒成立矛盾，所以m 的取值范围为(),0-∞．（2）令()cos 10mf x x x=-+='得cos m x x x =-，令()cos g x x x x =-，()0,2πx ∈，则()1cos sin g x x x x =-+'，所以当(]0,πx ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(]0,π上单调递增，当3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2sin cos 0g x x x x =+'<'，故函数()g x '在3ππ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，因为()π20g '=>，3π3π1022g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭'，所以存在13ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，即1111cos sin 0x x x -+=，所以当()1π,x x ∈时，()0g x '>，()g x 在()1π,x 上单调递增；当13π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在13π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当3π,2π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()3cos sin 0g x x x x '''=->恒成立，所以()g x ''在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为3π202g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭''，()2π2π0g ='>'，所以存在23π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x ''=，即2222sin cos 0x x x +=，所以当23π,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当()2,2πx x ∈时，()0g x ''>，()g x '单调递增，因为3π3π1022g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭'，()2π0g '=，所以()g x 在3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，综上，函数()g x 在()10,x 上单调递增，在()1,2πx 上单调递减，且()()02π0g g ==，()()1111cos g x x x =-，因为()11111cos sin 0g x x x x '=-+=，即1111sin cos x x x +=，所以()()2111111cos sin g x x x x x =-=-，所以()()21110sin g x g x x x <≤=-，其中13ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当2110sin m x x <<-时，直线y m =与()y g x =的图象在()0,2π上有两个交点，所以()f x '在()0,2π上有两个变号零点，即()f x 在()0,2π上有两个极值点．所以取1x α=，则cos 1sin ααα=+，当20sin m αα<<-时，()f x 在()0,2π上有两个极值点．。

2020年湖南省百所名校大联考高考数学冲刺试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U=R，A={x|y=log2018（x-1）}，，则A∩（∁U B）=（）A. [1，2]B. [1，2）C. （1，2]D. （1，2）2.若x,y为共轭复数,且,则等于( )A. B. 2 C. D. 43.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（-1）=（）A. -2B. 0C. 1D. 24.北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度5.已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件6.已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x-y+1≤0；；；其中真命题的是（）A. P1，P2B. P2，P3C. P3，P4D. P2，P47.已知函数f（x）=sin（x+），以下结论错误的是（）A. 函数y=f（x）的图象关于直线x=对称B. 函数y=f（x）的图象关于点（π，0）对称C. 函数y=f（x+π）在区间[-π，]上单调递增D. 在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8.在直角坐标系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|x cosθ+（y-4）sinθ=1，0≤θ≤2π}，已知集合A的补集∁U A所对应区域的对称中心为M，点P是线段x+y=8（x＞0，y＞0）上的动点，点Q是x轴上的动点，则△MPQ周长的最小值为（）A. 24B. 4C. 14D. 8+49.已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||=，则）的取值范围是（）A. [0，12]B. [0，]C. [0，6]D. [0，3]10.已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点与的夹角为θ，且|tanθ|=3，则b=（）A. 1B.C.D.11.定义“有增有减”数列{a n}如下：∃t∈N*，满足a t＜a t+1，且∃s∈N*，满足a S＞a S+1．已知“有增有减”数列{a n}共4项，若a i∈{x，y，z}（i=1，2，3，4），且x＜y＜z，则数列{a n}共有（）A. 64个B. 57个C. 56个D. 54个12.已知函数f(x)＝e x-ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（）A. x1+x2＜2B. a＜eC. x1x2＞1D. 有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图的程序框图，若，则输出n的值为______．14.已知P为抛物线C：y=x2上一动点，直线l：y=2x-4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，-4）且=+，则λ+μ的最小值为______．15.锐角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，则△ABC面积的取值范围为______．16.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1-AA1-B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19.近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图:（1）根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表l中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2,表2：支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．x i y i x i u i100.5466 1.54 2.71150.12 3.47其中20.已知抛物线C：的焦点到准线的距离为,直线l：与抛物线C交于A,B两点,过这两点分别作抛物线C的切线,且这两条切线相交于点D．若D的坐标为,求a的值；设线段AB的中点为N,点D的坐标为,过的直线与线段DN为直径的圆相切,切点为G,且直线与抛物线C交于P,Q两点,求的取值范围．21.已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=e x+mx2-2e2-3，当a=e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．23.已知函数f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行计算即可．