数值计算方法复习题2

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。

答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：，2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

《计算方法》期中复习试题一、填空题:1、已知/（1）= 1°，/⑵=12 /⑶= 1.3,则用辛普生（辛卜生）公式计算求2、/（1）= 7 /⑵=2, /（3） = 11则过这三点的二次插值多项式中疋的系数为 _____ ,拉格朗日插值多项式为 ________________________ o3、近似值^=0 231关于真值A = 0.229有（2 ）位有效数字;4、设/（X ）可微,求方程x = f^的牛顿迭代格式是（）;5、 对/U ）= X 3 + A + 1J 差商/[0,1,2,3] =（ 1/[0,1,2,3,4] =（）；6、 计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；7、用二分法求非线性方程f （x ）=0在区间（s,®内的根时，二分力次后的误差限b_a为（诃 ）;8、已知f （l ）=2, f （2）=3, f （4）=,则二次Newton 插值多项式中#系数为（ ）;f/Wdv打⑴血-+ 八2^）]11、两点式高斯型求积公式J 。

八^（Jo22血2厲 ），代数精度为（5 ）;“34 6 y = 10 H ------ 1 --------- ------------12、 为了使计算x-1 （x-1）- （x-1）-的乘除法次数尽量地少，应将V2ooi - 71999"改写为、/^55T+Vi^ 。

得丄"如 答案:，用三点式求得广⑴〜 ____________答案：心+1 =心答案1 一广（占）该表达式改写为 y = 10+（3 + （4 — 6小）人 t =x-l ,为了减少舍入误差，应将表达式13、用二分法求方程/（X）= Q + x_ 1 = 0在区间［0, 1］内的根，进行一步后根的所在区间为，1 ，进行两步后根的所在区间为，。

14、计算积分匚5低肚，取4位有效数字。

用梯形公式计算求得的近似值为—，用辛卜生公式计算求得的近似值为梯形公式的代数精度为1 ,辛卜生公式的代数精度为3 。

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

《数值计算方法》试题集及答案(同名6837)《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组Ax =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。

13、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10-=-++=x t t t t y，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

１绍兴文理学院二○○ 学年第 学期数 学 系 专 业 级《计算方法》期 试卷 1标准答案及评分标准一、填空题（共 30 分，每小题 5 分）1．3 , 2. 1)(<A ρ , 3. 20500.09726.0x y +=4. )(5h O ,5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---25/150/108/140/108/18/10, 6. ⎪⎩⎪⎨⎧=----==+),2,1,0( 1615.15610 k x x x x x x k k k k k二、设)(2x P 满足,12)3(,4)2(,2)1(222===P P P 则673)(22+-=x x x P ; (2分)又由插值条件知,)(3x p 应具有形式：)3)(2)(1()()(3---+=x x x K x P x P （2分） 显然 )3,2,1()()(23==i x P x P i i . 为确定待定系数K ,可用条件.3)2(3='P 得2=K （2分） 从而 61592)(233-+-=x x x x P (2分) 由题意，余项)()()(33x P x f x R -=应具有形式：)3()2)(1)(()(23---=x x x x K x R . 作辅助函数)3()2)(1)(()()()(23-----=t t t x K t P t f t ϕ; 则)(t ϕ在点x ,1,2,2,3,处有5个零点, 反复应用罗尔定理,知 有一个)3,1(∈ξ,使0)()4(=ξϕ, 即 0)(!4)()()4()4(=-=x K f ξξϕ, )(!41)()4(ξf x K =, 所以 )3()2)(1)((!41)(2)4(3---=x x x f x R ξ (4分) 三、1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==263741123121LU A （6分） 2. 由 b LY =解得 ()T Y 0 ,1- ,1=, (3分) ； 由Y UX =解得 T X )0 ,3/1 ,3/1(-= （3分）四、证明 1. 对Jacobi 方法,其迭代矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=02/12/11012/12/10B . 设其特征值为λ, 则 1/25)( , 25,0 ,0453,213>=±===+=-B i B I ρλλλλλ所以,故Jacobi 方法发散. (6分) 2. 对Gauss-Seidel 方法, 迭代矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=2/1002/12/102/12/10B 显然其特征值为12/1)( ,2/1 ,0321<=-===B ρλλλ ,故Gauss-Seidel 方法收敛. (6分) 五、证明 1. 若使则有 ,0 ,0)det(0≠=+X A I0)(0=+X A I , 即 00X AX -=于是100=ppX AX从而 1≥p A . 此即矛盾. 故A I + 非奇异. (6分)２2. 由 I A I A I =++-1))(( 得11)()(--+-=+A I A I A I所以 p p p p p p p A I A I A I A I A I 111)()()(---+⋅+≤+≤+⋅- 即 pppA A I A-≤+≤+-11)(111(6分) 六、解 由所给函数表知8],[ ,2],[ ,75.0],[ .1 ,1 ,5.1322110321==-====x x f x x f x x f h h h于是6)],[(6 ,18g 6.6,g ,5.0 ,4.0 ,5.0 ,6.001010212121-='-=======g x x f h g λλμμ，36]),[(632333=-'=x x f y h g 故确定3210,,,M M M M 的方程组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡30186.66215.025.04.026.0123210M M M M （4分）解之得 16,4,4,53210===-=M M M M ， （2分）于是 12111112100130113101)6()6(6)(6)()(h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M x s --+--+-+-= ]0,5.1[ ,1223-∈-+=x x x （2分） 同理可得 ]1,0[ ,12)(22∈-=x x x s （2分）]2,1[ ,3642)(233∈-+-=x x x x x s （2分）七、证明 因为 ,),(y y x f λ-= 故梯形公式为 )),(),((2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y ， 即)(211++--+=n n n n y y h y y λλ (2分)整理成显格式为 01121222222y h h y h h y h h y n n n n +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=λλλλλλ （1） (2分)设初值0y 有小扰动0δ，于是有 )(2200111δλλδ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++++y h h y n n n （2） (2分))1()2(- 得01122δλλδ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n h h (2分) 显然，对任意步长0>h ，都有122≤+-hhλλ ，从而 01δδ≤+n . 即梯形公式对任意步长0>h 都是稳定的. (2分)。