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数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。
解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题 （1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。
解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？ 解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。
x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶 三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式； （2）求3次Newton 插值多项式； （3）写出插值余项。
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
复习题（一）一、填空题：1、求方程的根，要求结果至少具有6位有效数字o已知，则两个根为________________________ ，__________________ . _______________ （要有计算过程和结果）2、，则A的LU分解为。
3、，则_____ ，二4、已知，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得，用三点式求得5、，则过这三点的二次插值多项式中的系数为______ ，拉格朗日插值多项式为____________ . _________二、单项选择题：1、Jacobi迭代法解方程组的必要条件是（）•A・A的各阶顺序主子式不为零 B.C. D.2、设，均差=（）.B. -3C. 53、设，则为（）.A. 2B. 5C. 7D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为（）•A. 2B.5C. 3D.45、幕法的收敛速度与特征值的分布（)0A. 有矢B. 不一定C.无另三、计算题：1、用高斯•塞德尔方法解方程组，取，迭代四次（要求按五位有效数字计算）•2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求（保留四位小数）。
3、已知132 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）•4、取步长，用预估■校正法解常微分方程初值问题求的二次拟合曲线，并求的近似值。
6、证明方程=0在区间（0,1 ）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值五位小数稳定。
复习题（一）参考答案—、1,2、3 、，84、5求积公式为当时 > 公式显然精确成立；当时，左二，右二。
所以代数精度为3 2、差商表为4、解:即5、解:正规方程组为复习题（二）一、填空题：1近似值尖于真值有（）位有效数字；2、的相对误差为的相对误差的（）倍;设可微，求方程的牛顿迭代格式是（）4、对，差商(),()；5、计算方法主要研究()误差和()误差；6、用二分法求非线性方程f (x)二0在区间(a, b)内的根时，二分n次后的误差限为0 ；7、求解一阶常微分方程初值问题=f(X, y)，y(xo)=yo的改进的欧拉公式为0 ；8已知f⑴二2, f (2)二3, f(4)=，则二次Newton插值多项式中好系数为();9、两点式高斯型求积公式~ ( ) ，代数精度为0 ；10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为() 。
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k 的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k 。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++ 11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
20. 压缩映像原理的压缩性是：对于任意x ∈[a,b]，都有|φ’(x)| < 1 。
21. 迭代公式x (m+1)=Bx (m)+g 收敛的充分条件：||B||<1。
22. 若n 阶方阵B 满足║B║<1,则I+B 可逆。
23. 设||x||为n 维向量x 的范数，则||x||>0。
24. 线性方程组Ax=b 的迭代公式X (k+1)=BX (k)+f 收敛的从要条件：B 是对角占优矩阵。
25. 线性方程组Ax=b 的迭代公式X (k+1)=Bx (k)+f 发散，则Ax=b 无解。
26. 只要是正定阵，就可作LDL T 分解, 其中D 为对角阵，L 为下角阵。
27. 已知方程组 x x x x x x x x x 123123123121311612131413121314154760++=++=++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 的准确解为(1,1,1)T , 某学生将系数舍入成两位数字后, 求出的数值解却是(-6.222,38.25,-33.65⋯)T,面目全非的原因是该学生计算程序有误!28. 高斯消去法的实质是将方程组的系数矩阵A 分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，并当A 的所有顺序主子式≠0时，LU 分解是唯一的。
二、填空题1. 设ｘ＝0.20135是精确值x *=0.20184的近似值，则x 有（ ）位有效数字。
2. 已知自然数e=2.7182818284590… ，取e ≈2.71828,那么e 有几位有效数字( )。
3. 通过n +1 个不同节点01,,...,n x x x 的插值基函数1()l x =（ ）。
4. 差商ƒ(x 0,x 1,…,x n )与ƒ(n)(x)的关系是( )。
5. ƒ(x)=5x 3-7,则差商ƒ(1，2，3，4)=( )。
6. 计算插值型求积公式的求积系数的方法有:（ ）、（ ）。
7．若=+-()f x x x 4251，则f(1,2,3,4,5)=( )。
8．避免出现高次插值的龙格现象的方法是( )。
9. 已知y=ƒ(x)的差商表为 : x i y i1 02 2 24 125 1则过(1,0),(2,2)和(4,12)三点的不高于2次牛顿插值多项式为（ ）11. 差商ƒ(x 0,x 1,…,x n )与ƒ(n)(x)的关系是( )。
