2[1].1.2椭圆的简单几何性质_(3)直线与椭圆的位置关系00

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

韦达定理→斜率
讲
课 人 ：
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
邢
启 强
11
例题讲评
点 作差
讲
课
人 ： 邢
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
启 强
12
例题讲评
解法三：利用对称性
设A(x,y),B(4-x,2-y)是位于椭圆上且关于点P(2,1)的对称点，则有
为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围是____________.
设 P(x,y)，则| PF1 | a ex 3
5 3
x，| PF2
|
a
ex
3
5 x
3
由余弦定理,有 cosF1PF2
|
PF1
|2 | PF2 |2 | F1F2 2 | PF1 | | PF2 |
|2
5 x2 1 9 2(9 5 x2)
15
作业
如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交于A、
B两点，AB 2
2, AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是
2 2
，
试求a、b的值。
y
答案：a 1 ,b 2 ， 33
A（1－ 2，2）B（3－ 2，2－2）
A
M
o
x
B
M（2－ 2，2－1）
讲
课
人
：
邢
启 强
16
1
1 k2
|
y1
y2
|
(k
0)
这里 | x1 x2 |, | y1 y2 |, 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
| x1 x2 | ( x1 +x2 )2 4x1 x2 ， | y1 y2 | ( y1 +y2 )2 4 y1 y2 .

所以直线的方程为 = 2 + 1或 = − 2 + 1.
=−
1
.
2 +2
6 中点弦问题
2
例8.已知椭圆
4
+
2
2
= 1的弦的中点P坐标为(1,1)，求直线的方程.
法 1(方程组法)：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)，
弦的两端点为 A(x1，y1 )、B(x2，y2 )，
y－1＝kx－1，
由 x2 y2
消去 y 得：(2k2 ＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k 2－2k－1)＝0，
＋ ＝1，
4 2
4kk－1
∴x1＋x2 ＝
，
2
2k ＋1
4kk－1
1
又∵x1＋x2 ＝2，∴
＝2，得 k＝－ ．
2
2k2＋1
1
故弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)，即 x＋2y－3＝0．
2
+ 2 = 1.
故设直线的方程为 = + 1，联立椭圆方程，化简，
得( 2 + 2) 2 + 2 − 1 = 0.
= 1( > > 0) ，
5 弦长问题
练2.已知椭圆有两个顶点(−1,0)，(1,0),过其焦点(0,1)的直线与椭圆交于，
两点，若|| =
4 2
②-①可得
1 −��2
∴
1 −2
=
x1 ＋x2x 1－x2 y1＋y2y1－y2
＋
＝0，
4
2
1 +2
−
2(1 +2 )
=
1
− ，即

例焦2点:已，知过点F2F作1 、倾F斜2 分 角别 为是4 椭的圆直线2x2交 椭1y2圆于1 的A、左B、两右点，
求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
1 1 k2
y1 y2
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标
设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行
计算. 当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
例：讨论直线 y
x
1与椭圆 x2+
y2 4
=1 的位置关系，若
相交，请求出相交弦的长。
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
x2 9
y2 5
1 的焦点为 F1 , F2 ,在
直线 l : x y 6 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为
焦点,通过点
M
且长轴最短的椭圆方程.
x2
y2
1
分析:∵椭圆的焦点为 (2, 0),(2, 0) 20 16
关键是怎样求出椭圆的长轴大小.