限时训练9平面向量

限时训练九 平面向量

一、 选择题(每小题5分，共40分)

1． (2011南海区)已知两个非零向量a与b，若a＋b＝(－3,6)，a－b＝(－3,2)，则a2－b2的值为 ( )

A．－3 B．－24 C．21 D．12

答案：C

解析：a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝9＋12＝21

2． (2010北京朝阳区)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是 ( )

A．正方形 B．矩形

C．菱形 D．直角梯形

答案：C

解析：由 AB→＋CD→＝0知四边形ABCD为平行四边形，

由(AB→－AD→)·AC→＝0知对角线BD⊥AC，所以四边形ABCD为菱形．

3． (2010北京海淀)在四边形ABCD中，AB→＝DC→，且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD( )

A．矩形 B．菱形

C．直角梯形 D．等腰梯形

答案：B

解析： AB→＝DC→即一组对边平行且相等，AC→·BD→＝0即对角线互相垂直；所以该四边形ABCD为菱形．

4． (2010韶关)已知向量a＝(2，t)，b＝(1,2)，若t＝t1时，a∥b；t＝t2时，a⊥b，则( )

A．t1＝－4，t2＝－1 B．t1＝－4，t2＝1

C．t1＝4，t2＝－1 D．t1＝4，t2＝1

答案：C

解析：2×2－1×t1＝0,2＋2t2＝0，解得t1＝4，t2＝－1.

5． (2010惠州)对于非零向量a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”的 ( )

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：∵a＋b＝0⇒a＝－b⇒a∥b，反之不成立． 6． (2010北京宣武区)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )

A.5 B.6

C.17 D.26

答案：A

解析：因为a∥b，则2×(－2)－1·y＝0⇒y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)．

故|3a＋b|＝12＋22＝5.

7． (2010惠州)已知AB→· AC→＝0，|AB→|＝3，|AC→|＝2，则|BC→|＝ ( )

A．5 B.5

C．13 D.13

答案：D

解析：因为AB→·AC→＝0，所以AB→⊥AC→.

|BC→|＝|AB→|2＋|AC→|2 ＝13，故选D

8． (2010广东揭阳市一模)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有 (

)

A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角

C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角

答案：A

解析：由F1＋F2＋F3＝0⇒F3＝－(F1＋F2)⇒F23＝(F1＋F2)2＝F21＋F22＋2|F1|·|F2|cos120°＝1＋4＋4×(－12)＝3⇒|F3|＝3由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝3知，F1，F3成90°角，故选A.

二、 填空题(每小题5分，共30分)

9． (2010北京东城区)在平行四边形ABCD中，若AB→＝(1,3)，AC→＝(2,5)，则AD→＝__________，BD→＝__________.

答案：(1,2)，(0，－1)

解析：AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(1,2)，BD→＝AD→－AB→＝(0，－1)．

10． (2009辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为____________．

答案：(0，－2) 解析：设D点的坐标为(x，y)，由题意知BC→＝AD→，

即(2，－2)＝(x＋2，y)，所以x＝0，y＝－2，∴D(0，－2)．

11． (2010江苏徐州)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为____________．

答案：π3

解析：b(b－c)＋(c－a)(c＋a)＝0.

得c2＋b2－a2＝bc，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝π3

12． (2010北京东城区)向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝1，(a＋b)·b＝0，则a与b的夹角是____________.

答案：120°

解析：(a＋b)·b＝2cos〈a，b〉＋1＝0，故〈a，b〉＝120°

13． (2010北京朝阳区)已知向量a＝(3sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为____________．

答案：2

解析：a·b＝3sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋π6)，

当θ＝π3时a·b有最大值2.

14． 如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP→＝xOA→＋yOB→，则x的取值范围是________；当x＝－12时，y的取值范围是________．

答案：(－∞，0), (12，32)

解析：如图，将OP→按OA→、OB→两个方向进行分解，由图知OP→在OA→方向的分向量与OA→反向，故x∈(－∞，0)．若x＝－12，

当点P在OM上时，对应的y＝12， 当点P在AB的延长线上时，y＝32，故y的取值范围是(12，32)．

三、 解答题(4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15． (12分)(2010江苏省无锡市)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP→＝x·OA→＋y·OB→.

(1)若BP→＝PA→，求x，y的值；

(2)若BP→＝3PA→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°时，求OP→·AB→的值．

解析：(1)∵BP→＝PA→，

∴BO→＋OP→＝PO→＋OA→，即2OP→＝OB→＋OA→，

∴OP→＝12OA→＋12OB→，即x＝12，y＝12

(2)∵BP→＝3PA→，

∴BO→＋OP→＝3PO→＋3OA→，即4OP→＝OB→＋3OA→

∴OP→＝34OA→＋14OB→

∴x＝34，y＝14

OP→·AB→＝(34OA→＋14OB→)·(OB→－OA→)

＝14OB→·OB→－34OA→·OA→＋12OA→·OB→

＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－3

16． (12分)(2010重庆市模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(1,0)，c满足a·c＝0且|a|＝|c|，b·c>0.

(1)求向量c；

(2)若映射f：(x，y)→(x1，y1)＝xa＋yc，求映射f下(1,2)的原象．

解析：(1)设c＝(m，n)，由题意得m＋n＝0，且m2＋n2＝2

且m·1＋n·0>0，解之得m＝1，n＝－1，∴c＝(1，－1)．

(2)由题意得x(1,1)＋y(1，－1)＝(1,2)，

∴x＋y＝1且x－y＝2，解之得x＝32，y＝－12， ∴(1,2)的原象是(32，－12)．

17． (12分) (2010惠州)已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(3，1)，其中θ∈(0，π2 )

(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；

(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．

解析：(1)∵a∥b，∴sinθ－3cosθ＝0，求得tanθ＝3

又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3，sinθ＝32，cosθ＝12

(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或利用2sin(θ－π3)＝0来求解)

(2)f(θ)＝(sinθ＋3)2＋(cosθ＋1)2＝23sinθ＋2cosθ＋5

＝4sin(θ＋π6)＋5，θ＋π6∈(π6，2π3)，

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18． (14分)已知A、B、C三点共线，O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA→＝λOB→＋μOC→.数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝1，且 an＝λan－1＋μbn－1＋1bn＝μan－1＋λbn－1＋1(n≥2)

(1)求λ＋μ；

(2)令cn＝an＋bn，求数列{cn}的通项公式；

(3)当λ－μ＝12时，求数列{an}的通项公式．

解析：(1)A，B，C三点共线，设AB→＝mBC→，则AB→＝OB→－OA→＝mBC→＝m(OC→－OB→)，化简得：OA→＝(m＋1)OB→－mOC→，

所以λ＝m＋1，μ＝－m，所以λ＋μ＝1

(2)由题设得即an＋bn＝(λ＋μ)(an－1＋bn－1)＋2＝an－1＋bn－1＋2(n≥2)即cn＝cn－1＋2(n≥2)，

∴{cn}是首项为a1＋b1＝3，公差为2的等差数列，

通项公式为cn＝2n＋1

(3)由题设得an－bn＝(λ－μ)(an－1－bn－1)

＝12(an－1－bn－1)(n≥2)，令dn＝an－bn，则dn＝12dn－1(n≥2)．

所以{dn}是首项为a1－b1＝1，公比为12的等比数列，通项公式为dn＝12n－1.

由 an＋bn＝2n＋1，an－bn＝12n－1，解得an＝12n＋n＋12