【解答】解：A={x|y=log2018（x-1）}={x|x-1＞0}={x|x＞1}，，={y|y≥2}，则∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={x|1＜x＜2}，故选：D．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、复数相等、共轭复数的定义，属于基础题．x，y为共轭复数，可设x=a+bi，y=a-bi（a，b∈R）．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：x，y为共轭复数，可设x=a+bi，y=a-bi（a，b∈R）．∵（x+y）2-3xyi=4-6i，∴4a2-3（a2+b2）i=4-6i，∴，解得a2=b2=1．∴|x|+|y|=2=2．故选：C．3.答案：A解析：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（-1）=-f（1）=-2，故选：A．利用奇函数的性质，f（-1）=-f（1），即可求得答案．本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．根据方差是描述数据波动性大小的量，由图得出第二季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小．本题考查了方差的概念与应用问题，是基础题．5.答案：A解析：解：若P（ξ＞a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式T k+1==•a3-k•x3-3k，由3-3k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=-1，即“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及正态分布，二项展开式的应用，综合性较强．6.答案：D解析：【分析】作出平面区域，举反例或根据命题表示的几何意义判断．本题考查了线性规划的应用，属于中档题．【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（-2，0）时，x+y=-2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x-y+1=0，由图象可知△ABC在直线2x-y+1=0的上方，故而对于任意一点P，都有2x-y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，-1），连结MB，MC，则k MB=-，k MC=-3，∴-3≤≤-，故命题p3错误；联立方程组，解得A（-1，3），故OA2=10，故命题p4正确．故选：D．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（x+），令x=，求得f（x）=，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x=对称，故A正确；令x=，求得f（x）=0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y=f（x+π）=sin（x+π+）=-sin（x+），在区间[-π，]上，x+∈[-，]，故f （x+π）单调递减，故C错误；令f（x）=1，求得sin（x+）=，∴x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，故在直线y=1与曲线y=f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8.答案：B解析：解：∵点（0，4）到直线x cosθ+（y-4）sinθ=1的距离d==1，∴直线x cosθ+（y-4）sinθ=1为圆x2+（y-4）2=1的切线，∴集合A的补集∁U A所对应的区域为圆x2+（y-4）2=1的内部，故M（0，4），过直线x+y=8及x轴作点M的对称点A，B，则A（0，-4），B（4，8），故所求值为线段AB的长度，由两点间距离公式可知|AB|==4，故选：B．利用点到直线的距离公式计算可知集合A表示的图形即为以（0，4）为圆心、1为半径的单位圆的外部，从而可得M（0，4），通过作出图象，问题转化为求点M关于x轴和x+y=8对称的两点之间的距离，计算即得结论．本题考查函数的最值及几何意义，考查数形结合能力，考查转化思想，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．9.答案：A解析：【分析】本题考查向量的数量积，辅助角公式，三角函数图像与性质，考查数形结合的数学思想，化归与转化思想，属于中档题.根据要求画出草图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，写出A，B，C三点的坐标；设出P的坐标，显然P在以C为圆心，半径为的圆上，用三角函数表示P点坐标，再写出的坐标，利用坐标运算，借助辅助角公式，三角函数图像与性质写出范围．【解答】解：如图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，故A(1，)，C(2，0）,设P(x，y)，因为||=，所以,令,则,,,所以）,因为，所以，即）的取值范围为[0，12]，故选A.10.答案：B解析：【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质，正切函数两角和与差的公式，考查运算求解能力，属于中档题．根据题意，设出A、B、M的坐标，由于A、B两点在椭圆上，则，运用点差法分析可得，进而可得，变形可得；设直线OM的倾斜角为α，由正切的和角公式可得，综合可得，解可得b的值，即可得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由于A、B两点在椭圆上，则，两式作差得．因为直线AB的倾斜角为，则有，所以，即；设直线OM的倾斜角为α，则或，．又，由，解得b2=2，即．故选：B．11.答案：D解析：解：由题意可知4个数值的数列中，有2个相同，例如：x，x，y，y类型，共有=12种．只有2个数值相同，利用：x，x，y，z类型．共有：×10=30种；有3个数值相同，例如x，x，x，y类型，共有：=12种．满足题目的数列类型共有：54种．故选：D．分析题目条件，数列的4个数，有2个相同，3个相同，两种类型，求出数列的数目即可．本题考查排列组合的实际应用，合理分类与分步是解题的关键．12.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目．对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e；对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，对于D：f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增即可得出结论．【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2ln a+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，A不正确；∵f（x）=e x-ax，∴f′（x）=e x-a，令f′（x）=e x-a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x-a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增，f（x）只有一个零点，不符合题意．②当a＞0时，∵f′（x）=e x-a＞0，∴e x-a＞0，解得x＞ln a，∴f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x-ax有两个零点x1＜x2，∴f（ln a）＜0，a＞0，∴e ln a-a lna＜0，∴a＞e，B不正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=ln a，且x1+x2＜2x0=2ln a，D正确．故选：D．13.答案：5解析：解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n=5．故答案为：5．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的只并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.答案：解析：解：由题意得M（2，0），N（0，-4），由=+，得（x-2，y+4）=λ（0，4）+μ（-2，0），∴x-2=-2μ，y+4=4λ，因此．故答案为：．推出M（2，0），N（0，-4），利用=+，转化求解λ+μ的最小值．