必修Ⅳ－04 函数y=Asin(ωx+Φ)的图象1．函数sin(),(0)y x x R ϕϕ=+∈≠的图象，可以看作由sin y x =上所有的点 (0)ϕ>当或 (0)ϕ<当平移ϕ个单位而得到.2．函数sin ,(0,1)y x x R ωωω=∈>≠的图象，可以看作由sin y x =上所有点的横坐标(1)ω>当或 (1)ω<当0<到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到.3．函数sin ,(0,1)y A x x R A A =∈>≠的图象，可以看作由sin y x =上所有点的纵坐标(1)A >当或 (1)A <当0<到原来的A 倍（纵坐标不变）而得到. s i n y A x =的值域为 ，最大值为 ，最小值为 .4．函数sin(),(,0,0)y A x x R A ωϕω=+∈>>的图象，可以看作由sin y x =经过 变化得到.5．物理学中，常用函数sin(),(,0,0)y A x x R A ωϕω=+∈>>描述简谐运动的变化规律：简谐运动的振幅为 ，周期T = ，频率f = = ，相位为 ，初相为 .例1．函数())16f x x π--的最小值与最小正周期为（ ）.A 1,πB 1,πC πD 1,2π例2．函数5()sin(2)2f x x π=+的图象的一条对称轴方程为 （ ）. A 2x π=- B 4x π=- C 8x π= D 54x π=例3．要得到cos(2)4y x π=-的图象，且使平移的距离最短，只要将sin 2y x = 向 平移 个单位即可.例4．已知函数()3sin(2)3f x x π=- （1） 用五点法作出函数的在一个周期内的简图.（2） 说出此图象由sin y x =经过怎样的变化得到.（3） 求此函数的周期，振幅，初相，最大值与最小值.例5．已知函数sin2y x x =（1） 将函数化为sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>的形式.（2） 求函数的最大值与周期.（3） 求此函数的对称轴方程及单调增区间.例6．已知函数sin(),(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图，则 （1） 求函数的解析式（2） 求函数的对称中心.。
2014届高三数学总复习 2.8指数函数、对数函数及幂函数教案（2） 新人教A 版1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________． 答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)． 2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x的定义域是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x≤3，定义域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，则常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|的值域为__________.答案：(1，2]解析：设y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u，u ＝|x －1|.由于u ≥0且y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u是减函数，故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|≤1，则1＜y≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R．2. 指数函数的图象与性质[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c<4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c<4.综上知，总有2a ＋2c<4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于a x －1≠0，则a x≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R ，且x≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a －x －1＋12)(－x)3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ② 当0<a<1时，f(x)＝（a x＋1）x32（a x－1）， 当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·西安一检)函数y ＝a x－1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·温州二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x＋x ＋1＝f(x)＋1.3. (2013·天津)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·湖南)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ① x ∈(－∞，1)，f(x)>0；② x ∈R ，使a x 、b x 、c x不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长， 所以0<2a≤c，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x＝2， 即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.2. 已知f(x)＝(e x－1)2＋(e －x－1)2，则f(x)的最小值为________． 答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x，则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈ [2，＋∞)，所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，作图易知f(x)≤K＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，求实数a 的取值范围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a xlna－1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e.1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。
