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一次函数--典型例题精讲分析

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类型一：正比例函数与一次函数定义

1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？

【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）. A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1

【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

类型二：待定系数法求函数解析式

2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．

【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．

【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

类型三：函数图象的应用

3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)汽车共行驶了___________ km； (2)汽车在行驶途中停留了___________ h；

(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是__________.

【变式1】图中，射线L甲、L乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

【变式2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟

【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升. 精品文档

。 2欢迎下载 ①求排水时y与x之间的关系式； ②如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

类型四：一次函数的性质

4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．

【变式1】已知关于x的一次函数．（1）m为何值时，函数的图象经过原点?

（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?

（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?

（4）m为何值时，y随x的增大而减小？

【变式2】 若直线y=kx十b（）不经过第一象限，则k、b的取值范围是______，______．

【变式3】两直线L1: y=kx十b和L2：y=bx十k在同一坐标系中的大致位置是（ ）．

【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．

5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；

（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE解析式；②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请直接写出点P坐标。

【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动（但不与A，D两点重合）。求△APD的面积y()与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。

【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。

（1）求的值；

（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函 精品文档

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数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。

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一次函数的应用

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一次函数的应用

一次函数的应用一、学习目标：

1. 巩固一次函数的知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．

2. 熟练掌握一次函数与方程，不等式的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．

二、重点、难点：

运用一次函数与正比例函数的图象和性质解决实际问题。各种数学思想的渗透和应用。

三、考点分析：

利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；利用一次函数解决实际问题。利用一次函数解决实际问题的题型多样，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．

典型例题

此前我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决相关实际问题时更方便了．

例1. 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米的部分每千米收费1.5元．

（1）请你求出x≥2时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；

（2）按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。

思路分析：

1）题意分析：本题考查一次函数与不等式的综合运用。

2）解题思路：注意审题。注意考虑函数的取值范围，能灵活应用所学知识解决问题。

解答过程：

专题4.2 一次函数的图象与性质(教师版)

专题4.2 一次函数的图象与性质(教师版)

专题4.2 一次函数的图象与性质

1、了解函数图象的概念，并会用待定系数法求解析式；

2、了解画一次函数（正比例函数）图象的一般步骤，能熟练画出他们的图象；

3、探索一次函数（正比例函数）图象的性质；

4、能灵活运用一次函数（正比例函数）的图象与性质解答有关问题；

5、熟练掌握一次函数的平移与对称。

知识点01 一次函数的图象与性质知识点 一次（正比例）函数的图象与性质

1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可以作图，也可求出解析式；

3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（bk，0）；

4）过象限、增减性　0b>（过一、二象限）0b<（过三、四象限）0b=

（过原点）

0k>（过一、三象限）y随

x的增大而增大

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限经过第一、三象限

0k<（过二、四象限）y随x的增大而减小经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。

【知识拓展1】正比例函数的性质目标导航

知识精讲例1．（2022·湖北十堰·八年级期中）关于函数2yx=的性质，下列说法不正确的是（ ）A．图象经过原点 B．y随x的增大而增大 C．经过(1，-2) D．图象经过二、四象限【答案】B

【分析】根据正比例函数的性质判断即可．

【详解】解：A、函数y=-2x中，当x=0时，y=0，则该函数图象经过原点，故本选项不符合题意；B、函数y=-2x中，k=-2＜0，则该函数图象y值随着x值增大而减少，故本选项符合题意；

C、函数y=-2x中，当x=1时，y=-2，则该函数图象经过点(1，-2)，故本选项不符合题意；

D、函数y=-2x中，k=-2＜0，则该函数图象经过第二、四象限，故本选项不符合题意；故选：B．

浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点及典型例题

浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点及典型例题

新浙教版八年级上册第六章《一次函数》知识点总结及典型例题

关于基本概念和性质的知识点

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

★★★判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应

例题：1、下列说法正确的是：（ ）

A 变量x，y满足y2=x，则y是x的函数 B变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数

C 等式43πr3是所含字母r的函数 D 在V=43πr3中，43是常量，r是自变量，V是πr的函数

例题：2、下列解析式中，y不是x的函数的是（ ）

A y+x=0 B |y|=2x C y=2|x| D y=2x2+4

例题：3、下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）

函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

例题：东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________． 例题：平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析

九年级数学备课组

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【知识梳理】

一、平面直角坐标系

1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；

2. 各象限点的坐标的符号； 3. 坐标轴上的点的坐标特征．

4. 点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为 ；关于y轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为

5.两点之间的距离

二、函数的概念

1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有 的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数.

2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义

3.函数的表示方法； （1） （2） （3）

三、一次函数的概念、图象、性质

1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0).

2. 一次函数ykxb的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.

4.若两个一次函数解析式中，k相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5. 的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；

四、反比例函数的概念、图象、性质

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝

或

或

（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2. 反比例函数的图象和性质 k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0

图像的大致

位置

经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限