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：解析：解：∵∠A=30°，BC=1，可得：，∴AB=2sin C，AC=2sin B=2sin（150°-C）=2（cos C+sin C）=cos C+sin C，∴S△ABC=AB•AC，∵C∈（，），可得：2C-∈（0，），∴sin（2C-）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．由正弦定理可求AB=2sin C，AC=cos C+sin C，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC=sin（2C-）+，由范围C∈（60°，90°），利用正弦函数的性质可求S△ABC的范围本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，当SC=或SC=4时，四棱锥S-ABCD的高最小，当SA⊥平面ABCD，则四棱锥高最大，分别求出对应的高，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】解：AD AB，AD SA，∴AD平面SAB，则平面SAB⊥平面ABCD，当SC=时，过S作SO⊥AB，垂足为O，连接AC，OC，设OA=x，在△OAC中，由余弦定理可得，在Rt△SOA中，有OS2=SA2-x2=4-x2，在Rt△SOC中，有OS2+OC2=SC2，即4-x2+x2-4x+8=8，求得x=1．∴．此时；当SC=4时，可得∠BAS为钝角，同理求得．此时；∴当SA⊥平面ABCD时，．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：．故答案为：．17.答案：（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，①a1+a2+a3+…+a n+1=n+1-a n+1，②②-①可得2a n+1-a n=1 …..（3分）即：a n+1-1=（a n-1），又a1-1=-…..（5分）所以数列{a n-1是以-为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n=1-，…（7分）∴b n=（2-n）（a n-1）=…（8分）由b n+1-b n=-=＞0可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3=b4=所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立…（13分）所以t2-t-≥0解得t≥或t≤-所以，实数t的取值范围是（-∞，]∪[，+∞）…（14分）解析：（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+a n=n-a n，再写一式，两式相减，整理可得数列{a n-1是以-为首项，以为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定b n=（2-n）（a n-1）=，再利用b n+1-b n，确定b n有最大值b3=b4=，从而对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立，由此可求实数t的取值范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．18.答案：（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵，即CD=2DA1∴AC1∩A1C=D，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1-AA1-B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A1（0，0，1），C（0，4，0），．所以,,,设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．（Ⅰ）连接AC1，BC1，由已知可得，则，又，可得DE∥BC1，然后利用线面平行的判定得DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）由侧面A1C1CA是梯形，且A1A⊥A1C1，可得AA1⊥AC，结合A1A⊥AB，得∠BAC为二面角C1-AA1-B的平面角，则∠BAC=，可得△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，分别求出平面A1B1BA与平面C1B1BC的法向量，由两法向量所成角的余弦值得平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：（1）根据散点图判断，y=c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵y=c•d x，两边同时取常用对数得：lg y=lg（c•d x）=lg c+lg d•x，设lg y=u，∴u=lg c+lg d•x，又∵=4，=1.54，，∴lg=，=,把样本中心点（4，1.54）代入u=lg c+lg d•x，得：，∴=0.54+0.25x，∴lg=0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程式为：，把x=8代入上式得，，活动推出第8天使用扫码支付的人次为347；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4，则P（Z=2）=0.1，，P（Z=1.6）=，,分布列为：Z2 1.8 1.6 1.4P0.10.150.70.05所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66（元）．解析：本题考查了线性回归方程与应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望应用问题，属于中档题．（1）根据散点图判断y=c•d x适宜作为y关于x的回归方程类型；（2）利用两边同时取常用对数，求出线性回归方程，再化为y关于x的回归方程，把x=8代入回归方程求得对应y的值；（3）记乘车支付费用为Z，知Z的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．20.答案：解：（1）由抛物线C：x2=-2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p=，则抛物线C的方程为x2=-y．设切线AD的方程为y=kx+2，代入x2=-y得x2+kx+2=0，由△=k2-8=0得k=±2．当k=2时，A的横坐标为-=-，则a=-（-）2=-2，当k=-2时，同理可得a=-2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，-a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2=a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG==，所以∠MOG=，所以|MG|=|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y=x+2a，代入x2=-y得x2+x+2a=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2=-，x1x2=2a，△=3-8a＞0，所以|PQ|=•=2，所以==•=•，设t=-，因为a＜-1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以=•=•∈（0，）．解析：本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．（1）由抛物线C：x2=-2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，求出p，然后求解抛物线C的方程．设切线AD的方程为y=kx+2，代入x2=-y，通过△=0，求出k，然后求解a;（2）N（0，a），则以线段DN为直径的圆为圆O：x2+y2=a2．根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l'即可，设P（x1，y1），Q（x2，y2）利用弦长公式，转化求解即可．21.答案：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）=0，得x=1或x=a-1．当a≤1，则a-1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a-1＜1，由f'（x）＜0得a-1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a-1或x＞1，函数f（x）在（a-1，1）上单调递减，在（0，a-1）和（1，+∞）上单调递增．