高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2 (2)

• 4．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0. • 证明： 假设ab＋bc＋ca>0， • 因为a2＋b2＋c2≥0， • 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. • 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0
矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
• ∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0
• ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0
• ∴a＝b＝c
10分
• 这与题设a，b，c互不相等矛盾，
• 因此假设不成立，从而命题得证.
8分 9分
12分
•
1.当命题出现“至多”“至少”等
形式时，适合用反证法．
• 2．常见的“结论词”与“反设词”
•2.2.2 反证法
自主学习•新知突破
• 1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
• 2．了解反证法的思考过程、特点．
• 3．理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证 明与间接证明的区别与联系．
• 1．思考：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？
• 解析： 根据反证法的定义，推导过程中，不能把 原结论作为条件使用，其他都可以．
• 2．用反证法证明：“若a，b两数之积为0，则a，b 至少有一个为0”，应假设( )
• A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0
• C．a，b至多有一个为0 D．a，b两个都为0
• 解析： “至少有一个”的反设是“一个也没有”， 故应假设a，b没有一个为0.
原结 论词
至少有一个
至多有 一个
至少有n个 至多有n个
反设 一个也没有(不 至少有 至多有n－ 至少有n＋

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．

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自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
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自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
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题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
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证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
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跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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2．已知平面 α∩平面 β＝直线 a，直线 b⊂α，直线 c⊂β，b∩a＝A，c∥a，
至多有 n 个 至少有 n＋1 个
结论词 对所有 x
成立 对任意 x 不成立
p或q
反设词 存在某个 x0 不成立 存在某个
x0 成立
綈 p 且綈 q
p且q
綈 p 或綈 q
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[再练一题] 2．已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c， d 中至少有一个是负数. 【导学号：60030058】 【证明】 假设 a，b，c，d 都是非负数， 因为 a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以 ac＋bd≤1， 这与已知 ac＋bd>1 矛盾， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称 为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适 合使用反证法． 2．反证法证明问题的一般步骤
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[再练一题] 1．(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和．求证：数列{Sn}不是等比数列． 【证明】 假设数列{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾． 所以数列{Sn}不是等比数列．