【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：2.2.2《反证法》

人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
牛刀小试
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,
至少有一个角大于或等于60 °
A
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图）
求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B__＜60 ° ,∠ C __＜60 °
牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。
英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义：
在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
否定要全面
(1)若a< b ab
与 已 知 ab0 矛 盾
（ 2） 若 a= b a=b， 与 已 知 ab0 矛 盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立

解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有 1 个”的反面是 “1 个也没有”，故 B 正确． 答案：B
3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)． x－2 ①已知函数 f(x)＝a ＋ (a＞1)， x＋1
x
x－2 ①已知函数 f(x)＝a ＋ (a＞1)，证明：方程 f(x)＝0 没有负 x＋1
[名师批注]
极易忽视此条件， 直接由 AB∥平面 DCEF 得出 AB∥ EN 而失分．
必须由矛盾否定 假设，而肯定原命 题正确.
[活学活用] 在同一平面内，设直线 l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中 实数 k1，k2 满足 k1k2＋2＝0，证明 l1 与 l2 相交．
证明：假设直线 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，由直线 l1 与 l2 的方程可知实数 k1，k2 分别为两直线的斜率，则有 k1＝k2，代 入 k1k2＋2＝0，消去 k1，得 k2 2＋2＝0，k2 无实数解，这与已知 k2 为实数矛盾，所以 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交．
设
3 A＝a－2＜a＜－1
3 ，则∁RA＝aa≤－ 或a≥－1 2 .
，
故所求实数 a
3 的取值范围是 a a≤－2或a≥－1
[类题通法] 常见“结论词”与“反设词”
结论词 反设词 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 一个也没有 至多有(n－1) 至少有(n＋1) 至少有两个 (不存在) 个 个 只有一个 对所有 x 成立 没有或至少有 存在某个 x 不成 两个 立 都是 不都是 一定是 不一定是 p或q 綈 p 且綈 q 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 p且q 綈 p 或綈 q

►变式训练 3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证：直线 a 是 唯一的． 证明：假设这样的直线 a 不唯一，则过点 A 至少还有一条直线 b， 使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以确定一个平 面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥ c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直于直线 c，这与平 面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立， 故直线 a 是唯一的．
若 x1－x2>0，则 2x1－x2>1，这与 2x1－x2＝1 矛盾； 若 x1－x2<0，则 2x1－x2<1，这也与 2x1－x2＝1 矛盾， 因此只能 x1－x2＝0，这与 x1≠x2 矛盾， 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾， 故 2x＝3 只有一个根．
规律方法：用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性，当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题 时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其 唯一性比较简单明了．
►变式训练 1．已知 f(x)＝ax＋xx－＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00＋－12. 由 0<ax0<1⇒0<－xx00＋－12<1， 解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
【易错剖析】本题证明过程中，易反设为：“假设三个方程都没 有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0”．错误 的原因在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方 程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有 两个相等实根，从而Δ≤0.

第十七页，编辑于星期一：一点 二十三分。
[证明] 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， 则 a＋b＋c≤0.而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－ 2x＋6π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因为 π－3>0，且(x －1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 所以 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故假设错误． 因此 a，b，c 中至少有一个大于 0.
第十五页，编辑于星期一：一点 二十三分。
[点评] 本题已知为p，q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法， 但很难证，故考虑采用反证法.
第十六页，编辑于星期一：一点 二十三分。
[例 2] 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π， b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋6π. 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
4．a＋b＞c＋d的必要不充分条件是( )
A．a＞c
B．b＞d
C．a＞c且b＞d
D．a＞c或b＞d
[答案] D
[解析] A，B是既不充分也不必要条件，C是充分不必
要条件，只有D正确，可用反证法证明；若a＞c或b＞d不成
立，则a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，与a＋b＞c＋d矛盾，
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α， a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条 直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能 有已知直线的一条垂线相矛盾．
第二十三页，编辑于星期一：一点 二十三分。
(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的 两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交直 线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因 为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，