生成函数及其应用
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第９卷第２期 ２００７年４月 宁波教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＩＮＧＢＯ ＩＮＳ删ＴＥ ＯＦ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ Ｖｏ１．９ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００７
生成函数及其应用
李中恢，黄小洁
（江西宜春学院数学与计算机科学学院，江西宜春３３６０００）
摘 要：给出了生成函数在证明恒等式、解排列组合的计数问题及求递归数列的通项公式等方面的应用。 关键词：生成函数；幂级数；递归序列 中图分类号：０１２２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—２５６０（２００７）０２－００４６－０２
１引言 １８世纪，欧拉在研究正整数分析时首先使用了生成函数，１９世纪初拉普拉斯在研究概率问题时 得到进一步发展，生成函数的一种自然推广，导致概率论中引进了强有力的工具——特征函数，它把
随机变量的分布函数变换为它的特征函数，从而把对分析函数的研究转化为对应的特征函数的研究， 大大地推动了相互独立随机变量和的极限理论研究。生成函数在证明恒等式、解排列组合的计数问题
及求递归数列的通项公式等方面的应用相当广泛，其基本思想是将离散数列同幂级数的系数一一对
应起来。从而可爱用数学分析的方法去研究。
４－∞ ∞’一 ∞ ＋∞ 定义：设（ａｎ｝ 为一个数列，则称幂级数舡）＝ ａｎｘ“为数列ｆａｎ ｎ－－Ｏ的生成函数，称数列ｆａ ｝ ：。为
ｆ（ｘ）的生成数列。
如函数 ＝∑ｘ“＝１＋ｘ＋ｘ ＋…＋ｘ“＋…是常数列ｆ１）的生成函数。生成函数是形式幂级数，可以象 Ｊ一＾ ｎ＝０ 数学分析中的幂级数一样进行加、减、乘、除、求导、积分等运算，而不必考虑级数的敛散性。应用生成
函数解题的思想方法如下：
由此可见，应用生成函数需解决两个问题：（１）如何由数列（ａｎ｝求出其生成函数；（２）如何把 ）展
开成所需要的级数。 ２生成函数的应用
２．１证明恒等式
例１：证明范德蒙恒等式ｋ∑＝０ ）（ ）＝（ ）。
证明：令Ａ（ｘ）＝（１＋ｘ） ＝∑（：Ｘｎ Ｂ（ｘ）：（１＋ｘ） ＝∑（ Ｘｎ ｃ（ｘ）＝Ａ（ｘ）・Ｂ（ｘ），
收稿日期：２００７－０３—０７ 作者简介：李中恢（１９５５一），男，湖南礼陵人，江西宜春学院数学与计算机科学学院副教授，主要从事数学教育的研究。 基金项目：江西省教育科学“十一五”规划重点课题（编号：０６ＺＤ０７１）。
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则ｃ（ｘ）＝（１＋ｘ） （１＋ｘ） ＿（１＋ｘ）” ＝ｎ∑（ ｎ，而ｃ（ｘ）＝ｎ∑＝０ ｘ“ｎ∑㈡ｘ“ ｎ∑（ｋ∑ 较ｘ“的
系数，得范德蒙恒等式成立。
２．２计数问题 例２：求不定方程ｘ ＋ｘ：＋ｘ，＋ｘ４＋ｘ５＝２１的所有正奇数解的个数。
解：只需求（ｘ＋ｘ’＋ｘ ＋…） 展开式中的ｘ“１项的系数，而（ｘ＋ｘ ＋ｘ ＋…） ＝ｘ （１＋ｘ‘＋ｘ’＋…） ，即只要求（１＋ ＇ ‘ ‘ ＇ ， ４
＋）【４＋…） 中的 项系数，或（ｘ ） 的系数，易求（ｘ ） 的系数为（ ）＝１２）＝４９５。
例３：（称重问题）用１克、２克、４克、８克、１６克五个砝码，在天平上能称哪几种重量的物体（重量
为整数）？ 解：设重量为 克的物体为 种称法，易求（ａｒ｝的生成函数是 ）：（１＋ ）（１＋ ２）（１＋ｘ４）（１＋ ８）（１＋ｘ１６），
则（１－ｘ）／￣ｘ）：１一ｘ ，从而ｆ（ｘ）：｛ ：１＋ｘ＋ｘ ＋…＋ｘ ，因而当ｒ＝０，１，２…，３１时，有ａｒ＝ｌ，当ｒ＞３１时，有ａ ＝
０。故凡重量不超过３１克的物体都能用此５个砝码称出，且各有唯一一种称法，凡重量大于３１克的物
体不能用此５个砝码称出。
２．３解递归数列问题 例４：设ａ０＝１，ａ ＝一２，且ａｎ＝５ａ 一 一６ａ 一：（ｎ≥２），求数３￣Ｊ｛ａ ｝的通项。
解：令 ｘ）：∑ａ ｘ“＝ａ０＋ａｌｘ＋ａ２ｘ ＋．．．＋ａ ｘ“＋．．・， （１）
贝０—５ｘ ｘ）＝一５％ｘ一５ａ１ ｘ‘一…－－５ａ ｌ ｘｎ一…， （２）
且６ｘ‘ ）＝６ａ０ｘ‘＋６ａ１ｘ ＋…＋６ａ 一２ｘ“＋…， （３）
（１）＋（２）＋（３）可得：（１－５ｘ＋６ｘ‘） ｘ）＝ａ０＋（ａ 一５ａｏ）ｘ，即（１—５ｘ＋６ｘ‘）／￣ｘ）＝１－７ｘ，有
ｘ） １ －７ ｘ ５ 一 ４ ５ｎ∑（２ｘ）“一４ｎ∑（３ｘ）“ ｎ∑（５・２“＿４．３“）ｘｎ，从而ａｎ＿５．２“＿４．３“。
参考文献 ［１］胡炳生，等．现代数学观点下的中学数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２ ［２］柳柏濂，等．竞赛数学的原理和方法［Ｍ］．广州：广东高等教育出版社，２００３ ［３］李中恢．一类数列部分和的求法［Ｊ］．宜春学院学报，２００５，２０（４）：１７—１９．
Ｏｎ Ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ＬＩ Ｚｈｏｎｇ—ｈｕｉ，ＨＵＡＮＧ Ｘｉａｏ－ｊｉｅ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｙｉｃｈｕｎ Ｕｍｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙｉｃｈｕｎ ３３６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｉｎｇ
ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｆｉｒｉＢ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ．
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｆ责任编辑陈咸存）
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