2.导数的概念及导数的几何意义

导数的几何意义及运用解密

导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。

一、导数的几何意义

导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。

通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。

此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。

二、导数的运用解密 导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。

1. 物理中的速度和加速度

物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。

2. 经济中的边际效用

经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。例如，在计算产品生产量时，可以通过导数的方式来求取边际产品的成本。

55 第9讲 导数定义及其几何意义

【知识导图】

知识点1 导数及导数运算

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

Δx→0 Δy

Δx＝limΔx→0 00()()fxxfx

x+−

，我们称它为函数y

＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|

0xx＝，即f′(x0)＝lim

Δx→0 Δy

Δx＝limΔx→0 00()()fxxfx

x+−

.

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数

称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x

)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1

x

f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1

xln a

3.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

56 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)

f(x)

g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)

[g(x)]2(g(x)≠0)．

例题1.1 求下列函数的导数：

(1)y＝ln x＋1x；(2)f(x)＝sin x2

1－2cos2x4；(3)y＝3xex－2x＋e.

答案 (1) y′＝1x－1

x2，(2) f′(x)＝－12cos x，(3) y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2

解析 (1)y′＝

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1、函数的概念：

设AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数(fx）和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数．记作：(,yfxxA）．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(fxxA）}叫做函数的值域．

2、判断函数的单调性有哪几种方法：

定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减”等.

一、导数的概念

1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()yfx，0x，1x是其定义域内不同的两点，记10xxx，

10yyy10()()fxfx00()()fxxfx，则当0x时，商00()()fxxfxyxx称作函数()yfx在区间00[,]xxx（或00[,]xxx）的平均变化率．

2、函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()yfx在0x附近有定义，当自变量在0xx附近改变量为x时函数值相应的改变00()()yfxxfx，如果当x趋近于0时，平均变化率00()()fxxfxyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数()fx在点0x的瞬时变化率．

“当x趋近于零时，00()()fxxfxx趋近于常数l”可以用符号“”记作：

“当0x时，00()()fxxfxlx”，或记作“000()()limxfxxfxlx”，符号“”读作“趋近于”．

函数在0x的瞬时变化率，通常称为()fx在0xx处的导数，并记作0()fx．

二、导数的几何意义：设函数()yfx的图象如图，AB为过点00(,())Axfx与00(,())Bxxfxx的一条割线．由此割线的斜率是00()()fxxfxyxx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即：000()()limxfxxfxx切线AD的斜率．

1 导数的概念，计算，几何意义

（一）知识点

1.平均变化率：

函数()fx从1x到2x的平均变化率为 ，若21xxx21yyy则，平均变化率可表示为 。

2．导数的概念：

函数()yfx的导数'()fx，就是当0x时，函数的增量y与自变量的增量x的比yx（平均变化率） 的 ，

即'()fx＝ ＝ ．

3．导函数：

函数()yfx在区间(,)ab内 的导数都存在，就说()fx在区间(,)ab内 .其导数也是(,)ab内的函数，叫做()fx的 ，记作'()fx或'xy，

函数()fx的导函数'()fx在0xx时的导函数值 ，就是)(xf在0x处的导数.

4．导数的几何意义：

设函数()yfx在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM 处的 。相应的切线方程为 （点斜式） 。

5．求导数的方法：

(1) 八个基本求导公式

()c为常数'c＝ ； ()'nx＝ ； (sin)'x＝ ，

(cos)'x＝ ()'xa＝ ， ()'xe＝

(log)'ax＝ ， (ln)'x＝

2 (2) 导数的四则运算

(()())fxgx＝ [()]Cfx＝

(()())fxgx＝ ， ()()()fxgx＝