数值分析(第二版)最小二乘法拟合及练习三4.(即课本57页第36题)

习题一

1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限

)1.0ln(,121,1011,1014321xxxx

1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0xxxxx

1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?

1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?

(1) xxsin)sin(,其中充分小

(2) 121NNxdx,其中N是充分大的正数

(3) xxsincos1,其中x充分小

(4) o1cos1

(5) 1001.0e

(6) )11010ln(84

1.5 求方程01562xx的两个根, 使至少具有四位有效数字。

习题二

2.1 证明方程043xx在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)

2.2 用二分法求方程0134xx在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021。

2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210。

(1) 02xx；

(2) 06cos2xexx；

(3) 01tanxx；

(4) 0sin2xex。

2.4 考虑方程032xex，将其改写为3xex，取00x，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310)。

2.5 为求方程0123xx在5.1x附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：

(1) 2121111kkxxxx，；

(2) 3212311kkxxxx，；

7、计算的近似值，取。利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕 〔2〕

〔3〕 〔4〕

解：计算各项的条件数

由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、 通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：

此算法是数值稳定的。

第二章习题解答

1.〔1〕 Rn×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕Rn×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：

〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵

∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A

∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异 ∴A可逆且A-1非奇异

又AT=A ∴〔A-1〕T=〔AT〕-1=A-1

故A-1也是非奇异的对称阵 设A是单位上〔下〕三角阵。证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔bij〕n×n

由A A-1 =E，那么 〔其中 j＞i时，〕

故bnn=1, bni=0 (n≠j)

类似可得，bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k＞j)

即A-1是单位上三角阵

综上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

1 第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

2 14159.3具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知2031.1a，978.0b是经过四舍五入后得到的近似值，问ba，ba有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设0x，x的相对误差为，求xln的误差和相对误差？（误差的计算）

5测得某圆柱体高度h的值为cmh20*，底面半径r的值为cmr5*，已知cmhh2.0||*，cmrr1.0||*，求圆柱体体积hrv2的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）

6 设x的相对误差为%a,求nxy的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

8 设101dxexeIxnn，求证：

（1）)2,1,0(11nnIInn

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 2 第二章 插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(fff，求)(xf的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

2 已知9,4,10xxxy，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

3 若),...1,0(njxj为互异节点，且有

)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl

试证明),...1,0()(0nkxxlxnjkjkj。（拉格朗日插值基函数的性质）

数值分析考试题和答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（ ）。

A. 求解线性方程组

B. 求解非线性方程

C. 构造一个多项式来近似一个函数

D. 求解微分方程

答案：C

2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（ ）。

A. 停止计算

B. 回代求解

C. 转置矩阵

D. 行交换

答案：D

3. 以下哪种方法不是数值积分方法（ ）。

A. 梯形规则

B. 辛普森规则

C. 牛顿法

D. 复合梯形规则

答案：C

4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（ ）。

A. 欧几里得算法

B. 牛顿迭代法

C. 高斯消元法

D. 线性插值法

答案：B

5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（ ）。

A. 求解线性方程组

B. 求解非线性方程

C. 曲线拟合

D. 微分方程数值解

答案：C

6. 以下哪种方法不是数值微分方法（ ）。

A. 前向差分

B. 后向差分

C. 中心差分

D. 欧拉方法

答案：D

7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（ ）。 A. 欧拉方法

B. 龙格-库塔方法

C. 牛顿迭代法

D. 高斯消元法

答案：B

8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（ ）方法求解。

A. 高斯消元法

B. 幂迭代法

C. 牛顿迭代法

D. 梯形规则

答案：B

9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（ ）。

A. 绝对稳定性

B. 相对稳定性 C. 条件数

D. 牛顿法

答案：D

10. 在数值分析中，条件数用于衡量（ ）。