当a=2，则a-1=1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a-1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a-1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a-1，函数f（x）在（1，a-1）上单调递减，在（0，1）和（a-1，+∞）上单调递增．（II）当a=e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）=-e2-3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值-e2-3．由e x+mx2-2e2-3≤-e2-3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．=，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2-e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2-e x）＞e x x-2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（-∞，e2-e]．解析：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，得x=1或x=a-1．对a分类讨论即可得出单调性．（II）当a=e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）=-e2-3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g （x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值-e2-3．由e x+mx2-2e2-3≤-e2-3得e x+mx2≤e2，．记，当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2y，配方为x2+（y-1）2=1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y-2=0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y-1）2=1的一条直径，∴∠POQ=90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．解析：（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由点M1、M2的极坐标可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），可得直线M1M2的方程为，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x2+（y-1）2=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，代入椭圆的方程即可证明．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题．23.答案：解：（1）∵函数f（x）=+=+=|x-3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤-5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤-5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）=|x-3|+|x+4|=．由于函数g（x）=k（x-3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图，其中，K PB=2，A（-4，7），∴K PA=-1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（-1，2]．解析：（1）函数f（x）=|x-3|+|x+4|，不等式f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，作函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图，由K PB=2，A（-4，7），可得K PA=-1，数形结合求得实数k的取值范围．本题主要考查对由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．。

湖南省长沙市第一中学201X 届高三上学期第四次月考（数学理）考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、 推理与证明时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算复数=z 211ZT ZT ZT+-+的值为（ ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ． 1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（）A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66第5题图第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC ＝23，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =< 2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,2010]-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ） A ．2009 B ．2010 C ．4018 D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）CBOA开始否是结束A = 1，S = 0 S = S + AA = A + 1输出S9?A ≤9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 ．10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b ++=，则ab 的最大值为．12．观察下列不等式474131211353121123211222222<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 （用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是 ． 14．定义*(1)(2)(1)(,)n x M x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是 （写成开区间或闭区间都给全分）．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x m n ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a +-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 ；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =，90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度；（2）求sin BAD ∠的值．17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．19．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01b a ≤<，曲线()y f x =在x=1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值 20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn 、cn 和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an ，cn + 1 = an + b an2 （其中a 、b 为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出an + 1与an 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内；DA BC ′（3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量an 关于n 的表达式．