12. ƒ(x)=2x 3+5x+1,则差商ƒ(1,4,3,2)=( )。
13. 对区间[a,b]上n+1个不同节点x i 作拉格朗日插值多项式P n (x),则其余项f(x)-P n (x)=( )。
14. 求作2/2()x f x e -=在节点0x =的3次泰勒插值多项式（ ）。
16. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的。
17. 节点(1,2,...,)k x k n =是高斯点的充要条件是（ ）。
18. 形如()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰的插值型求积公式，其代数精度至少可达( )次，至多可达( )次。
19. 数值微分公式)(a f '≈hh a f h a f 2)()(--+的代数精度为（ ）。
20. 插值型求积公式的求积系数A k =（ ）。
21. 求积公式13114340()()(1)f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 （ ）。
22. 数值微分公式)(a f '≈()()f a h f a h+-的代数精度为（ ）。
23. 辛普森求积公式：()ba f x dx ≈⎰（ ）。
24. 写出下列解初值问题的显式欧拉格式：（ ）。
2' (12) , (1)=1, =0.1y y y x y h x x⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭取。
25. 亚当姆斯方法的基本思想是：（ ）。
26.求初值问题22' (00.4) , (0)1, y x y x y =-≤≤=取h=0.2；改进的欧拉法数值公式是( )。
隐式欧拉格式( )27. 龙格库塔方法的基本思想是：（ ）。
28. 显式的亚当姆斯格式：y n +1=y n +h /3(f n +2f n -1)是( )步法29. 压缩映像原理的压缩性是指（ ），映内性是指（ ）。
30 迭代法+=+k k k x x x 12213收敛于33*=x ，此迭代法的收敛阶为( )。
31. 方程x 2-2x+1=0的收敛阶为2的牛顿迭代公式是（ ）。
32. 设A=7325-⎛⎫ ⎪⎝⎭, x=(3,-4)T , 则||A||∞=( ), ||x||1=( )。
33. 已知A= , B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124122233242，则1A =( )，B ∞=( )。
34. 迭代公式x (m+1)=Bx (m)+g 收敛的充分条件是( )。
35. 高斯消元法的步骤包括：（ ）和（ ）。
36. 线性方程组Ax=b 的系数矩阵4411110101 , 44411101010A A ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪== ⎪- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则()cond A ∞≈( )，方程组是否为病态（ ）。
病态方程组是指( )三、解答题1. 如果x >>1，直接计算公式xx x x 11--+，为什么易造成有效数字的严重损失？试给出比较精确的等价公式。
2. 说明两个值相近的近似数相减，可能会造成有效数字的严重损失。
为尽量避免有效数字的严重损失，当||1x 时应如何加工下列计算公式：⑴11121x x x-++- ⑵ 1cos x - （3）1x e - 3. 已知近似值4121.42, 18410x x -==⨯的绝对误差限均为20.510-⨯，问他们各有几位有效数字？4. 设证明：对任意有5．已知)(x f y =的观察数据表如下：构造插值多项式)(3x P ，并求)1(3-P ．6. 已知函数3()4f x x x =-，建立关于节点01231 , =0 , 1 , =2 x x x x =-=的差商表，并给给出插值多项式()p x 。
7. 函数3()f x x =，构造过节点0121, x =0, =1 x x =-拉格朗日插值多项式()p x 。
8．证明：关于节点013,,x x x 的拉格朗日插值基函数013(),(),()l x l x l x 恒成立：013()()()10l x l x l x ++-=9. 利用插值余项证明：若f(x)是次数不高于n 的多项式，则通过n +1个不同的节点构造的插值多项式P n x k -2 0 4 5 f(x k ) 5 1 -3 1(x)=f(x)。
10. 已知(0)0, (1)1, (2)2, (3)3, '(2)0f f f f f =====，建立差商表，利用承袭性，求插值多项式()p x 。
11．建立过(1,0)、(2,-5)、(3,-6)和(4,3))四点的差商表，据此写出插值多项式。
12． 试确定常数A,B,C 及α，使得求积公式22()()(0)()f x dx Af Bf Cf αα-≈-++⎰有尽可能高的代数精度，并指出所求积分公式的代数精度，是高斯型吗？13. 确定下列求积公式的参数，使其代数精度尽可能的高，并指明该公式的代数精度：≈++⎰()()()()f x dx A f A f A f 13110124240 14. 高斯求积公式有何特点？求区间[-1,1]上两点高斯公式。
15. 确定求积公式111()(0.5)()(0.5)f x dx Af Bf x Cf -≈-++⎰的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度。
16. 对模型方程' (0)y y λλ=<，证明：改进的欧拉方法的绝对稳定条件为2()|1h | 1 2h λλ++≤ 17. 证明改进的欧拉方法能准确地求解初值问题' , (0)0 y ax b y =+=。
18 对于解初值问题：⎩⎨⎧=≤≤='1)0()2.00(2y x xy y 取步长h ＝0.1，写出其改进的欧拉公式, 并求出y 1，y 2。
19. 证明两步欧拉格式112(,)n n n n y y hf x y +-=+是二阶方法。
20. 取步长h ＝0.1用改进欧拉格式求解初值问题2' (00.2)(0)1y xy x y ⎧=≤≤⎨=⎩ 求出y1，y2，保留4位有效数字。
21. 写出下面方程组的雅可比和高斯赛德尔迭代公式,并证明该公式是收敛的.+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩x x x x x x x x x 12312312352524251122. 若n 阶方阵B 满足║B║<1,证明I+B 可逆。
