广东省罗定艺术高级中学2018_2019学年高二3月月考数学试题
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. . . 2018-2019学年度罗定艺术高级中学高二数学3月份考试试题
学校:___________：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．已知函数f(x)=，若对于，，使得f()=g()，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若函数的图象在处切线的斜率为，则的极大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．我们把平面与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则满足的的取值围是（ ）
A． B． C． D．
6．欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．设的实部与虚部相等，其中为实数，则
A．-1 B．-2 C．1 D．2
8．已知函数的图象上有两对关于轴对称的点，则实数的取值围是（ ）
A． B． C． D．
.
. . . 9．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．方程表示的曲线是
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
11．已知双曲线：，，为左，右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右焦点交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )
A． B．
C． D．
评卷人 得分
二、填空题
13．已知函数若函数有3个零点，则实数的取值围是__________．
14．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．
15．椭圆的离心率等于，则椭圆的标准方程为____
16．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 __________．
评卷人 得分
三、解答题
17．已知关于的方程有实数根，数的值．
.
. . . 18．已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值围.
19．已知函数．
若曲线在点处的切线与x轴平行，且，求a，b的值；
若，对恒成立，求b的取值围．
20．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了各个城市的大街小巷．为了解共享单车在市的使用情况，某调研机构在该市随机抽取了位市民进行调查，得到的列联表（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用共享单车的情况与年龄有关？(结果保留3位小数）
（2）现从所抽取的岁以上的市民中利用分层抽样的方法再抽取5人
（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；
（ii）从这5人中，再随机抽取2人赠送一件礼物，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式及数据：，．
21．设函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求在点处的切线的斜率；
（2）若存在，使，求正数的取值围． .
. . . 22．根据下列条件求双曲线的标准方程.
（1） 经过点,焦点在轴上;
（2）与双曲线有相同的焦点,且经过点.
23．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）对时，对任意，恒成立，求的取值围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
不妨设f()=g()＝a，从而可得的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可．
【详解】
不妨设f()=g()＝a，
∴＝a，
∴＝ln(a+e)，＝，
故＝ln(a+e)-，（a＞-e）
令h（a）＝ln(a+e)-，
h′（a），
易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，
且h′（0）＝0，
故h（a）在a处有最大值，
即的最大值为；
故选：D．
【点睛】
本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．
2．D
【解析】
【分析】
由题意得到关于x,y的等式，整理变形即可确定动点的轨迹的标准方程.
【详解】
.
. . . 由题意可得：，
整理变形可得：.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
由函数的图象在处切线的斜率为，得，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值=.
【详解】
因为函数，所以 ，由函数的图象在处切线的斜率为，所以=3e，所以m=0. 即=0的根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在递增，所以函数的极大值=.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y﹣2，z﹣3），利用平面法向量为（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．
【详解】
类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y﹣2，z﹣3）
∵平面法向量为（﹣1，﹣2，1），
∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）＝0
∴x+2y﹣z﹣2＝0，
故选：A．
【点睛】 .
. . . 本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间平面方程的求解问题，属于中档题．
5．B
【解析】
【分析】
构造g（x）＝f（x）-（e+e﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】
函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x，令g（x）＝＝ex﹣1+e1﹣x﹣（e+e﹣1），
g′（x）＝ex﹣1-e1﹣x，令g′（x）＝0，解得x＝1．
可得：函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．
g（x）min＝g（1）＝2﹣（e+e﹣1）＜0，
又g（0）＝g（2）＝0．
∴0＜x＜2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．B
【解析】
【分析】
由欧拉公式,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限.
【详解】
解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，
此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，
可得此点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数几何意义的应用，灵活运用所给条件求解是解题的关键.
7．A
【解析】
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. . . 【分析】
利用复数的乘法运算化简题目所给表达式，根据实部和虚部相等列方程，求得的值.
【详解】
依题意，由于该复数的实部和虚部相等，故，解得，故选A.
【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数实部和虚部的概念，考查方程的思想，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
由函数的图象上有两对关于轴对称的点，转化为与在上有两个交点，根据导数的几何意义，确定切线的斜率，再结合函数的图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，，则关于轴的对称的函数解析式为，
因为函数的图象上有两对关于轴对称的点，
可转化为与在上有两个交点，
设与相切于点，且，
由，则，所以，即，……..(1)
又由当时，………(2)
由(1)(2)联立解得，即
又由，且，则，
结合图象可知，满足，即，故选D.
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性问题的应用，其中解答中把函数的图象上有两对关于轴对称的
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. . . 点，转化为与在上有两个交点，根据导数的几何意义，再结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