21．（本小题满分13分）已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.bax x f x --= （1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{na }满足11()11n n n a f na a +'=-++．①若a1≥3，求证：an ≥n + 2)(*N n ∈； ②若a1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算复数=z 211ZT ZT ZT+-+的值为（ C ）A ．0B ．2-C ．ZT +-1D ．1i --2．已知命题:p x ∃∈R ，210x +≤，则命题p 的否定是（ D ） A ．,210x x ∃∈+<R B ．,210x R x ∀∈+≤ C ．,210x x ∃∈+≥RD ．,210x R x ∀∈+>3．已知：等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则数列{n a }的公差d ＝（C ）A ．138B ．135C ．95D ．234．集合{}21A x x =-<，{}240B x x x =-<，那么＂a A ∈＂是＂a B ∈＂的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（ B ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66第5题图 第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA ，OB ，它们的夹角是60︒，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且||OC ＝23，若OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ B ） A ．2B ．4C ．32D ．347．已知：0a >且1a ≠，若函数2()log ()a f x ax x =-在[3,4]是增函数，则a 的取值范围是（ A ） A ．(1,)+∞B ．)131(，C ．11[,)(1,)83+∞D ．)1()4181[∞+，，CBO A开始否 是 结束 A = 1，S = 0 S = S + AA = A + 1输出S 9?A ≤解：当1a >时，2y ax x =-的对称轴，112x a =< 2u ax x ∴=-在[3,4]上递增，且2330a ->即13a >，log a y u =是增函数，1a ∴>当01a <<时，log a y u =是减函数，2u ax x ∴=-在[3,4]上是减函数11428116404a a a a a ⎧≥⇒≤⎪⎪∴⇒∈∅⎨⎪->⇒>⎪⎩综上：(1,)a ∈+∞，∴选Ａ8．若定义在[2010,2010]-上的函数()f x 满足：对于任意1x ，2[2010,2010]x ∈-，有12()f x x +12()()2009f x f x =+-．设()f x 的最大值、最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ C ） A ．2009 B ．2010 C ．4018 D ．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）9．已知函数()|sin()|f x x ωϕ=+(其中0ω>)的最小正周期为2π，则ω的值为 2 ．10．已知4b =，a 与b 的夹角为120︒，则b 在a 上的投影为2-解： 1cos1204()22b ︒=-=-11．已知0a >，0b >，且412ab a b ++=，则ab 的最大值为 4．12．观察下列不等式474131211353121123211222222<+++<++<+一般地，当2≥n 时<++++n 13121122 n n 12-（用含n 的式子表示） 13．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且，(1)f x +为偶函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，当1x >时，()f x 的递增区间是7[,)4+∞．解：∵(1)y f x =+关于y 轴对称，∴()y f x =关于x=1成轴对称．).,47[)(1)(),47[]41(12)(12+∞>+∞∈-∞+-=<的递增区间为时调递增，即单时单调递减，从而可知，在时，当x f x x f x x x x f x14．定义*(1)(2)(1)(,)nx M x x x x n x n =+++-∈∈R N ，如44(4)(3)(2)(1)24M -=-⨯-⨯-⨯-=．对于函数31()x f x M -=，则函数()f x 的解析式是：()f x =x x -3，且()f x 的 单调递减区间是3333(,)[,]3333--或（写成开区间或闭区间都给全分）．解：∵3()(1)(1)f x x x x x x =-+=-，又由2()310f x x '=-<，得3333x -<<即()f x 的单调减区间为33(,)33-．15．若函数()y f x =，x D ∈同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当[,]x m n ∈时，[,]y m n ∈，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()ln x a a f x a +-=(0,1)a a >≠且则(1)()f x 在(,)-∞+∞的单调性为 增函数；(2)当()f x 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是(0,1)(1,2)．解：（1）1'()ln 0ln x x f x a a a a ==>, ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 为等射函数3()ln x a a f x xa +-⇒==有两个不等实根．即ln 30xa x a a -+-=有两个不等实根．令()ln 3xg x a x a a =-+- '()ln ln ln (1)x x g x a a a a a ∴=-=-,令'()00g x x =⇒=1︒ 当1a >时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)1302g x g a a ∴==+-<⇒<12a ⇒<<2︒当01a <<时，0x >时，'()0g x >；0x <时，'()0g x <min ()(0)001g x g a ∴=<⇒<<，综上：(0,1)(1,2)a ∈三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，8AD =，6CD =，13AB =，90ADC ∠=︒，且50AB AC =．（1）求三角形ABC 的面积和边BC 的长度； （2）求sin BAD ∠的值．解：（1）由已知||13AB =，22||10AC AD CD =+=50AB AC =||||cos 50AB AC BAC ⇒∠=∴5cos 13BAC ∠=，……………………………………………3分∴12sin 13BAC ∠=，则1112sin 1310602213ABCS AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯⨯= …………5分由余弦定理得222cos 13BC AB AC AB AC BAC =+-∠=…………………………7分（2）在Rt △CAD 中，63sin 105CD CAD AC ∠===，4cos 5AD CAD AC ∠==．…………9分∴sin sin()BAD BAC CAD ∠=∠+∠63sin cos cos sin 65BAC CAD BAC CAD =∠∠+∠∠=．