求椭圆的标准方程式
首先，我们来看一下椭圆的定义。椭圆的定义可以通过一个动点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹来描述。这两个固定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的长轴长度。椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这就是椭圆的定义。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程式。设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，即。
PF1 + PF2 = 2a。
设椭圆上一点P（x，y），则。
PF1 = √((x+c)²+y²)。
PF2 = √((x-c)²+y²)。
代入椭圆的定义式，得。
√((x+c)²+y²) + √((x-c)²+y²) = 2a。
整理得。
[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] + 2√((x+c)²+y²)√((x-c)²+y²) = 4a²。
化简得。
2x² + 2y² + 2c² 2c² + 2√((x²-c²)²+y²) = 4a²。
化简得。
x²/a² + y²/b² = 1。 这就是椭圆的标准方程式。
在求椭圆的标准方程式时，我们还可以通过椭圆的焦点、长轴、短轴等参数来确定椭圆的标准方程式。对于一个已知焦点、长轴、短轴的椭圆，我们可以根据焦点的坐标、长轴的长度、短轴的长度来求出椭圆的标准方程式。
在实际问题中，求椭圆的标准方程式是解析几何中的一个重要问题。通过求椭圆的标准方程式，我们可以更好地理解椭圆的性质，进而应用到实际问题中。比如在工程中，我们可以利用椭圆的性质设计出更加合理的结构；在物理学中，椭圆的运动规律也有着重要的应用价值。
总之，求椭圆的标准方程式是解析几何中的基本问题之一，通过推导和分析，我们可以得到椭圆的标准方程式，并进一步应用到实际问题中。希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！
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高中数学椭圆的知识总结
1.椭圆的定义：
平面内一个动点P到两个定点12,FF的距离之和等于常数（12122PFPFaFF），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
注意：若1212PFPFFF，则动点P的轨迹为线段12FF；若1212PFPFFF，则动点P的轨迹无图形.
（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。
2. 椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b； ④离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥
（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；
②点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；③点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；
（3）相离：0直线与椭圆相离；
如:直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______；
4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）
5.弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为A、B的横坐标，则AB＝2121kxx，若12,yy分别为A、B的纵坐标，则AB＝21211yyk，若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy。
1 吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修2-1
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◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
◆ 过程与方法目标
（1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集P12|2MMFMFa．
（ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,abc的关系有明显的几何意义．
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 F1 F2 P
椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ；
两焦点之间的距离：焦距，记为2c,即:F1F2＝2c. 说明
注意 a > c > 0
椭圆标准方程的推导：
建立直角坐标 列等求椭圆的方程可分为哪几步？
设点坐代入坐化简方程
如何建立适当的直角坐标系？
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线
作为坐标轴。) y
x
o · F1 · F2 P
aPFPF221y
x
o
· F1 · F2 P 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
F1F2 ＝ 2c aycxycx2)()(2222aPFPF221y
x
o
· F1 · F2 P 设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(-c,0)、F2(c,0) 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
2222)(2)(ycxaycx∴
)ca(ayax)ca(22222222∴ 22242222xccxa2a)yccx2x(a∴ cx4a4y)cx(a4222∴
设 ,bca2220b0ca0ca22222222bayaxb∴ 则，椭圆的方程为： 1byax2222
P F2
F1 o y
x 以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。
P F2
F1 o y
x 建立如图坐标系。
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(0，-c)、F2(0，c)
aPFPF221∵
a2x)cy(x)cy(2222∴
