平面向量的实际背景及基本概念
1．向量的概念和表示方法
(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)向量的表示：
表示法
几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…
字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头
[点睛] 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
2．向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．
(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.
(3)特殊向量：
①长度为0的向量为零向量，记作0；
②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
3．向量间的关系
(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．
向量的有关概念
[典例] 有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．
[活学活用]
有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；
③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；
④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二 两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
思考 如何正确理解两向量夹角概念
答案 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与向量AB→的夹角，∠BAD才是向量CA→与向量AB→的夹角．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．
2．零向量可以作为基向量．( × )
提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．
4．若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( √
)
题型一 对基底概念的理解
例1 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
2．3.1 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．向量的夹角
条件 两个非零向量a和b
产生过程
作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
范围 0°≤θ≤180°
特殊情况 θ＝0° a与b同向
θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b
θ＝180° a与b反向
[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.
向量夹角的简单求解
[典例] 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[活学活用]
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量AB与向量BC的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）
一．平面向量的有关概念
名称 定义 备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．DA和BC B．DC和AB
C．DC和BC D．DC和DA
（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OAa，OBb，OCc．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与a相等的向量有哪些？
（2）b的相反向量有哪些？
（3）与c共线的向量有哪些？
.
举一反三
1．下列说法正确的是（ ）
A．若ab，则ab
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．（多选）如图，在四边形ABCD中，若ABDC，则图中相等的向量是（ ）
A．AD与BC B．OB与OD
C．AC与BD D．AO与OC
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为2的向量中，相等的向量有多少对？ 二.平面向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量和的运算 (1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