………………………………12分17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s 2a C c b +=（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：（1）由11cos sin cos sin sin 22a c c b A C C B+=⇒+= ……………………2分 1sin cos sin sin()sin cos cos sin 2A C C A C A C A C∴+=+=+1sin cos sin 2C A C ∴= …………………4分 (0,)C π∈，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，又0A π<<3A π∴=……………………………………………6分（2）由正弦定理得：sin 2sin sin 3a B b B A ==，C c sin 32=DABC21(sin sin )3l a b c B C ∴=++=++ ……………………………8分21[sin sin()]3B A B =+++312(sin 2B =+1cos )2B +12sin()6B π=++ …………10分3A π=，)320(π，∈∴B ，5(,)666B πππ∴+∈1sin()(,1]62B π∴+∈ …………………………………………11分(2,3]l ∴∈……………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，12323a a a b b ++=+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q由341b b q =，得354272q ==，从而3q =因此11123n n n b b q --== ………………………………………3分又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=从而216d a a =-=，故1(1)664n a a n n =+-=- ……………………………6分（2）14(32)3n n n n c a b n -==- 令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+-12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-……………………………9分两式相减得12312133333333(32)3n n n T n --=+⨯+⨯+⨯++⨯-- 13(31)1331n --=+-(32)3n n --19(31)1(32)32n n n --=+--73(67)44n n n T -∴=+，又47(67)3nn n S T n ==+- ……………………………12分219．（本题满分13分）设函数31()(0)3f x ax bx cx a =++≠，已知a b c <<，且01b a ≤<，曲线()y f x =在x=1处取极值．（Ⅰ）如果函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围； （Ⅱ）如果当(x k k ≥是与,,a b c 无关的常数)时，恒有()0f x a +<，求实数k 的最小值解：（Ⅰ）∵2()2f x ax bx c '=++，∴(1)20f a b c '=++=又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0a <，0c >．则判别式2440b ac ∆=-≥知方程2()20f x ax bx c '=++=（*）有两个不等实根，设为12x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根， 又由根与系数的关系得122b x x a +=-，21210b x x a =--<<．………………………3分当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>，故函数()f x 的递增函数区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+， …………………………………………………6分 由（1）知01b a ≤<，得||s t -的取值范围为[2,4)． …………………………………8分（Ⅱ）由()0f x a '+<，即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<．因0a <，得2220b b x x a a +->，整理得2(22)0b x x a -+>． ………………………9分设2()(22)b b g x x a a =-+，它可以看作是关于b a 的一次函数． 由题意，函数y =()b g a 对于01b a ≤<恒成立．故(1)0(0)0g g ≥⎧⎨>⎩即222200x x x ⎧+-≥⎪⎨>⎪⎩得31x ≤--或31x ≥-．…………………………11分 由题意[,)(,31)[31,)k +∞⊆-∞---+∞，故31k ≥-．因此k 的最小值为31-． …………………………………………………13分20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n 个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量′和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn 、cn 和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an ，cn + 1 = an + b an2 （其中a 、b 为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．（1）求a ，b 的值，并写出an + 1与an 满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量n a 逐月递增且控制在2万件内；（3）试求从2009年9月份以来的第n 个月的销售总量an 关于n 的表达式．【解析】（1）依题意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，则a2 = a a1 + a1 + b a12 ∴a + 1 + b = 32 ①则a3 = a a2 + a2 + b a22 ∴233315()2228a b ++= ② 解①②得a = 1，b = –12 从而an + 1 = 2an –12an2 (n ∈N*) ………………………5分（2）证法（Ⅰ）由于an + 1 = 2an –12an2 = –12 (an – 2)2 + 2≤2．但an + 1≠2，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an ＜2又an + 1– an= –12an2 + 2an – an = –12an (an – 2) ＞0， 所以an + 1＞an 从而an ＜an + 1＜2 …………………………………9分 证法（Ⅱ）由数学归纳法（i ）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1＜a2＜2成立（ii ）假设n = k 时， ak ＜ak + 1＜2成立．由于函数f (x) = –12x2 + 2x = –12(x – 2)2 + 2在[0，2]上为增函数，则f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即12ak (4 – ak) ＜12ak + 1(4 –ak + 1) ＜12×2×(4 – 2)即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 综上可得n ∈N*有an ＜an + 1＜2 …………………………9分（3）由an + 1 = 2an –12an2得2 (an + 1– 2) = – (an – 2)2 即(2 – an + 1) = 12(2 – an)2 又由（2）an ＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an ＞0则lg (2 – an + 1) = 2 lg (2 – an) – lg 2 ∴lg (2 – an +1) – lg2 = 2[lg (2 – an) – lg2]即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a1) – lg 2 = –lg 2故lg (2 – an) – lg 2 = (–lg 2)·2n – 1 ∴an = 2 – 2121()2n - (n ∈N*)为所求 ……………13分21．（本小题满分13分）已知函数f (x) = 2ln ,(1)0.b ax x f x --=（1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y 轴，数列{n a }满足 11()11n n n a f na a +'=-++．①若a1≥3，求证：an ≥n + 2)(*N n ∈；②若a1 = 4，试比较1231111211115n a a a a ++++++++与的大小，并说明你的理由．【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b ，∴f ′(x) =22a a x x +-．要使函数f (x)在其定义域内为单调函数，则∈∀x (0，+∞)内f '(x) = 22a a x x +-恒大于等于零，或恒小于等于零． 222()ax a x f x x +-'= 由()0f x '≥得221x a x ≥+而222112x x x x ≤=+ 1a ∴≥ 由()0f x '≤得221x a x ≤+ 而2201x x >+ 0a ∴≤ 经验证a=0及a=1均合题意，故01a a ≤≥或∴所求实数a 的取值范围为a ≥1或a ≤0． ………………………5分（2）∵函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f ′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，∴f ′(x) = 211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴an + 1 = f ′211 1.1n n n n na a na a ⎛⎫-+=-+ ⎪+⎝⎭ ………7分①用数学归纳法证明：（i ）当n = 1时，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii ）假设当n = k 时不等式成立，即2,k a k ≥+那么ak – k ≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1≥(k + 1) + 2．根据（i ）和（ii ），对于所有n ≥1，有an ≥n + 2． ……………………………………10分②由an + 1 = an (an – n) + 1及①，对k ≥2，有ak = ak – 1 (ak –1 – k + 1) + 1≥ak –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2ak –1 + 1，∴ak + 1≥2 (ak –1 + 1)≥22 (ak – 2 + 1)≥23 (ak –3 + 1)≥…≥2k –1 (a1 + 1)而11115a =+，于是当k ≥2时，111231111111,1111112k k n a a a a a a -≤⨯∴+++++++++111a ≤+211111112122(1)(1).1255522212n n n --++++=⨯=-<- …………………………13分。

长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,B x x x x z =+->∈，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】计算{1,0,1,2,3}U B =-ð，再计算()U A B ∩ð得到答案.【详解】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}U B x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-剟?ð， 则(){1,2,3}U A B ⋂=ð， 故选：C .【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移.4.()61-2(1)t t +的展开式中，3t 项的系数（ ）A. 20B. 30C. 10-D. 24-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-， 故选：C .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用.5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 6.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，1200【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <； ③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===. 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力. 7.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=θ，则sin θ= A.35B.45C.7 D.34【答案】D 【解析】【详解】11cos 232cos 2=-,sin 422824πππθθθπθθ-⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，， 【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，得到642p p +=，计算得到答案.【详解】OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上， 圆心到准线2px =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =， 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算，意在考查学生的综合应用能力.9.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A.16B.14C.13D.12【答案】B 【解析】试题分析：取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF PB P ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角．因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ∠=︒．设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以3,2,2AF a AE a EF a ===，所以222(2(2(31cos 4222a a a AEF a a∠==⨯⨯，故选B ．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab = B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥【答案】D 【解析】 【分析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 11.已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D .【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，则实数k =________【答案】8- 【解析】 【分析】计算得到2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，再根据向量共线计算得到答案. 【详解】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，由于(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为：8-.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力.14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人. 【答案】360 【解析】 【分析】直接根据比例关系计算得到答案.【详解】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=， 故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人. 故答案为：360.【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，2os c PEF ∠=，若,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，根据22211R AO OO =+计算得到答案.【详解】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，2os 2c PEF ∠=，故高1PO 为2. 易知正四棱锥P ABCD-外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则11122,,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(22)(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=. 故答案：36π.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，。